Лекция 6. Статистическое изучение вариации

 

 

 

Вопросы темы:

1. Показатели вариации и необходимость их изучения

2. Абсолютные показатели Вариации

3. СВойстВа и Виды дисперсий

4. Стносительные показатели Вариации

 

 

1 Вопрос. Показатели вариации и необходимость их изучения

 

Вариация - это различие В значениях какого-либо признака у разных единиц данной соВокупности В один и тот же период или момент Времени.

средняя Величина дает обобщающую характеристику при&sHy;знака изучаемой соВокупности, но она не раскрыВает строения соВокупности, которое Весьма сущестВенно для ее познания. средняя Величина при&sHy;знака В дВух соВокупностях может быть одинакоВой, но В одном случае Все индиВидуальные значения отличаются от нее мало, а В другом - эти отличия Велики.

это можно показать на таком примере. предположим, что одинакоВую работу Выполняют дВе бригады, каждая - из трех челоВек. пусть количестВо деталей, шт., изготоВленных за смену отдельными рабочими, состаВляло:

В перВой бригаде - 95, 100, 105 ( = 100 шт.);

Во Второй бригаде - 75, 100, 125 ( = 100 шт.).

 

средняя Выработка на одного рабочего В обеих бригадах одинакоВа и состаВляет =100 шт., однако колеблемость Выработки отдельных рабочих В перВой бригаде значительно меньше, чем Во Второй.

 

2 Вопрос. Абсолютные показатели вариации

 

   К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. 

 1. Размах вариации R, представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

        (1)

В нашем примере размах вариации сменной выработки  составляет: в первой бригаде = 10 шт. (т.е. 105 - 95); во второй бригаде -  = 50 шт. (т.е. 125 - 75), что В 5 раз больше.

2. Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от их средней.

среднее линейное отклонение:

для несгруппированных данных   ,    (2)

где n- число членов ряда;

   для сгруппированных данных      ,     (3)   

где - сумма частот вариационного ряда.

  

В формулах разности в числителе взяты по модулю, (иначе В числителе всегда будет ноль - алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической).

3. Дисперсия (  ) признака предстаВляет собой средний кВадрат отклонений ВариантоВ от их средней Величины, она Вычисляет&sHy;ся по формулам простой и ВзВешенной дисперсий:

простая дисперсия для несгруппироВанных данных:

;        (4)  

 

     ВзВешенная дисперсия для Вариационного ряда:

      (5) 

     

     4. Среднее кВадратическое отклонение ( ) раВно корню кВадратному из дисперсии:

        для несгруппироВанных данных       (6)   

        для сгруппироВанных данных с нераВными частотами:

                                         (7)            

среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

 

 

3 Вопрос. Свойства и виды дисперсий

 

Дисперсия обладает следующими математическими свойствами:

1. Если , где с- постоянная величина, то дисперсия будет раВна нулю.

      2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же Величину а не меняет величины дисперсии:

               (8)            

т.о., средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянного числа.

3. уменьшение Всех значений признака В k раз уменьшает дисперсию В  раз:               (9)       

                  

Виды дисперсий

 

 когда совокупность разделена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, внутригрупповой и межгрупповой.

Общая   дисперсия     измеряет   вариацию   признака   по  всей   совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений от отдельных значений признака  от общей средней  и может быть вычислена по формуле:

                                         (10)

 

Внутригрупповая (частная) дисперсия  характеризует вариацию значений исследуемого признака внутри групп, независимо от того, какое значение принимает группировочный признак. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы  (групповой средней) и может быть исчислена по формуле:

                              ,          (11)

где  и  в соответственно значения вариант и частот тех единиц совокупности. которые относятся к й группе,    численность единиц В группе ( ),

   средняя из групповых дисперсий вычисляется как средняя арифметическая взвешенная:

                                          (12)

межгрупповая   дисперсия    характеризует   вариацию   значений исследуемого признака за счет дейстВия на него только группировочного признака. она раВна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних  от общей средней :

 

                               (13)

   между средней из групповых дисперсий, межгруппоВой и общей дисперсиями   существует   зависимость,   известная   под   назВанием

« праВило сложения дисперсий»:

                               (14)

пользуясь праВилом сложения дисперсий, можно Всегда по дВум изВестным дисперсиям определить третью - неизВестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Чем больше доля межгруппоВой дисперсии В общей дисперсии, тем сильнее Влияние группироВочного признака на изучаемый признак.

 Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации ( )  показатель, предстаВляющий собой долю межгруппоВой дисперсии В общей дисперсии результатиВного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образоВание общей вариации:

                               (15)

ПредстаВленный В процентах данный коэффициент показывает, какая процентная доля общей Вариации значений признака объясняется действием фактора, положенного в основу группировки (группировочным признаком). при отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации раВен нулю, а при функциональной связи – единице.

для оценки степени связи исследуемого признака рассчитывается эмпирическое корреляционное отношение, которое представляет собой корень квадратный из коэффициента детерминации:

                                   

Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.

если связь отсутствует, то корреляционное отношение рано нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. значит группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии ( ), т.е. внутригрупповой вариации не будет. это означает, что группировочный признак целиком определяет Вариацию изучаемого результативного признака.

Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

 

 

4 Вопрос. Относительные показатели Вариации

 

Относительные показатели вариации выражаются в процентах и исчисляются по отношению к средней или к медиане ряда.

коэффициент осцилляции ( ) определяется по формуле:

           (16) 

 

он показывает относительную колеблемость крайних значений признаков вокруг средней.

относительное линейное отклонение ( ) характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней:

       (17)  

 

коэффициент вариации ( ) характеризует степень однородности совокупности:

                                                  (18)

совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.