Тема 3.2

 

Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Методом прямого счета, как это было показано, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользоваться более компактными формулами. Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания существа дела, вероятно, достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик лишь для некоторых из них. В этом и следующем параграфах анализируются ренты постнумерандо.

Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая - годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок - n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются n - 1 год, на второй n – 2 и т.д. На по­следний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

 

 

 

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Число членов прогрессии равно n. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.

Откуда

 

 

 

Обозначим множитель, на который умножается R, через S_n;i, нижний инцекс n:i указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки (часто в литературе можно встретить обозначение S_n|i). В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1:

  

Таким образом,

 

    

 

 Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением значения каждого из этих параметров его величина растет. При i = 0 имеем S = Rn. Значения коэффициента легко табулировать.