§6. Преобразование случайных процессов динамическими системами

Случайные явления, процессы обычно подвергаются различным воздействиям других протекании их в конкретных системах и устройствах. К примеру, электрические сигналы – случайные процессы – при прохождении через системы связи или управления могут складываться ил ослабляться, интегрироваться или дифференцироваться.

Пусть система S осуществляет преобразование сигналов, функций, процессов, зависящих от времени t. Случайный процесс , подлежащий преобразованию данной системой, называется входным сигналом, входным воздействием. Функция , получаемая в результате преобразования S, называется входным сигналом, реакцией системы S.

К примеру, при полете летального объекта, системы S, в качестве входного сигнала-воздействия можно рассматривать колебания атмосферы, а в качестве выходного сигнала – колебания летального объекта относительно его центра масс.

Математически, символически преобразование входного случайного сигнала-процесса , поступающего на вход системы S, в выходной сигнал-процесс записывается в виде соотношения

где – оператор, задающий воздействие системы S.

В общем случае воздействие зависит от момента его действия, чем и объясняется зависимость оператора А от документа времени.

При решении различных задач рассматриваются оператор интегрирования, оператор решения дифференциального уравнения, оператор решения интегрального уравнения, оператор возведения в степень и т.д.

Оператор называется линейным однородным на классе функций С, если справедливо равенство

При любых числах и любых функциях из С.

Линейным неоднородным оператором L, порожденным линейным однородным оператором и неслучайной функцией , называется оператор, действующий по закону

Как мы уже знаем, свойства случайного процесса характеризуется с той или иной полнотой моментными функциями, являющиеся результатом приложения к случайным процессам понятия моментов случайных величин. К основным из них относятся функции математического ожидания дисперсии и ковариационной функции. Приведем уравнения связи осредненных характеристик случайных процессов при некоторых простейших их преобразованиях. Возможность применения к данной случайной функции должна быть проверена в каждом конкретном случае.

Если – линейный однородный оператор и y(t)=L{x(t)}, то осредненные характеристики случайных процессов и связаны соотношениями

(4)

(5)

Пусть L есть линейный неоднородный оператор, заданный соотношением (3) и y(t)=L{x(t)}. Тогда имеют место формулы

(6)

(7)

При преобразовании

(8)

где , – неслучайные функции, справедливы формулы

(9)

(10)

(11)

Если в (8) случайные процессы взаимно некоррелированы, т.е. , при любых и , то

(12)

(13)

Нелинейные операторы не обладают общими свойствами, которыми обладают линейные операторы. Каждый нелинейный оператор обладает своими свойствами. Поэтому общих правил нахождения характеристик случайного процесса полученного в результате преобразования исходного случайного процесса x(t) нелинейной системой , нет.

Задача 1. На RC – цепочку, изображенную на рисунке, подается случайное напряжение с характеристиками и . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию напряжения y(t) на выходе RC-цепочки

Решение. Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входящими и выходящими напряжениями RC цепочки, составляется на основе законов Кирхгофа и имеет вид

(14)

Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

имеет вид

(15)

где С – произвольная постоянная .

При каждом исходе для произвольной реализации y(t) из (14) согласно (15) имеем, что

где С – произвольная постоянная. Так как в начальный момент времени , то с=0 и имеем связь напряжений

(16)

Таким образом, случайный процесс, напряжение , является результатом применения к случайному напряжению оператора , действующего по закону

(17)

Нетрудно убедиться, что , то есть оператор является линейным однородным .

Определим теперь характеристики напряжения на выходе устройства. Математическое ожидание равно

Поскольку

(18)

То для математического ожидания получим выражение

Ковариационная функция согласно формуле (5) равна

Найдем внутренний интеграл; так как

То согласно (18) получим:

Следовательно

Применяя к интегралу в полученном соотношении ту же формулу (18), мы получим функции выходного напряжения :

Дисперсия процесса равна

Интерес представляют следующие асимптотики:

~ ~;

~,;

Задача 2. На вход квадратичного детектора подается случайный процесс , где и – некоррелированные, центрированные, нормально распределенные случайные величины с дисперсиями . На выходе детектора получается случайный процесс . Найти характеристики случайного процесса .

Решение. Найдем характеристики искомого процесса . По условию задачи и потому .

В силу центрированности случайного процесса имеем:

.

Так как , , то .

Дисперсия

Найдем теперь характеристики выходного процесса

Согласно свойствам случайных величин и очевидным образом имеем:

Процесс можно представить в следующем виде

Введем следующие случайные процессы:

,

,

.

В результате принятых обозначений случайный процесс представляется в виде суммы трех центрированных случайных процессов:

.

Определим ковариацию функции процесса y(t). Согласно принятым обозначениям имеем представление

Приведем теперь некоторые соотношения, которым удовлетворяют случайные величины и . Так как и распределены нормально с параметрами и , то

Отсюда непосредственно следует , что

В случае некоррелированных случайных величин ~, ~ справедливы равенства,

,

Поэтому имеют место следующие равенства:

,

,

,

,

Поэтому

,

т.е.

Дисперсия процесса равна

Осредненные характеристики входного x(t) и выходного y(t) процессов связаны соотношениями

Задача 3. На вход квадратичного детектора поступает случайный процесс

где и – некоррелированные, центрированные нормально распределенные случайные величины с дисперсиями . Найти характеристики случайного процесса на выходе детектора

Решение. Как нетрудно заметить, мы в данном случае имеем обобщение предыдущей задачи. Сначала определим характеристики исходного процесса x(t) для сравнения с характеристиками полученного на выходе сигнала.

Поскольку для любого , то очевидным образом

Поэтому в нашем случае и потому

Согласно условию задачи , , а , при

С учетом этих моментов получаем следующее представление для ковариоционной функции:

Дисперсия процесса равна

Найдем теперь характеристики преобразования сигнала. Ясно, что

В силу некоррелированности случайных величин , очевидным образом получим, что

Значит, для центрированного процесса справедливо представление

Проводя последовательно соответствующие выкладки, мы придем к следующим формулам

,

1. Случайный процесс , где и – независимы и равномерно распределенные на отрезке [-2;2] случайные величины, преобразовываются по закону

Найти характеристики выходного сигнала y(t)

2. На вход квадратичного детектора поступает случайный сигнал , где и – независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Найти характеристики выходного сигнала.

3. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением , поступает случайный сигнал с характеристиками , .

Найти характеристики , и на выходе системы.

4. Динамическая система суммирует поступающие случайные сигналы по закону

Найти характеристики выходного сигнала y(t), если на систему поступили случайные синусоиды , где – независимые амплитуды с характеристиками , .

Найти характеристики , и случайного процесса , где и – заданные функции, а x(t) – дифференцируемая случайная функция с известными и .