§ 4. Дифференцируемость случайных функций

Случайный процесс называется сходящимся в среднеквадратичном при к случайной величине , если

.

При этом пишут, что .

Случайный процесс называется непрерывным в среднеквадратичном в точке , если

,

где сходимость рассматривается в среднеквадратичном.

Теорема 1. Для того чтобы случайный процесс был непрерывен на интервале , необходимо и достаточно, чтобы математическое ожидание было непрерывно при , а ковариационная функция была непрерывна на диагонали .

Производной случайного процесса называется случайный процесс , определенный как предел в среднеквадратичном частного приращения случайного процесса к приращению неслучайного аргумента:

.

Теорема 2. Для того чтобы случайный процесс был дифференцируемым на интервале , необходимо и достаточно, чтобы математическое ожидание было дифференцируемой функцией на и ковариационная функция имела вторую смешанную по и производную на диагонали .

Если есть производная процесса , то

, .

Приведенный критерий среднеквадратичной дифференцируемости случайной функции, процесса легко проверяется и позволяет определить математическое ожидание и ковариационную функцию среднеквадратичной производной. Тем не менее явный вид этой производной в общем случае, используя только результат приведенного утверждения, не удается получить. Поэтому вводится и следующие понятия дифференцируемости случайный функций.

Определение. Случайная функция называется дифференцируемой потроекторно на , если почти все ее траектории являются дифференцируемыми функциями, т.е.

.

Если есть среднеквадратичная производная , а - потроекторная производная, то случайные функции и стохастически эквивалентны, т. е.

.

Задача 1. Случайный процесс задан разложением

,

где и -центрированные некоррелированные случайные величины с , . Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию процесса .

Решение. Так как , то очевидным образом

.

Следовательно, и потому

.

Согласно условию задачи и получим следующее выражение для ковариационной функции:

.

Математическое ожидание производной процесса равно

,

а ее ковариационная функция равна

.

Дисперсия производной равна

.

Задача 2. Случайный процесс центрирован, а ковариационная функция

, .

Определить дисперсию среднеквадратичной производной .

Решение. По условию задачи , а ковариационная функция дифференцируема сколь угодно раз. Поэтому случайный процесс является среднеквадратично дифференцируемым. Найдем ковариационную функцию производной процесса:

.

Значит, дисперсия производной процесса равна

.

Задача 3. Случайная функция задана разложением

, ,

где - неслучайные дифференцируемые функции, а - случайные величины с конечными моментами второго порядка: , . Найти среднеквадратичную производную процесса.

Решение. При каждом случайном исходе, фиксированном , траектория случайного процесса есть конечная линейная комбинация дифференцируемых функций с коэффициентами .Следовательно, траектория есть дифференцируемая функция, причем

.

Итак, случайный процесс дифференцируем потраекторно и ее потроекторная производная имеет вид

.

Покажем, что существует среднеквадратичная производная и что она имеет тот же вид. Из полученного следует, что если существует среднеквадратичная производная , то при каждом имеет стохастическая эквивалентность, т. е.

.

Следовательно, почти всюду на при каждом среднеквадратичная производная имеет вид

.

Из последнего соотношения ввиду существования вторых моментов , следует, что осредненные характеристики и определены и имеют вид

,

где , .

Поскольку и как линейные комбинации дифференцируемых функций дифференцируемы необходимое число раз, то существует среднеквадратичная производная , а ввиду стохастической эквивалентности она задается тем же приведенным выше выражением для потраекторной производной.

1. Случайный процесс задан уравнением , , , . Определить математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию среднеквадратичной производной процесса .

2. Найти осредненные характеристики производной случайного процесса, заданного уравнением , где и – случайные величины с характеристиками , , а .

3. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс с математическим ожиданием и ковариационной функцией

, .

Дифференцируем ли данный процесс в среднеквадратичном? Найти дисперсию процесса на выходе устройства.

4. Ковариационная функция случайного процесса имеет вид

,

где , . Определить дисперсию производной процесса.

5. Случайный процесс задан выражением , где - случайная величина с характеристиками , . Найти характеристики случайного процесса .

6. Доказать, что .

7. Доказать, что из среднеквадратичной дифференцируемости случайного процесса следует ее среднеквадратичная непрерывность, а обратное утверждение неверно.