§ 2. Элементарная классификация случайных процессов

Случайные процессы можно различать по различным их признакам, учитывая характер траекторий, определенность или неопределенность моментов времени, в которые возможные скачки, изменения реализаций, вид закона распределения отдельного сечения процесса или же совокупности его сечений. Простейшая классификация случайных процессов проводится по типу области определения , времени и по характеру фазового пространства, множества состояний . Введение различных других классов случайных процессов предполагает привлечение солидного математического аппарата теории случайных функций. Различные классы случайных процессов будут введены по мере их рассмотрения, изучения в дальнейшем.

Определение. Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если его область определения дискретна.

Случайные процессы с дискретным временем описывают реальные системы, в которых изменения состояний возможны только в моменты времени , ,…,,..., число конечно или счетно.

Примером случайного процесса с дискретным временем, может служить процесс работы любого технического устройства, которое осматривается в конкретные моменты времени , ,… и переводится в результате осмотра из одной категории в другое. Другим примером может служить процесс работы ЭВМ, которая может менять в определенные моменты , ,…,,..., определенные тактом работы машины.

Одномерный случайный процесс с дискретным временем можно рассматривать как последовательность случайных величин, его сечений

.

В качестве аргумента последовательности для простоты может быть выбран номер значения момента перехода:

.

Если же рассматривается -мерный случайный процесс с дискретным временем , то вместо него можно рассматривать последовательность -мерных случайных векторов

,

где .

Определение. Случайный процесс , называется процессом с непрерывным временем, если множество несчетно.

В случае процесса , с непрерывным временем множество есть непрерывное подмножество временной оси, переходы системы, процесса из одного состояния в другое состояние возможны в любой момент времени наблюдаемого периода .

Примерами случайных процессов с непрерывным временем являются: 1) - число жителей планеты в момент времени ; 2) - число космических частиц, падающих на поверхность земли к моменту времени ; 3) - число отказов технического устройства от начала работы до момента времени .

Определение. Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если его значение в любой момент времени является непрерывной случайной величиной.

Точно также векторный случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если при любом сечение процесса есть непрерывный случайный вектор.

Напряжение в контуре электрического контура в момент времени , атмосферное давление для данной местности в момент времени являются примерами одномерных случайных процессов с непрерывными состояниями. Координаты , и частицы, совершающей броуновское движение, образуют трехмерный случайный процесс с непрерывными состояниями.

Координаты и импульсы физической системы из -частиц образуют -мерный случайный процесс

с непрерывными состояниями.

Определение. Случайный процесс , называется процесс с дискретными состояниями, если его сечение в любой момент времени является дискретной случайной величиной.

Векторный случайный процесс , каждое сечение которого есть дискретный вектор, называется многомерным процессом с дискретными состояниями. Многомерный случайный процесс с дискретными состояниями размерности есть совокупность одномерных случайных процессов с дискретными состояниями.

Пусть проводятся зимние олимпийские игры, - момент открытия, начало, а - момент закрытия, конец этих состязаний. Предположим, что в играх принимают стран, участников и есть общее число медалей, выигранных -м участником соревнований к моменту времени .Вектор является многомерным случайным процессом с дискретными состояниями.

Таким образом, в зависимости от характера множества значений аргумента , в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также множества самих состояний, фазового пространства системы, в которой протекает процесс, все случайные процессы можно разделить на четыре класса:

1) процесс с дискретными состояниями и дискретным временем;

2) процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем;

3) процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем;

4) процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.