МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дагестанский государственный университет»

Факультет математики и компьютерных наук

Кафедра математического анализа

Курс лекций по дисциплине

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(I семестр)

Направление

02.03.02 - Фундаментальная информатика и

информационные технологии

Профиль подготовки

Информатика и компьютерные науки

Уровень высшего образования: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор-составитель

Магомедова Вазипат Гусеновна

Махачкала - 2017

Модуль 1. Неопределенный интеграл

Тема 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для любого .

Свойство первообразных.

Теорема 1. Если - первообразная для функции на промежутке , то (- константа) - тоже первообразная для функции на промежутке .

Доказательство. .

Теорема 2. Пусть - две первообразных для функции , тогда они различаются на некоторую константу (- константа).

Рассмотрим функцию , она непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, как и функции . Тогда для любых конечных значений по формуле конечных приращений Лагранжа .

Следовательно,

Неопределенным интегралом (интеграл от функции по ) называется совокупность всех первообразных функций для функции .

Функция , стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

2) .

Запишем таблицу значений ряда неопределённых интегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таблицы производных элементарных функций.

1. .

Если число a таково, что степень имеет смысл и для всех x £ 0, то формула 1 справедлива на любом промежутке.

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Пример. Вычислить интеграл .

Тема 2. Основные методы интегрирования

Метод подведения под дифференциал.

Пусть известен интеграл (- первообразная для функции ). Тогда

Доказательство. по теореме о сложной функции. Следовательно, функция и являются первообразными для функции и, по теоремам о первообразных, различаются на константу.

Этот метод применяется часто. Например, , .

Это – универсальный метод, метод подведения под дифференциал является частным случаем метода замены переменной.

Теорема. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию . Тогда где .

Доказательство. Дифференцируя обе части, используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получим тождество дифференциалов.

, где . Из него следует равенство интегралов в левой и правой частях.

Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной к переменной .

Для вычисления интегралов вида , если вместо него удобно вычислять интеграл , пользуются методом интегрирования по частям.

Теорема. Если функции и дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём

Доказательство. Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций, получим или .

Интегралы левой и правой частей существуют ().

Интегрируя, получим нужное соотношение.

Примеры.

1. .

2. .

Здесь взяли .

Вычислим интегралы , .

4. , 5.

Теперь, подставляя второй интеграл в первый, получим

Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получим

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Квадратный трехчлен , выделяя полный квадрат, можно привести к виду

= ,

где , .

Знак «+» выбирается, если , знак «-» выбирается, если . Если .

1. .

Если , то .

Если , то

2. .

Если ,, то под корнем стоит отрицательное число, интеграл в функциях действительной переменной вычислить не удастся.

Если , , то = .

Если , то .

Если , то =.

3. =

Интеграл вычислен в п.1.

4. =

Интеграл вычислен в п.2.

Примеры.

Тема 3. Интегрирование рациональных функций

Рациональная функция – это отношение двух многочленов (полиномов).

Утверждение 1. Если степень числителя больше либо равно степени знаменателя, то рациональную функцию можно привести к сумме некоторого многочлена и рациональной функции, у которой степень числителя будет меньше степени знаменателя.

Доказательство основано на правиле деления многочленов с остатком, например, на алгоритме деления многочленов «уголком».

Пример. .

Отсюда следует, что .

Интеграл от многочлена равен по свойствам линейности интеграла сумме произведений интегралов от степенных функций на постоянные коэффициенты. Интеграл от степенной функции легко вычислить по таблице интегралов.

Рассмотрим рациональную функцию .

Многочлен – знаменатель рациональной дроби может иметь действительный корень некоторой - ой кратности. Тогда , где многочлен уже не имеет корня . В этом случае из рациональной дроби можно выделить элементарную рациональную дробь вида .

Утверждение 2. Пусть - действительный корень - ой кратности полинома – знаменателя рациональной дроби. Тогда

= , где многочлен уже не имеет корня .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

. Тогда выражение должно делиться на , т.е. . Этого можно добиться, выбрав .

Замечание 1. В условиях утверждения 2 рациональную дробь можно представить в виде

где не имеет корня .

Доказательство. Применим лемму 2 раз и получим указанное разложение.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь пару комплексно сопряженных корней -ой кратности. Тогда

При этом уже не являются корнями полинома . В этом случае из рациональной дроби тоже можно выделить некоторую элементарную рациональную дробь вида .

Утверждение 3. Пусть – знаменатель рациональной дроби имеет пару комплексно сопряженных корней - ой кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в виде

= , где уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

=. должно делиться как на , так и на . Поэтому

, , где =, =.

Отсюда имеем систему уравнений для определения констант

Определитель этой системы равен , так как корни комплексные и . Поэтому система имеет единственное решение.

Замечание 2. В условиях утверждения 2 рациональную дробь можно представить в виде

= ++ …++ ,

где уже не являются корнями полинома .

Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде

=++…+ +…+++ …++ …+,

где - простой действительный корень , - действительный корень кратности , - пара комплексно сопряженных корней кратности (комплексно сопряженные корни ), - простая пара комплексно сопряженных корней (корни ).

Замечание 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

1) , 2) , 3) , 4).

Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональной дроби на элементарные.

Пример.

Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определять неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.

Это можно сделать двумя способами.

1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составлять и решать систему уравнений.

X⁵| 3=A+B+M

X⁴| 1=A-B+N

X³| 7=2A+2B+P

X²| 2=2A-2B+Q Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

X |2=A+B-N-P

1 |1=A-B-N-Q

2 способ – задавать значения неизвестной, вычислять значения числителей и составлять систему уравнений.

X=1 | 16=8A

X= -1| -8=-8B

X=0 | 1=A-B-N-P

X=2 | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3Q

X=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3Q

X=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8Q

Решая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая и удобная для решения система уравнений.

В данном примере вторая система сложнее первой.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

1) ,

3) =

(пример рассмотрен во второй лекции). Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно в соответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другими буквами.

4) ==

, где .

Вычислим интеграл .

По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять интегралы при различных , предварительно вычислив

Таким образом, показано, что все простейшие рациональные дроби интегрируемы. Следовательно, класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций.

При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на простейшие. Затем интегрируют простейшие рациональные дроби.

Пример.

Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов)

Получим

Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов.

X=0 | -1 = B-A-C

X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B

X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1.

Вторая система проще, чем первая.

Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.

Тема 4. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций

1. , где – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрической подстановкой :

2. .

А) Если нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x.

Б) Если нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.

В) Если не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.

Пример. . Здесь мы имеем случай В). Подстановкой этот интеграл сводится к интегралу .

3. Интегралы

сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму по формулам

Пример.

4. Интегралы вида

a) Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.

Пример.

b) Если m, n – четные положительные числа, то применяют формулы удвоения аргумента

Пример.

c) , где m – целое положительное число, берутся с использованием формул .

Пример.

= -

d) В общем случае интегралы вида вычисляются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества.

Пример.

= .

Интегрирование иррациональных функций.

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональностей, для которых известны рационализирующие подстановки.

1. , где R – рациональная функция аргументов. Рационализирующая подстановка , где .

Пример. - интеграл от рациональной функции, если взять .

2. . Этот интеграл можно представить в виде = , а затем искать коэффициенты полинома n-1 степени и константу, дифференцируя обе части, приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Пример. .

Дифференцируем обе части

Приводим к общему знаменателю

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем . Теперь, выделяя полный квадрат, получаем в правой части разложения логарифм:

3. В интегралах вида рационализирующая подстановка .

Пример. . Применяем подстановку .

= .

4. Дифференциальный бином. , где - рациональные числа. Такие интегралы берутся только в трех случаях (условия П.Л.Чебышева):

а) p – целое (подстановкой , где ),

б)- целое (подстановкой ),

в) - целое (подстановкой).

Пример. Показать, что в интеграле - целое и равно 2. Показать, что подстановка - рационализирующая.

5. Интегралы вида сводятся к одному из трех типов интегралов:

а), для которого рационализирующие подстановки ,

б) , с подстановками ,

в) , с подстановками .

Не все интегралы могут быть вычислены в элементарных функциях. Такие интегралы называются неберущимися. Такими являются, например, и многие другие интегралы. Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках.

Модуль 2. Определенный интеграл Римана

Тема 5. Определение интеграла Римана

Задача вычисления площади криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком осью Oх, прямыми (на них лежат боковые стороны трапеции) и графиком функции .

Разобьем произвольным образом отрезок точками . Обозначим . На каждом отрезке отметим точку . Вычислим . Обозначим - площадь части криволинейной трапеции над отрезком , S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда

Пусть функция непрерывна на каждом отрезке . По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство , где - нижняя и верхняя грани функции на отрезке . Тогда

Сумма называется интегральной суммой, суммы , называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.

Будем измельчать разбиение так, чтобы . Если существует предел интегральных сумм при , то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : .

Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при , то они называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

Для того, чтобы существовал определенный интеграл по Риману , необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу.

Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит

- от выбора разбиения, лишь бы ,

- от выбора точек на частичных отрезках,

- от способа разбиения отрезка, лишь бы .

Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое конкретное разбиение отрезка, на котором для любого .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.

От задачи вычисления площади криволинейной трапеции мы пришли к определенному интегралу. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

К понятию интеграла можно придти и от других задач. К схеме определенного интеграла сводится любая задача вычисления некоторой величины, аддитивно зависящей от множества, т.е. величины I, удовлетворяющей соотношению , где А, В – отрезки оси Oх (в общем случае определенного интеграла по некоторому множеству А, В – некоторые множества). В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка, длину кривой, площадь поверхности, объем пространственного тела, массу указанных множеств и т.д.

Тема 6. Основные свойства интегрируемых функций и интеграла Римана. Теоремы о среднем

Свойства определенного интеграла.

1. Свойство аддитивности (по множеству)

Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .

2. .

Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет - . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим .

3. .

4. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

5. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

6. .

Имеем

7. .

8. Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда

9. (Первая теорема о среднем) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует , что (или ).

Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой .

По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней грани. По теореме об оценке , откуда, деля на , получим . По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка , в которой функция принимает свое промежуточное значение , т.е.

Тема 7. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом

Определенный интеграл представляет собой функцию пределов интегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретации интеграла как площади криволинейной трапеции. Изменяя пределы интегрирования, мы изменяем основание трапеции, изменяя тем самым ее площадь.

Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования – интеграл с переменным верхним пределом . Переменную интегрирования можно заменить другой буквой, например, z или t или какой-либо другой. От этого значение определенного интеграла не меняется.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , пусть . Тогда интеграл с переменным верхним пределом является первообразной этой функции, т.е. для любого .

Доказательство. .

При доказательстве мы воспользовались теоремой о среднем и непрерывностью функции .

Теорема (Формула Ньютона – Лейбница). Пусть функция непрерывна на отрезке - некоторая первообразная функции . Тогда .

Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что , т.е. - первообразная для функции . По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. Но , поэтому . Тогда . Следовательно, .

Тема 8. Замена переменной и интегрирование по частям

Методы вычисления остаются теми же, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной, надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной. Определенный интеграл при постоянных пределах интегрирования – число и все равно, в каких переменных считать это число. Но требование взаимной однозначности функции – замены и в определенном интеграле сохраняется.

Теорема. Пусть

1) непрерывны при ,

2) значения , не выходят за границы ,

3) ,

Тогда

Доказательство. .

Пример .

Теорема. Пусть функции непрерывны на . Тогда

Доказательство остается тем же, что для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b.

Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.

, так как

Интегрирование периодических функций на отрезке длины, кратной периоду.

Если - периодическая функция с периодом T, то .

Доказательство. .

Поэтому интеграл от периодической функции на отрезке, длиной равной периоду, можно вычислять на любом таком отрезке, результат будет тем же самым.

Заметим, что . Поэтому, например, .

Когда встречаются интегралы от синусов и косинусов на отрезке длины, кратной периоду, то такие интегралы вычислять не стоит, они равны нулю.

Модуль 3. Несобственные интегралы

Тема 9. Несобственные интегралы. Признаки сходимости

Пусть отрезок числовой оси неограничен. Это возможно в трех случаях: . Определим несобственные интегралы как пределы

. В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к . Если , то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла.

Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.

Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.

Пример. , интеграл сходится.

Пример. , интеграл расходится.

Пример. сходится при и расходится при . Проверьте это.

Рассмотрим интеграл Дирихле .

При , интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода сходится при расходится при

Признаки сравнения несобственных интегралов (достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).

Теорема. Пусть при выполнено неравенство .

Если интеграл сходится, то и интеграл сходится.

Если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке ,

. Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.

Если сходится (= I), то при любом b > a = I (I – конечное число).

Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел

, т.е. интеграл сходится.

Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана.

Теорема. Пусть при x>a . Если существует конечный предел , то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).

Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.

Пример. сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения .

Пример. сходится по первому признаку, интеграл сравнения

Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).

Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка , на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел =.

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел =.

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= , тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется = (интегралы в правой части определены выше).

Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится.

Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.

Пример.

Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны.

Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница (она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их применимости.

Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода .

При , интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода сходится при расходится при

Замечание. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится.

Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.

Примеры. сходится сравнением с несобственным интегралом Дирихле (n=) по второму признаку сравнения. Вспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при бесконечно малой наинизшего порядка малости. Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела.

расходится сравнением с интегралом по второму признаку сравнения.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

До сих пор при анализе сходимости несобственных интегралов мы предполагали, что подинтегральная функция принимает только положительные значения. Откажемся от этого предположения. Будем исследовать сходимость несобственных интегралов первого рода вида , где может принимать значения любого знака. Полученные результаты переносятся по аналогии на остальные несобственные интегралы первого и второго рода.

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл .

Теорема. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство. Введем в рассмотрение две вспомогательные функции . Эти функции принимают только положительные значения. Кроме того, . По первому признаку сравнения из абсолютной сходимости интеграла, т.е. из сходимости интеграла следует сходимость интегралов , . Тогда сходится интеграл . Теорема доказана.

Пример. абсолютно сходится, так как а интеграл сходится.

Условная сходимость несобственных интегралов.

Интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.

Покажем, что интеграл условно сходится.

Перейдем к пределу при . Интеграл в правой части равенства абсолютно сходится, обозначим его I.

. Поэтому интеграл сходится.

Покажем, что этот интеграл не сходится абсолютно. Справедливо неравенство . .

Переходя к пределу при , видим, что интеграл сходится (аналогично интегралу ), интеграл расходится. Поэтому интеграл расходится. Если бы он сходился, то складывая его с сходящимся интегралом 0.5, получили бы сходящийся интеграл (0.5), а этот интеграл расходится.

Используя неравенство и расходимость интеграла , по первому признаку сравнения получаем расходимость интеграла . Следовательно, интеграл условно сходится.

Тема 10. Приложения интеграла к геометрии и механике

1. Если функция принимает только неотрицательные значения, то площадь под графиком функции на отрезке [a, b] может быть вычислена с помощью определенного интеграла .

Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательные значения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.

Можно вычислять площадь по формуле S=. Это равносильно изменению знака функции в тех областях, в которых она принимает отрицательные значения.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу графиком функции , то можно пользоваться формулой S=, так как .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 и графиками функций y=x², y=x³.

Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x² > x³, а при x >1 выполнено неравенство x³ > x². Поэтому

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат.

Тогда имеет место формула .

Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем . Площадь круга равна .

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой .

Функция может быть задана параметрически в виде . Используем формулу S=, подставляя в нее и пределы интегрирования по новой переменной . Получаем . Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функция имеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем или иным знаком.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте . Поэтому .

2. Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой Oх, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой Oх.

Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получим . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим .

Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси Oх.

Тогда .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Oу, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси Oу, то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .

Пример. Вычислить объем шара .

Пример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченного поверхностью и плоскостью .

Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси Oz прямоугольного треугольника в плоскости Oxz, катеты которого лежат на оси Oz и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой .

Выражая x через z, получим .

Искомый объем можно посчитать как разность объемов прямого кругового цилиндра с высотой H и тела, вращения, ограниченного цилиндрической, конической поверхностями и плоскостью Oxz

3. Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то

. Поэтому .

Если дуга задана в полярной системе координат, то

. Поэтому .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции, . .

Пример. Вычислить длину кардиоиды .

Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды. .

4. Пусть гладкая дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции . Эта дуга вращается вокруг оси Oх, описывая некоторую поверхность. Требуется определить площадь этой поверхности.

Считая элемент поверхности боковой поверхностью усеченного конуса, высотой которого является отрезок , получим . Выделяя здесь линейную часть дифференциала , получаем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

Если функция задана параметрически или в полярной системе координат, то в этой формуле производится соответствующая замена переменной, формулы для дифференциала длины дуги приведены выше.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.Т. 1, 2.М.: Высшая школа, 1981.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа.Т. 1, 2. М.: Наука, 1983.

3. Демидович К.Д. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:Наука, 1990.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1 –3. ИД: Лань, 2009.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1967.

6. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1986.

7. Камынин Л.И. Курс математического анализа.Т. 1, 2. М.: Изд. МГУ, 1995.

8. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., 1999.

Контрольные вопросы к коллоквиумам

1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

2. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов. Метод замены переменной.

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5. Интегралы от простейших дробей.

6. Интегрирование рациональных функций общего вида.

7. Интегрирование простейших иррациональностей.

8. Подстановки Эйлера.

9. Интеграл от дифференциального бинома.

10. Интегрирование тригонометрических функций.

11. Задача вычисления площади криволинейной трапеции.

12. Определение определенного интеграла.

13. Класс интегрируемых функций.

14. Свойства определенного интеграла

15. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

16. Замена переменной в определенном интеграле.

17. Интегралы от четной, нечетной и периодической функций.

18. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

19. Различные виды задания кривой.

20. Геометрические приложения определенного интеграла.

21. Несобственные интегралы 1 рода.

22. Несобственные интегралы 2 рода.

Задания для самостоятельной работы

1. Найти неопределенные интегралы

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

4. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

5. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

7. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

8. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

9. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

11. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

12. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

13. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

14. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

15. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

16. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

17. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

18. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

19. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

20. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

3. Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Оглавление

Модуль 1. Неопределенный интеграл

Тема 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Оглавление

Тема 2. Основные методы интегрирования

Оглавление

Тема 3. Интегрирование рациональных функций

Оглавление

Тема 4. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций

Оглавление

Модуль 2. Определенный интеграл Римана

Тема 5. Определение интеграла Римана

Оглавление

Тема 6. Основные свойства интегрируемых функций и интеграла Римана. Теоремы о среднем

Оглавление

Тема 7. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом

Оглавление

Тема 8. Замена переменной и интегрирование по частям

Оглавление

Модуль 3. Несобственные интегралы

Тема 9. Несобственные интегралы. Признаки сходимости

Оглавление

Тема 10. Приложения интеграла к геометрии и механике

Оглавление

Литература

Оглавление

Контрольные вопросы к коллоквиумам

Оглавление

Задания для самостоятельной работы

Оглавление