В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Пишут AÌB или BÉA и говорят, что множество A включено во множество B или B включает A.

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают это так: A=B.

Включение AÌB не исключает равенства этих множеств. Если же AÌB, но A¹B и A¹Æ, то A называют собственным подмножеством множества B.

Если множество A включено во множество B или совпадает с ним, то пишут AÍB или BÊA.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Если заданы два множества A и B, то через AÈB обозначается множество, называемое их объединением или суммой и состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, если некоторый элемент принадлежит множеству AÈB, то он принадлежит либо только множеству A, либо только множеству B, либо обоим этим множествам одновременно.

Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.

Через A∩B обозначается множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству A, так и множеству B. Множество A∩B называется пересечением множеств A и B. Если A и B не имеют общих элементов (в частности, одно из них или оба пусты), то полагают A∩B=Æ. В этом случае множества A и B называются непересекающимися.

Отметим, что пустое множество совпадает само с собой: Æ=Æ, но вместе с тем оно не пересекается само с собой: Æ∩Æ=Æ.

Через обозначается множество, называемое разностью множеств A и B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Говорят также, что получается из множества A вычитанием из него множества B.

Если BÌA, то разность называется дополнением множества B до множества A. По определению, полагается .

Логические символы

В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности.

Кроме того, в математических доказательствах часто используют символ Þ, который означает «следует» (одно высказывание следует из другого), и символ Û, который означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны.

2. Понятие функции

Пусть даны два множества и . Если каждому элементу по некоторому закону или правилу соответствует определенный элемент , то это соответствие называется однозначной функцией или отображением множества в множество . Множество называется областью определения или существования этой функции. Функция обозначается , или . Переменная называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная называется зависимой переменной или функцией.

Если элемент соответствует элементу при отображении , то называется образом , а – прообразом .

Множество всех образов при отображении называется множеством значений этой функции или областью изменения функции.

Способы задания функции

1) Аналитический способ - указывается формула, которая служит законом соответствия и связывает зависимую и независимую переменные: . Например, .

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

3. Сложная и обратная функции

Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g)D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому yE(f) соответствует единственное значение xD(f), при котором верно равенство y = f(x).

Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция), D(y) = R; E(y) = c.

(линейная функция), D(y) = R; E(y) = R.

y =(степенная функция), α ÎR, E(y), D(y) зависят от α.

y = (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).

y =(логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), E(y) = R.

Тригонометрические функции:

y = sin x, D(y) = R, E(y) =.

y = cos x, D(y) = R, E(y) =.

y = tg x, D(y) = , E(y) = R.

y = ctg x, D(y) = , E(y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, D(y) = , E(y) = .

y = arccos x, D(y) = , E(y) = .

y = arctg x, D(y) = R, E(y) = .

y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Содержание

Тема 2. Действительные числа и их последовательности

Множеством натуральных чисел называются числа, используемые при счете и обозначается . Множество всех натуральных чисел, ноль и числа, противоположные натуральным, образуют множество целых чисел: .

Рациональным числом называют число, представимое в виде отношения некоторого целого числа к некоторому натуральному числу. Множество всех рациональных чисел обозначается через . Следовательно,

Хотя рациональных чисел бесконечно много, их не хватает для измерения длин, площадей, объемов и т.д.

Измерить длину отрезка означает сравнить его с другим отрезком. Оказывается, если взять два произвольных отрезка с длинами и , то не всегда с помощью одного можно найти длину другого, если ограничиться только множеством рациональных чисел. Таковыми являются, например, сторона и диагональ квадрата. Если взять в качестве масштабной единицы какой-нибудь отрезок, сторону и диагональ нельзя выразить с помощью рациональных чисел. Следовательно, для измерения величин (длины, площади т.д.) нужно расширить множество рациональных чисел.

Заметим, что любое рациональное число можно представить в виде некоторой бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого достаточно числитель разделить на знаменатель в столбик.

Аналогично каждую бесконечную десятичную дробь можно обратить в обыкновенную дробь. Поэтому рациональное число можно определить следующим образом: рациональным числом называется бесконечная периодическая десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «-».

Легко привести примеры десятичных дробей, которые не являются периодическими. Таковой является, например, дробь 0,1010010001… Число 1 не является периодом, так как как угодно далеко в записи этой дроби встречаются нули. Аналогично ноль не является периодом. Следовательно, существуют непериодические десятичные дроби, они называются иррациональными числами. Множество иррациональных чисел обозначается Оказывается, если объединить все периодические и непериодические десятичные дроби, то задача измерения величин полностью решается.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел. Обозначается .

Последовательность. Предел последовательности

Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность. Соответствующий натуральному числу n элемент множества X обозначается через x_n и называется n-м членом последовательности. Сама эта последовательность обозначается через {x_n} или x_n, n = 1, 2, ...

Постоянное число a называется пределом последовательности x_n, если для любого e>0 существует такой номер N(e), что все значения x_n, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству .

Если выполняется это условие, то пишут или x_n®a при n®¥ и говорят, что члены последовательности {x_n} стремятся к a. Сама последовательность в этом случае называется сходящейся.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить a=0, то неравенство примет вид .

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»: последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа e > 0, начиная с некоторого номера.

Можно показать, что, если последовательность x_n®a, то она может быть представлена в виде , где a_n есть бесконечно малая, и обратно, если последовательность x_n допускает такое определение, то она имеет пределом a. Это следует из того, что .

Этим свойством часто пользуются на практике для установления предела последовательности.

Последовательность x_n называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остаётся большей сколь угодно большого наперёд заданного числа Е > 0, начиная с некоторого номера: .

Примеры. Бесконечно большими являются следующие последовательности: .

Если последовательность x_n является бесконечно большой и, начиная с некоторого n, сохраняет определённый знак (+ или-), то в соответствии со знаком говорят, что последовательность x_n имеет предел +¥ или –¥, и пишут:

Очевидно, что бесконечно большая величина x_n в общем случае характеризуется соотношением: |x_n|®+¥.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Теорема 2. Если для двух последовательностей x_n, y_n всегда выполняется неравенство x_n³ y_n, причём каждая из них имеет конечный предел: x_n® a, y_n® b, то a ³ b.

Теорема 3. Если для последовательностей x_n, y_n, z_n всегда выполняются неравенства x_n£y_n£z_n, причём , тогда .

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной последовательности x_n на бесконечно малую a_n величину есть бесконечно малая величина.

Теорема 4. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причём .

Теорема 5. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .

Теорема 6. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , b ¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел, причём .

Предел монотонной ограниченной последовательности

Последовательность x_n называется возрастающей (неубывающей), если .

Последовательность x_n называется убывающей (невозрастающей), если .

В первом случае говорят, что последовательность «монотонно возрастает», во втором – что она «монотонно убывает». В целом последовательности такого вида называют монотонными.

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Пусть дана монотонно возрастающая последовательность x_n. Если она ограничена сверху: , то имеет конечный предел, в противном случае – стремится к +¥.

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая последовательность x_n. Её предел конечен, если она ограничена снизу: , в противном же случае её пределом служит –¥.

Критерий сходимости Коши

Назовём последовательность фундаментальной (сходящейся в себе, последовательностью Коши), если для каждого числа e > 0 существует такой номер N, что неравенство выполняется для всех n₁>N, n₂>N.

Теорема (критерий сходимости Коши). Для того чтобы последовательность x_n имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Содержание

Тема 3. Теория пределов

1. Предел функции в конечной точке x₀

Определение 1. Окрестностью точки x₀ называется любой интервал, содержащий точку x₀:

Определение 2. d-Окрестностью точки x₀ называется интервал (; ), длина которого 2d, симметричный относительно x₀:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x₀ называется d-окрестность точки x₀ без самой точки x₀:

Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x ® x₀, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x₀, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак: и .

2. Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

– для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x₀, предел равный А, то существуюти и справедливо равенство: .

Замечание 2. Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f(x) имеет предел, равный числу: .

Замечание 3. Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x₀ функция f(x) не имеет предела.

3. Предел функции на бесконечности

Определение 6. Окрестностью бесконечно удалённой точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству , где N достаточно большое положительное число.

Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа ε > 0 существует другое большое число – такое, что для любого удовлетворяющего неравенству выполняется неравенство . Этот факт записывают: .

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 8. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x₀ или в точке , если предел a(x) при x® равен нулю: .

Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x ® x₀ равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.

Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство |f(x)| < M.

Основные свойства бесконечно малых функций

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в этой точке , т.е. если – бесконечно малые функции в точке , то – бесконечно малая функция в этой точке .

2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке , т.е. если – бесконечно малые функции в точке , то – бесконечно малая функция в этой точке .

3) Произведение бесконечно малой функции в точке на ограниченную функцию в некоторой окрестности точки есть бесконечно малая функция в точке, т. е. если α(x) бесконечно малая функция в точке и f(x) ограниченная в некоторой окрестности точки , то α(x)×f(x) – бесконечно малая функция в точке.

Следствие из свойства 3). Произведение постоянной c на бесконечно малую функцию α(x) в точке есть бесконечно малая функция в точке, т.е. если α(x) – бесконечно малая функция в точке , то с×α(x) – бесконечно малая функция в точке x₀.

Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x₀ и бесконечно большой функцией в точке x₀)

Если функция f(x) является бесконечно большой в точке , то функция является бесконечно малой в точке . (Верно и обратное утверждение)

5. Основные теоремы о конечных пределах

Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x₀. Пусть , тогда по теореме 1g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x₀. Рассмотрим сумму этих функций:

f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).

Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x₀ (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке, равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть, тогда по теореме 1: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).

Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём , то существует предел частного этих функций в точке , равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует и существует , B ≠ 0, то существует

(доказать самостоятельно).

Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке: и при стремлении x к x₀ выполняется неравенство: φ(x) , то существует φ(x), равный А.

6. Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции в точке существует и равен 1, т.е..

Доказательство:

1) Пусть угол x > 0 (x ). Площади соотносятся: . Имеем ; ; , где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей: , , .

Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так: . Так как то по теореме 5: .

2) Пусть x < 0 (x ). Тогда (по доказанному в первом случае). Следовательно, .

Теорема доказана.

7. Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции при xсуществует и равен числу e, т.е. .

Замечание. Число e является пределом последовательности, причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: e = 2,7182818284590… . Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.

Модификация второго замечательного предела т.е. .

Содержание

Тема 4. Непрерывные функции

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x₀и предел f(x) в точке x₀равен значению функции в этой точке, т.е. .

Замечание. Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в точке её непрерывности:

т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой точке.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке, причём они равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е.

а) ;

б) ;

в) .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то функции с×f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x_0.

Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x₀и функция y = f(u) непрерывна в точке u₀= u(x₀), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x₀.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

2. Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5. Точка x₀называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Определение 6. Точка x₀называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x₀либо не определена, либо имеет значение f(x₀), не совпадающее с найденным пределом: f(x₀– 0) = f(x₀+ 0) ¹ f(x₀).

Определение 7. Точка x₀называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е. f(x₀– 0) ¹ f(x₀+ 0).

Определение 8. Точка x₀называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

Решение. На промежутке (–∞; –1) , на промежутке (–1;1) и на промежутке (1;+∞) .

На этих промежутках элементарная функция f(x) непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x = –1 и x = 1.

Получили, что f(–1–0) ¹ f(–1+0) => x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

Получили, что f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).

Ответ: f(x) непрерывна на промежутках (–∞;–1) и на (–1;+∞), точка x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

2. f(x) =

Решение. На промежутках (–∞;0) и на (0;+∞) функция f(x) непрерывна. Исследуем точку x = 0 Ï D(f).

2) x = 0 – точка разрыва функции f(x) II рода.

Содержание

Модуль 2

Тема 5. Производная и дифференциал функции одной переменной

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎD(f) и некоторое число Dx – такое, чтобы точка x+DxÎD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Решение. Dy= f(x+ Dx) – f(x) = .

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения: .

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел при Dt ® 0: V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t : .

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М₀(рис. 5).

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика . Точка M(x₀+Dx; y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx ® 0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M₀MA: tg j = , j – угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0: j = , где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x₀) = tg частное значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; y(x₀)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас= y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)): y = f(x₀) + f ' (x₀) × (x – x₀).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀;f(x₀)): y = f(x₀) –,

используя условие перпендикулярности прямых:

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

Вывод: ;

2) . Вывод: ;

3) . Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4) . Вывод: так как ln x = log _ex, то, используя производную, для (log _ax), можно записать:

5) (c)' = 0. Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^a)' = a×x^a^–
1

3. (a^x)' = a^x×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_ax)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

14. (arcctg x)' =

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dx = A×Dx + (Dx)×Dx,

где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.

Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х. Доказать: A = f '(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению Dy = A × Dx + (Dx) × Dx, где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Разделим это равенство на Dx ≠ 0: . Перейдём к пределу при Dx ® 0: существует, а значит f '(x) = A.

Необходимость доказана.

2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует. Доказать: f(x) дифференцируема.

Так как существует f '(x)=, то по свойству предела можно записать: , где (Dx) ® 0 при D x® 0. Умножим это равенство на Dx: Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде: Dy = A × Dx + (Dx) × Dx, где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

5. Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0: так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле: (U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV – U×V=

= U×DV + V×DU + DU×DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Следовательно, (U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x) ×W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U×V×W)' = U '×V×W + U×V '×W + U×V×W '.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции: (C×U(x))' = C×U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0: ,

Значит, .

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле: (f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде: , где .

Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е. (f(u(x)))' = f ' (u) ×u' (x).

Теорема доказана.

Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))^V⁽^x⁾ дифференцируема в точке x и справедлива формула:

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y = (U(x))^V⁽^x⁾ по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

6. Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом xÎ(–1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения: .

Выразим из полученного равенства y': .

Но при . Поэтому , так как . Следовательно, получаем: .

Аналогично, функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула: .

Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

Функция y = arcсtg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

7. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при Dx ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx): , где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается dy = y' (x)× Dx .

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается: dy = y' (x)× dx .

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x₀ (рис. 6):

Рис. 6

Из DM₀AN

AN = M₀A×tg a = Dx×f '(x₀) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)), при переходе от x₀ к x₀+Dx (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство: dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство: dy = y'(x)dx .

Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то y' (x) = f ' (u) × u' (x). Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)×u'(x)dx = f '(u)×du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно, du = u' (x)×dx.

Теорема доказана.

8. Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y')' = (f'(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается: .

Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается: .

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается: .

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) в точке x называется выражение, обозначаемое d²y и вычисляемое по формуле: , если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f(x): ,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

Содержание

Тема 6. Теремы о среднем дифференциального исчисления

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых

x Î [a;b] выполняется неравенство: m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: f(х₀) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х₀Î (a;b), в которой выполняется равенство: f(х₀) = 0.

1. Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b];

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b);

· f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х₀,в которой выполняется равенство: f '(х₀) = 0.

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая: m = M и m < M.

· Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [a;b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х₀ можно рассматривать любое значение x Î [a;b].

· Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке х₀Î (a;b). Тогда в точке х₀для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(х₀+ Dx) – f(х_о) ≤ 0, так как f(х₀) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a;b] и Dx такое, что х₀+ D x Î [a;b].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a;b), то в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства: f ' (х₀ + 0) = f ' (х₀ – 0) = f ' (х₀) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х_{0 ;} f (х₀)), где х₀Î (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 7).

Рис. 7

2. Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: f ' (х₀) = .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l×x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + l×a и F(b) = f(b) + l×b, то получим равенство: f(a) + l×a = f(b) + l×b.

Отсюда выразим значение l: l = – . При этом значении l функция F(x) = f(x) – .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F(x) непрерывна на отрезке [a;b]:

· F(x) дифференцируема на интервале (a;b)

· F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a;b) существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:F '(х₀) = 0.

Найдём F '(x): F '(x) = f '(x) – . Поэтому F '(x₀) = f '(х₀) –= 0, если f '(х₀) = .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (х₀; f(х₀), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) (рис. 8)

Рис. 8

3. Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];

· f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции F(x) = f(x) + l × g(x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

4. Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство: = .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство: = =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Содержание

Тема 7. Производные высших порядков. Формула Тейлора

1. Определение производных высших порядков

Пусть функция , определённая на интервале , имеет в каждой точке производную и пусть . Если при x = x₀ у производной функции существует производная, то она называется второй производной (или производной второго порядка) функции f и обозначается или .

Таким образом, . Аналогично определяется производная любого порядка n=1, 2, ...: если существует производная порядка n–1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция , а под производной первого порядка – ), то, по определению, .

Вспоминая определение производной, определение n-й производной в точке x₀ можно записать в виде предела:

Отметим, из предположения, что функция f имеет в точке x₀ производную порядка n, отсюда следует, в силу определения последней, что в некоторой окрестности точки x₀ у функции f существует производная порядка n–1, а, следовательно, при n > 1 и все производные более низкого порядка k < n–1, в частности, сама функция определена в некоторой окрестности точки x₀. При этом все производные, порядок которых меньше n–1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех её точках они имеют производную.

Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 1, 2, ...).

Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n.

2. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Как известно, её дифференциал , который называется также её первым дифференциалом, зависит от двух переменных: x и dx. Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как функция только от x (т. е. при некотором фиксированном dx), имеет вид и называется вторым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через .

Подобным же образом в том случае, когда производная (n–1)-го порядка , дифференцируема в точке x₀ или, что эквивалентно, когда при x=x₀ существует производная n-го порядка , определяется дифференциал n-го порядка функции в точке x₀ как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка : , т. е. .

3. Формула Тейлора.

Теорема. Пусть функция , определённая на интервале , имеет в точке производные до порядка n включительно. Тогда при x®x₀ .

Эта формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен называется многочленом Тейлора степени n, а функция – остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора.

Если в этой формуле положить x₀= 0, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена: .

Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при этом остаточным членом.

Замечание. Можно показать, что если функция в некоторой окрестности точки x₀ имеет производную порядка n, то, какова бы ни была точка x этой окрестности, найдётся такая точка x, лежащая между x₀ и x, что для остаточного члена формулы Тейлора функции имеет место формула (форма Лагранжа), (форма Коши).

Тема 8. Исследование поведения функций с помощью производных

1. Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов или равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

где (x) – бесконечно малая функция при (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при (или) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при кривой y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде:

, где при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

где (x) – бесконечно малая величина при .

Отсюда получаем:, где при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D(y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при прямая y = 1×x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты, y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

2. Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x₂> x₁ следует неравенство:

f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x₁ и x₂ из промежутка (a;b). Для определённости предположим, что x₂ > x₁.

На отрезке [x₁;x₂] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x₁; x₂], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x₁; x₂), в которой выполняется равенство:

f(x₂) – f(x₁) = f' (c) × (x₂ – x₁).

Если f '(x) > 0 для любых xÎ(a;b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x₂) – f(x₁) > 0, т.е. из условия x₂ > x₁следует неравенство f(x₂) > f(x₁). А так как x₁ и x₂–любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если для любых , то . Поэтому, то есть из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) < f(x₁). Так как x₁ и x₂ любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

3. Экстремумы функции

Определение 6. Функция y = f(x) имеет в точке x₀ÎD(f) максимум y_max (минимум y_min), если существует такая окрестность точки x₀, в которой для всех x выполняется неравенство:

f(x₀) > f(x) (f(x₀) < f(x)).

Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x₀, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция y = f(x) в точке x₀ имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x₀ f(x₀) > f(x).

Отсюда следует, что для любого Dx ≠ 0 справедливо неравенство: f(x₀+Dx) – f(x₀) < 0. Разделим это неравенство на Dx, получим: при Dx > 0: при Dx < 0:

Перейдём к пределам:

Так как существует, то:

Аналогично рассматривается случай, когда x₀ – точка минимума.

2) Если f '(x₀) не существует или равна ¥, то точка x₀ может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y = имеет минимум при x = 0, хотя y'(0) не существует (рис. 9).

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀, дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением может быть самой этой точки, f’(x₀) = 0 или не существует и при переходе x через точку x₀ производная f '(x) изменяет знак, то точка x₀ является точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется

с + на –, то x₀ – точка максимума,

с – на +, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x₀изменяет знак с

+ на – , т.е. f '(x) > 0 при x Î (x₀– d; x₀) и f '(x) < 0 при x Î (x₀; x₀+ d), где d > 0 (рис. 10).

1) Пусть x Î (x₀– d; x₀). На отрезке [x; x₀] функция y = f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x₀) найдётся хотя бы одна точка c₁, в которой выполняется равенство: f(x) – f(x₀) = f '(c₁)×(x – x₀), где c₁Î (x₀– d; x₀).

Так как f '(c₁) > 0 и x – x₀< 0, то f(x) – f(x₀) < 0.

2) Пусть . На отрезке функция также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x₀; x) найдётся хотя бы одна точка с₂, в которой выполняется равенство: f(x) – f(x₀) = f’(c₂)×(x – x₀),

где c₂Î (x₀; x₀+ d). Так как f '(c₂) < 0 и x – x₀> 0, то f(x) – f(x₀) < 0.

Следовательно, для любого x Î (x₀– d; x₀+ d) выполняется неравенство: f(x₀) > f(x).

Отсюда следует, что точка x₀ является точкой максимума функции y = f(x). Аналогично рассматривается случай, когда при переходе x через точку x₀изменяет знак с – на +. При этом точка x₀является точкой минимума функции .

Теорема доказана.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в любой точке промежутка (a;b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f(x) в любой его точке (x; f(x)) при a < x < b.

Определение 8. График функции y = f(x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a;b), называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a;b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x; f(x)).

Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке (a;b) и f ''(x) для x Î (a;b) сохраняет свой знак, тогда кривая y = f(x) выпуклая, если f ''(x) £ 0

при x Î (a;b), и кривая y = f(x) вогнутая, если f ''(x) ³ 0 при x Î (a;b).

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда f ''(x) ³ 0 для x Î (a;b). Обозначим x₀любую точку промежутка (a;b). Построим касательную к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)): y_касат = f(x₀) + f '(x₀)∙(x – x₀). Покажем, что график функции y = f(x) лежит не ниже этой касательной,

т.е. выполняется неравенство: (f(x) – y_касат(x)) ³ 0 для любого x Î (a;b).

f(x) – y_касат(x) = f(x) – (f(x₀) + f '(x₀)∙(x – x₀)) =

= f(x) – f(x₀) – f '(x₀)∙(x – x₀) = (f(x) – f(x₀)) – f '(x₀)∙(x – x₀), где x Î (a;b) . (1)

Функция y = f(x) на отрезке [x₀;x] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на отрезке [x₀;x] найдётся хотя бы одна точка c₁, для которой выполняется равенство: f (x) – f(x₀) = f '(c₁)∙(x – x₀).

Подставим в равенство (1) полученное соотношение.

f(x) – y_касат(x) = f '(c₁)(x– x₀) – f ' (x₀)(x – x₀) = (x – x₀)×(f ' (c₁) – f ' (x₀)). (2) Функция f '(x) на отрезке [x₀;c₁] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на промежутке (x₀;c₁) найдётся хотя бы одна точка с₂, для которой выполняется равенство:

f '(c₁) – f '(x₀) = f ''(c₂)(c₁– x₀).

Подставим в равенство (2) полученное соотношение:

f(x) – y_касат(x) = (x – x₀)×f ''(c₂)∙(c₁– x₀). (3)

Если x > x₀, то c₁ > x₀ и c₂ > x₀, т.е. x – x₀ > 0 и с₁– x₀> 0.

По предположению f ''(x) ³ 0. Тогда f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Если x < x₀, то c₁< x₀ и c₂ < x₀, т.е. x – x₀ < 0 и c₁– x₀ < 0. Тогда f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Следовательно, при любом x Î (a;b) выполняется неравенство: f(x) – y_касат(x) ³ 0, т.е. на промежутке (a,b) график функции y = f(x) вогнутый.

Аналогично можно доказать, что если f ''(x) £ 0 при любом x Î (a;b), то кривая y = f(x) на промежутке (a;b) будет выпуклой.

Теорема доказана.

Определение 9. Пусть в точке (x₀; f(x₀)) существует касательная. Тогда точка (x₀; f(x₀)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой (или наоборот) называется точкой перегиба графика функции y = f(x).

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x_0, вторая производная функции f ''(x₀) = 0 (или не существует) и f ''(x) меняет свой знак при переходе x через точку x₀, то точка (x₀; f(x₀)) – точка перегиба кривой y = f(x).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ''(x) при переходе через точку x₀ изменяет знак с + на –.

Тогда в левой полуокрестности точки x₀f ''(x) > 0, т. е. кривая при x < x₀ вогнутая, а в правой полуокрестности точки x₀ f ''(x) < 0, т. е. кривая при x > x₀ выпуклая.

Следовательно, точка (x₀; f(x₀)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Аналогично рассматривается другой случай, когда f ''(x) при переходе через точку x₀ изменяет знак с – на +.

Теорема доказана.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].

Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается (), если для любого x Î [a;b] выполняется неравенство: f(x) £ f(c) (f(x) ³ f(c)) .

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема нахождения этих значений следующая:

1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].

2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).

4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

Тогда

6. Схема исследования функции. Построение графика

1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых функция y = f(x) имеет смысл.

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T такое, что f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

3) Исследовать функцию на чётность и нечётность: выяснить, выполняются ли равенства:

f(– x) = f(x) для любого xÎ D(f) – чётность

или

f(– x) = – f(x) для любого xÎ D(f) – нечётность.

Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси Oy – чётная или относительно начала координат – нечётная.

4) Найти точки пересечения графика функциис осями координат:

· с осью Oy: точка (0; f(0)), если 0 Î D(f),

· с осью Oх: точка (x_k; 0), где x_kÎ D(f) и является решением уравнения f(x) = 0.

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (график функции расположен ниже оси Ox).

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва.

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1, с. 43).

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции.

9) Найти множество E(f) значений функции.

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x + 2)e^–^x и построить её график.

1) D(y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x), то функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной.

4) Точка пересечения графика с осью Ox : (– 2; 0), с Oy : (0; 2)

5) При x Î (–¥; –2) функция отрицательная, при x Î (–2; +¥) функция положительная.

6) Функция непрерывна при x Î R.

7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b.

а)

k = 0 при x ® +¥

b = 0 при .

Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при .

б)

при наклонной асимптоты нет.

8) f '(x) = ((x + 2)e^{– x}) ' = 1×e^{– x}+(x + 2)×(–e^–x) = e^–x(1 – x – 2) = –(x + 1)e^{– x}.

D(y') = R.

y ' = 0: – (x+1)e^{– x} = 0 Þ x = – 1, f(–1) = 1×e¹ = e.

при x Î (– ¥;– 1) f(x) возрастает, при x Î(– 1;+¥) f(x) убывает,

при x = –1 f_max(– 1) = (– 1+2)e^{– (– 1)} = e.

9) E(f) = (–¥; e), так как

и f_max (–1) = e.

10) f ''(x) = (– (x + 1)e^–^x) ' = – 1e^–^x+ (x + 1)e^–^x = e^–^x(x + 1 – 1) = xe^–^x.

D(f '') = R

f '' (x) = 0 : xe^{– x} = 0 Þ x = 0, f(0) = 2.

при x Î (– ¥;0) график f(x) выпуклый, при x Î (0;+¥) график f(x) вогнутый. Точка (0;2) – точка перегиба графика.

11) Результаты проведенного исследования cведём в таблицу и построим график

Результаты исследования функции y = (x + 2)e ^–^x

x	(– ¥;– 1)	– 1	(– 1;0)	0	(0;+¥)
знак f ' (x)	+	0	–	–	–
знак f '' (x)	–	–	–	0	+
F(x)		e		2
F(x)

Содержание

Модуль 3

Тема 9. Понятие сходимости в конечномерном пространстве

Определение функции двух и более переменных

Пусть дано некоторое множество упорядоченных пар чисел .

Величина называется функцией двух переменных и , если существует правило или закон, по которому каждой паре чисел соответствует вполне определенное значение .

Переменные и называются независимыми переменными или аргументами. Область называется областью определения функции.

Обозначение функции двух переменных:

, , и т.д.

Функцию можно рассматривать как функцию точки плоскости и обозначить .

Значение функции в точке обозначают , .

Переменная величина называется функцией нескольких независимых переменных, если каждой системе значений этих переменных из данной области их значения соответствует единственное значение величины .

Обозначение: , - аргументы функции.

Областью определения функции , может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями – границами области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними.

Область называется открытой, если она состоит только из внутренних точек.

Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой и обозначается .

Область называется ограниченной, если существует такое число , что расстояние любой точки области от начала координат меньше , т.е.

Пример1. Найти область определения функции .

Решение. Для того, чтобы значения функции были действительными числами, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е.

или .

Уравнением границы области является окружность . - замкнутая, ограниченная область.

Геометрическое изображение функции двух переменных

Изобразим в плоскости область определения функции . В каждой точке восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение функции .

Геометрическое место всех точек есть некоторая поверхность, которая является геометрическим изображением функции .

Существует способ изображения функции двух переменных, основанный на сечении поверхности плоскостями , где - любое число.

Линией уровня функции называется множество точек плоскости , в которых функция принимает одно и то же значение . При различных получаются различные линии уровня для данной функции.

Тема 10. Пределы и непрерывность функции многих переменных

-окрестностью точки называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:

Пусть определена в некоторой окрестности точки , кроме быть может, самой этой точки.

Число называется пределом функции при и (т.е. при ), если для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство

Обозначение: или .

Основные свойства предела функции двух переменных аналогичны свойствам предела функции одной переменной.

Теорема. Если функции и определены на множестве и имеют в точке этого множества пределы и соответственно, то и функции , , имеют в точке пределы, которые соответственно равны , , .

Функция называется бесконечной малой в точке , если .

Замечание. Из существования предела функции вдоль некоторой кривой, соединяющей точки и , вообще говоря, не следует существования предела функции в точке , но он будет существовать в том случае, когда существует предел по любой кривой, соединяющей точки и , и все эти пределы равны между собой.

Функция (или функция ) называется непрерывной в точке , если:

1) определена в этой точке и некоторой её окрестности,

2) имеет предел ,

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. или . Обозначим

, - приращения аргументов и .

- полное приращение функции в точке

Функция называется непрерывной в точке , если .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва этой функции.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

1) ограничена, т.е. , .

2) имеет точки, в которых принимает наименьшее и наибольшее значения.

3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между значениями и .

Тема 11. Частные производные и дифференциалы

Пусть определена в некоторой окрестности точки .

Дадим переменной в точке приращение , а переменную оставим без изменения. Тогда функция получит приращение . называется частным приращением по в точке .

Аналогично получаем частное приращение по : .

Если существует предел

то он называется частной производной функции в точке по переменной и обозначается .

Итак, .

Аналогично определяется частная производная от функции по переменной в точке .

Частные производные функции находят по формулам вычисления производных функции одной переменной, при этом другая переменная считается постоянной.

Примеры. Для указанных функций найти частные производные.

1) .

, .

2) .

, .

Понятие дифференцируемости функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , тогда полное приращение этой функции в точке М имеет вид:

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

где и при и .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем , .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке, то она дифференцируема в этой точке.

Известно, если функция дифференцируема в точке , то имеет место соотношение

где - бесконечно малые функции при и .

Главная линейная часть относительно и полного приращения функции Δz в точке называется полным дифференциалом функции и обозначается: .

Теорема. Если дифференцируема в точке , то её полный дифференциал равен: .

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция в некоторой области имеет частные производные

и .

Будем называть их частными производными первого порядка.

Частные производные первого порядка можно рассматривать как функции от двух переменных и . Если эти функции дифференцируемы в точке области , то их частные производные называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

, , , .

Производные и называются смешанными частными производными.

Теорема. Если функция имеет в точке и ее окрестности непрерывные смешанные производные и , то они в этой точке равны, т.е. =.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков. Например, , .

Дифференциалы второго, третьего и т.д. порядков от функции определяются формулами , и т.д.

Содержание

Тема 12. Задачи на экстремум функций многих переменных

Экстремум функции многих переменных рассмотрим на функции двух переменных.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство: или (, ) .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума (экстремальными точками), а значение функции в такой точке называется экстремумом функции.

Теорема (необходимый признак экстремума дифференцируемой функции). Если функция дифференцируема в точке и достигает в ней экстремум, то все её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

Точка называется стационарной точкой для функции , если её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю.

Отсюда следует, что всякая экстремальная точка дифференцируемой функции будет и стационарной. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Например, точка является стационарной для функции , но не является экстремумом, т.к. в любой окрестности точки будут находиться как точки в окрестности , так и точки в окрестности .

В точке экстремума функция не обязательно должна быть дифференцируемой.

Например, в точке функция имеет минимум, однако её частные производные в этой точке не существуют.

Следствие. Точками экстремума могут быть либо стационарные точки, либо точки, в которых функция не дифференцируема.

Все эти точки называются критическими и только они являются «подозрительными» на экстремум.

Все сказанное обобщается на функцию любого числа переменных.

Рассмотрим достаточный признак экстремума дифференцируемой функции.

Пусть точка является стационарной, причем в этой точке и некоторой её -окрестности функция имеет частные производные до второго порядка включительно.

Введем обозначения значений частных производных второго порядка в точке . Пусть

, , .

Обозначим .

Теорема 1. Если в стационарной точке > 0, то функция в точке имеет экстремум, причем при – max, при – min.

Теорема 2. Если в стационарной точке < 0, то функция в точке экстремума не имеет.

Замечание. Если в стационарной точке = 0, то вопрос о наличии экстремума в ней остается открытым.

Схема исследования функции двух переменных на экстремум.

1. Найти стационарные (критические) точки .

1) Найти , .

2) Решить систему:

Пусть и – решения системы, тогда и - стационарные точки.

2. Проверим точки на экстремум с помощью достаточного условия.

3. Найдем , , .

Для каждой стационарной точки найдем значения , , , (например, для точки ).

, , .

4. Вычислим .

5. Для определения точек экстремума воспользуемся следующей таблицей

D	А	Вывод
+	+	min
+	–	max
–		экстремума нет
0		дополнительное исследование

Пример 13.2. Исследовать на экстремум функцию

Решение.

1) , .

и - стационарные точки.

3) , , .

4) Для точки :

, , .

Так как , в точке экстремума нет.

Для точки имеем:

, , .

Так как и , то в точке функция имеет минимум, .

Содержание

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1, 2. М.: Наука, 1968.

2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2009.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Юрайт, 2013.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб.: Профессия, 2001.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1 –3. ИД: Лань, 2009.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.Т. 1, 2.М.: Высшая школа, 1981.

7. Никольский С.М. Курс математического анализа.Т. 1, 2. М.: Наука, 1983.

8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1967.

9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1986.

10. Камынин Л.И. Курс математического анализа.Т. 1, 2. М.: Изд. МГУ, 1995.

11. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., 1999.

Модуль 1

Тема 1. Множества. Логические символы. Отображение и функция. Графики

1. Множества. Операции над множествами

2. Понятие функции

Способы задания функции

3. Сложная и обратная функции

4. Элементарные функции

Тема 2. Действительные числа и их последовательности

Тема 3. Теория пределов

1. Предел функции в конечной точке x0

2. Односторонние пределы

3. Предел функции на бесконечности

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

5. Основные теоремы о конечных пределах

7. Второй замечательный предел

Тема 4. Непрерывные функции

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке

2. Точки разрыва функции и их классификация

Модуль 2

Тема 5. Производная и дифференциал функции одной переменной

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

3. Таблица производных основных элементарных функций

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

5. Правила дифференцирования

6. Производные обратных тригонометрических функций

7. Дифференциал функции

8. Производные и дифференциалы высших порядков

Тема 6. Теремы о среднем дифференциального исчисления

1. Теорема Ролля

2. Теорема Лагранжа

3. Теорема Коши

4. Правило Лопиталя

Тема 7. Производные высших порядков. Формула Тейлора

Тема 8. Исследование поведения функций с помощью производных

1. Асимптоты плоской кривой

2. Монотонность функции

3. Экстремумы функции

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

6. Схема исследования функции. Построение графика

Модуль 3

Тема 9. Понятие сходимости в конечномерном пространстве

Тема 10. Пределы и непрерывность функции многих переменных

Тема 11. Частные производные и дифференциалы

Тема 12. Задачи на экстремум функций многих переменных

Литература

1. Предел функции в конечной точке x₀