МИНИСТЕРСТВО
НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Дагестанский
государственный университет»
Факультет
математики и компьютерных наук
Кафедра
математического анализа
Курс лекций по дисциплине
Тригонометрические
и ортогональные ряды
Направление 02.01.03 –
Математика и компьютерные науки
Профиль Математический анализ и приложения
Уровень
высшего образования бакалавриат
Форма
обучения очная
Авторы-составители:
Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович,
Магомедова Вазипат Гусеновна
МАХАЧКАЛА – 2025
Содержание
лекционных занятий по дисциплине
Модуль 1. Общие
ортогональные системы и ряды
Тема 1. Виды
сходимости функциональных последовательностей
План:
1. Поточечная сходимость функциональной
последовательности.
2. Равномерная сходимость функциональной
последовательности и сходимость в среднем квадратичном.
Презентация Сходимость функциональных
последовательностей и рядов
Видеолекция на тему «Признаки равномерной сходимости
функциональных последовательностей» (из сайта открытых видеолекций
учебных курсов МГУ)
Тема 2.
Виды сходимости функциональных рядов
План:
1. Поточечная сходимость функциональных
рядов.
2. Равномерная сходимость и сходимость в
среднем квадратичном функциональных рядов.
Презентация Функциональные ряды
Видеолекция на тему «Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов»
(из сайта открытых видеолекций учебных курсов
МГУ)
Тема 3.
Системы ортогональных функций. Норма функции
План:
1. Ортогональные функции.
2. Норма функции.
Презентация Ортогональные функции
Видеолекция на тему «Общий ряд Фурье. Ортогональные системы функций» (из сайта открытых видеолекций учебных курсов МГУ)
Тема 4.
Важные примеры ортогональных систем
План:
1. Важные примеры ортогональных систем.
Презентация Важные
примеры ортогональных систем
Видеолекция1 на тему «Частные
случаи классических ортогональных полиномов (полиномы Якоби, полиномы
Лежандра)»
Видеолекция2 на тему «Частные
случаи классических ортогональных полиномов (полиномы Лагерра,
Эрмита)»
Видеолекция3
на тему «Система функции и полиномов
(свойства полиномов Лежандра, система полиномов Эрмита и Лагерра)»
Видеолекция4 на тему «Частные
случаи классических ортогональных полиномов (полиномы Якоби, полиномы
Лежандра)»
Модуль 2. Тригонометрические
ряды
Тема 5.
Определение и примеры тригонометрических рядов Фурье
План:
1. Ряд Фурье по основной тригонометрической
системе функций.
2. Ряд Фурье по общей тригонометрической
системе функций.
Презентация Определение и примеры тригонометрических
рядов Фурье
Видеолекция на тему «Тригонометрические ряды Фурье» (из сайта открытых видеолекций
учебных курсов МГУ).
Тема 6.
Ряды Фурье по общим ортонормированным системам функций
План:
1. Ряды Фурье по общим ортонормированным
системам функций.
Презентация Ряды Фурье по общим ортонормированным
системам
Видеолекция1 на тему
«Тригонометрический ряд Фурье» .
Видеолекция2 на тему «Общие тригонометрические ряды. Оценки
коэффициентов Фурье» (из
сайта открытых видеолекций учебных курсов МГУ).
Тема
7. Функции с интегрируемым квадратом
План:
1. Функции с интегрируемым квадратом.
2. Неравенство Коши-Буняковского.
Презентация Функции с интегрируемым квадратом
Видеолекция на тему «Неравенство Коши-Буняковского» (из
сайта открытых видеолекций учебных курсов МГУ).
Тема 8.
Квадратичное уклонение и минимальное свойство коэффициентов Фурье
План:
1. Квадратичное уклонение.
2. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.
3. Неравенство Бесселя.
Презентация Квадратичное уклонение и минимальное
свойство коэффициентов Фурье
Видеолекция на тему «Теорема о стремлении коэффициентов Фурье к нулю»
Тема 9.
Тождество Бесселя и приложения для основной тригонометрической системы функций
План:
1. Тождество Бесселя.
2. Равенство Парсеваля.
Презентация Тождество
Бесселя и приложения для основной тригонометрической системы функций
Видеолекция на тему «Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля» (из сайта открытых видеолекций учебных курсов МГУ)
Тема 10.
Сингулярный интеграл Дирихле
План:
1. Сингулярный интеграл Дирихле.
Презентация Сингулярный интеграл Дирихле
Видеолекция на тему «Сходимость ряда Фурье и ядро Дирихле»
(из сайта открытых видеолекций учебных курсов
МГУ)
Тема
11. Лемма Римана и принцип локализации
План:
1. Лемма Римана и принцип локализации.
Презентация Лемма Римана и принцип локализации
Видеолекция на тему «Лемма Римана. Принцип локализации для рядов Фурье» (из
сайта открытых видеолекций учебных курсов МГУ)
Тема
12. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке
План:
1. Признак Дини.
2. Признак Липшица.
3. Признак Дирихле.
Презентация Достаточные условия сходимости ряда Фурье в
данной точке
Видеолекция1 на тему «Принцип локализации Римана. Признаки Дини и Жордана»
Видеолекци2 на тему «Признак Дини-Липшица» (из сайта открытых видеолекций
учебных курсов МГУ)
Модуль 3. Классические ортогональные ряды
Тема 13.
Ряды Фурье по косинусам и по синусам
План:
1. Ряды по синусам и по косинусам.
Презентация Ряды Фурье по косинусам и по синусам
Видеолекция на тему «Ряды и интегралы Фурье (тригонометрический ряд Фурье,
кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции)»
План:
1.
Ряды Фурье для функций периода 2l.
Презентация Ряды Фурье для функций периода 2l
Видеолекция на тему «Ряды Фурье для функций периода 2l»
Тема
15. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2p
План:
1. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
длины 2p.
2. Случай функции, четной или нечетной
относительно точки, отличной от нуля.
Презентация Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
длины 2p
Видеолекция на
тему «Ряды Фурье
(тригонометрический многочлен, представление функции в виде ряда Фурье)»
Контрольно-измерительные материалы