МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  высшего образования

«ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет Управления

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

 

по дисциплине

 

ЭКОНОМЕТРИКА

 

Кафедра Математического моделирования, эконометрики и статистики

 

 

 

 

Разработчик: ст.преп.  кафедры Османова М.М.

 

Оглавление

Лабораторная работа №1. Парная регрессия и корреляция. 2

1.1. Методические указания. 2

1.2 Реализация типовых задач на компьютере. 5

Лабораторная работа №2. Множественная регрессия и корреляция. 17

2.1. Методические указания. 17

2.2.Технология решения задач корреляционного и регрессионного анализа с помощью пакета анализа. 26

Лабораторная работа № 3. «Анализ и прогнозирование временных рядов в среде Excel». 45

1. Основные понятия и определения. 45

2. Анализ временных рядов с помощью инструмента Excel-Мастер Диаграмм    47

Приложения.. 57

Литература.. 58

 

 

Лабораторная работа №1. Парная регрессия и корреляция.

1.1. Методические указания

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

где y - зависимая переменная (результативный признак);

x - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y=a+b×x+ε.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нели­нейные относительно включенных в анализ объясняющих перемен­ных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нели­нейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

·        полиномы разных степеней y=a+b1×x+b2×x2+b3× x3+ε

·        равносторонняя гипербола

 Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

·        степенная y=a× xb×ε

·        показательная y=a× bx×ε

·        экспоненциальная y=ea+b×x×ε

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее парамет­ров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических  минимальна, т.е.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линей­ным, решается следующая система относительно а и Ь:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффи­циент парной корреляции rxy, для линейной регрессии (-1£ rxy£1):

и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии (0£ ρxy£1):

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (ин­декс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений  - не более 8 - 10%.

Средний коэффициент эластичности  показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от сво­ей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии за­висимой переменной:

где   - общая сумма квадратов отклонений;

     - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией

                            («объясненная» или «факторная»);

       - остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:

.

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индек­са корреляции.

F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы  Но статистической не значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакг и критического (табличного) Fтабл зна­чений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения зна­чений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где п — число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных x..

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимает­ся равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл < Fфакг, то Hо - гипотеза о случайной природе оцени­ваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакг, то гипотеза Hо не от­клоняется и признается статистическая не значимость, ненадежность y уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов рег­рессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и до­верительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипо­теза Но о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их от­личии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и кор­реляции с помощью меритерия Стьюдента проводится путем сопос­тавления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффици­ента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики – t-табл и tфакг - принимаем или отвергаем гипотезу Hо

Связь между F-критерием Фишера и f-статистикой Стьюдента выражается равенством

Если tтабл < tфакг,  то Но отклоняется, т.е. a, b и rxy не случайно от­личаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт. то гипотеза Но не откло­няется и признается случайная природа формирования а, b или rxy

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:

Δa=tтаблmа,              Δb=tтаблmb,

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют сле­дующий вид:

                                               

                                               

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцени­ваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одно­временно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение yp определяется путем подстановки в урав­нение регрессии соответствующего (прогнозного) зна­чения Хр. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

 

где

и строится доверительный интервал прогноза:

                    

где 

 

1.2 Реализация типовых задач на компьютере.

Решение с помощью ППП Excel

1. Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет пара­метры линейной регрессии y=a+b×x. Порядок вычисления сле­дующий:

1.     введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2.     выделите область пустых ячеек 5х2 (5 строк, 2 столбца) для вы­вода результатов регрессионной статистики или область 1х2 - для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3.     активизируйте Мастер функций любым из способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

 б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке

     Вставка/Функция;

4.     окне Категория (рис. 1.1) выберите Статистические, в окне- ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5.     заполните аргументы функции (рис. 1.2):


 

Рис. 1.1. Диалоговое окно «Мастер функций»


Известные_значения_у - диапазон, содержащий данные резуль­тативного признака;

Рис. 1.2. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

 

Известные_значения_х - диапазон, содержащий данные факто­ров независимого признака;

Константа - логическое значение, которое указывает на нали­чие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным обра­зом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика - логическое значение, которое указывает, выво­дить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК;

6.     в левой верхней ячейке выделенной области появится пер­вый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, наж­мите на клавишу <F2>, а затем - на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b

Значение коэффициента а

Среднеквадратическое отклонение b

Среднеквадратическое отклонение а

Коэффициент детерминации R2

Среднеквадратическое отклонение у

F-статистика

Число степеней свободы

Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

 

 

Для  вычисления  параметров  экспоненциальной  кривой y=α×βx в MS Excel применяется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен примене­нию функции ЛИНЕЙН.

Для данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕЙН представлен на рис. 1.3, функции ЛГРФПРИБЛ - на рис.1.4.


 

Рис. 1.3. Результат вычисления функции  ЛИНЕЙН

 

Рис. 1.4. Результат вычисления функции  ЛГФПРИБЛ

2.С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо ре­зультатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и до­верительных интервалов, можно получить остатки и графики подбо­ра линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1)   

проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последо­вательно выберите Сервис /Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 1.5);

 

Рис. 1.5. Подключение надстройки Пакет анализа.

 2) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

3)   заполните диалоговое окно ввода данных и параметров выво­да (рис. 1.6):

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результа­тивного признака;

Входной интервал Х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа - ноль - флажок, указывающий на наличие или от­сутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по  кнопке OK.


Рис. 1.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия.

 

 

 

Рис. 1.7. Результат применения инструмента Регрессия.

В задачах 1-8 выполните:

Задание

1.     Постройте  поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи

2.     Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической  регрессии.

3.     Оцените  тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации

4.     "Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5.     Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6.     Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надеж­ность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7.     Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Опре­делите доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитиче­ской записке.

 

 

 

 

Задача 1. По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Район

Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах. займах. сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %, у

Среднемесячная на­численная заработная плата, тыс. руб., х

Брянская обл.

6,9

289

Владимирская обл.

8,7

334

Ивановская обл.

6,4

300

Калужская обл.

8,4

343

Костромская обл.

6,1

356

Орловская обл.

9,4

289

Рязанская  обл.

11,0

341

Смоленская обл.

6,4

327

Тверская  обл.

9,3

357

Тульская обл.

8,2

352

Ярославская обл.

8,6

381

 

 

Задача 2.

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Район

Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., у

Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., х

Брянская обл.

240

178

Владимирская обл.

226

202

Ивановская обл.

221

197

Калужская обл.

226

201

Костромская обл.

220

189

г. Москва

250

302

Московская обл.

237

215

Орловская обл.

232

166

Рязанская обл.

215

199

Смоленская обл.

220

180

Тверская обл.

222

181

Тульская обл.

231

186

Ярославская обл.

229

250

 

Задача 3.

По  территориям Центрального и Волго-Вятского районов из­вестны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Район

Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., у

Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс. руб., х

Центральный

 

 

Брянская обл.

615

289

Владимирская обл.

727

338

Ивановская обл.

584

287

Калужская обл.

753

324

Костромская обл.

707

307

Орловская обл.

653

304

Рязанская обл.

654

307

Смоленская обл.

693

290

Тверская обл.

704

314

Тульская обл.

780

304

Ярославская обл.

830

341

Волго-Вятский район

 

 

Респ. Марий Эл

554

364

Респ. Мордовия

560

342

Чувашская Респ.

545

310

Кировская обл.

672

411

Нижегородская обл.

796

304

 

Задача 4.

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.19).

Таблица 1.4

Район

Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у

Средняя заработная плата и выплаты социального харак­тера, тыс. руб., х

Волго-Вятский

 

 

Респ. Марий Эл

302

554

Респ. Мордовия

360

560

Чувашская Респ.

310

545

Кировская обл.

415

672

Нижегородская обл. -

452

796

Центрально-Черноземный

 

 

Белгородская обл.

502

777

Воронежская обл.

355

632

Курская обл.

416

688

Липецкая обл.

501

833

Тамбовская  обл.

403

577

Поволжский

 

 

Респ.   Калмыкия

208

584

Респ.   Татарстан

462

949

Астраханская  обл.

368

888

Волгоградская обл.

399

831

Пензенская обл.

342

562

Саратовская обл.

354

665

Ульяновская обл.

558

705

 

 

 

Задача 5.

По территориям Северного, Северо-западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., х

Северный

 

 

Респ. Карелия

596

913

Респ. Коми

417

1095

Архангельская обл.

354

606

Вологодски обл.

526

876

Мурманская обл.

934

1314

Сеаеро-Западный

 

 

Ленинградская обл.

412

593

Новгородская обл.

525

754

Псковская обл.

367

528

Центральный

 

 

Брянская обл.

364

520

Владимирская обл.

336

539

Ивановская обл.

409

540

Калужская обл.

452

682

Костромская обл.

367

537

Московская обл.

328

589

Орловская обл.

460

626

Рязанская обл.

380

521

Смоленская обл.

439

626

Тверская обл.

344

521

Тульская обл.

401

658

Ярославская обл.

514

746

 

Задача 6.

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.6).

                                                                  Таблица 1.6

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные дохо­ды на душу населения, тыс. руб., х

Восточно-Сибирский

 

 

"Респ. Бурятия

408

524

Рссп. Тыва

249

371

Респ.  Хакасия

253

453

Красноярский край

580

1006

Иркутская обл.

651

997

Усть-Ордынский Бурятский  авт. округ.

139

217

Читинская обл.

322

486

Респ. Саха (Якутия)

899

1989

Еврейская  авт. обл.

330

595

Чукотский  авт. округ

446

1550

Приморский край

642

937

Хабаровский край

542

761

Амурская  обл.

504

767

Камчатская  обл.

861

1720

Магаданская  обл.

707

1735

Сахалинская  обл.

557

1052

 

Задача 7

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов из­вестны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.7).

Таблица 1.7

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., х

Уральский

 

 

Респ. Башкортостан

461

632

Удмуртская Респ.

524

738

Курганская обл.

298

515

Оренбургская обл.

351

640

Пермская обл.

624

942

Свердловская обл.

584

888

Челябинская обл.

425

704

Западносибирский район

 

 

Респ. Алтай

277

603

Алтайский край

321

439

Кемеровская обл.

573

985

Новосибирская обл.

576

737

Омская обл.

588

760

Томская обл.

497

830

Тюменская обл.

863

2093

 

 

Задача 8.

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов из­вестны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.8).

Таблица 1.8

Район

 

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Средняя заработная плата и выплаты со­циального характера, тыс. руб., х

Уральский

 

 

Респ. Башкортостан

461

912

Удмуртская Респ.

524

809

Курганская обл.

298

748

Оренбургская обл.

351

847

Пермская обл.

624

1087

Свердловская обл.

584

1074

Челябинская обл.

425

1008

Западно-Сибирский

 

 

Респ. Алтай

277

682

Алтайский край

321

697

Кемеровская обл.

573

1251

Новосибирская обл.

576

967

Омская обл.

588

898

Томская обл.

497

1263

Тюменская обл.

863

3027

 

Задача 9.

По 20 регионам страны изучается зависимость уровня безрабо­тицы у (%) от индекса потребительских цен x (% к предыдущему году). Информация о логарифмах исходных показателей представ­лена в табл. 1.9.

Таблица 1.9

Показатель

In x;

In у

Среднее значение

0,6

1,0

Среднее квадратическое отклонение

0,4

0,2

Известно также, что коэффициент корреляции между логариф­мами исходных показателей составил rlnx lny = 0,8.

Задание

1. Постройте уравнение регрессии зависимости уровня безработицы от индекса потребительских цен в степенной форме.

2. Дайте интерпретацию коэффициента эластичности данной модели регрессии.

3. Определите значение коэффициента детерминации и поясните его смысл.

Задача 10.

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (табл. 1.10).

Таблица 1.10

Показатель

Материалоемкость продукции по заводам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Потребле­но мате­риалов на единицу продукции, кг

9

6

5

4

3,7

3,6

3,5

6

7

3,5

Выпуск продукции, тыс. ед.

100

200

300

400

500

600

700

150

120

250

 

Задание

1.     Найдите параметры уравнения

2.     Оцените  тесноту связи с помощью индекса корреляции.

3.     Охарактеризуйте  эластичность изменения материалоемкости продукции.

4.     Сделайте  вывод о значимости уравнения регрессии.

 

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитиче­ской записке.

 

Лабораторная работа №2. Множественная регрессия и корреляция.

2.1. Методические указания

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

Y=f(x1, x2,…..,xp),

где у                - зависимая переменная (результативный признак);

x1, x2,…..,xp),  - независимые переменные (факторы).

Основными этапами построения модели множественной регрессии являются:

1.     Построение системы показателей (факторов). Сбор и предвари­тельный анализ исходных данных. Построение матрицы коэф­фициентов парной корреляции.

2.     Выбор вида модели и численная оценка ее параметров.

3.     Проверка качества модели.

4.     Оценка влияния отдельных факторов на основе модели.

5.     Прогнозирование на основе модели регрессии.

Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции

Выбор факторов, влияющих на исследуемый показатель, произво­дится, прежде всего, исходя из содержательного экономического анали­за. Для получения надежных оценок в модель не следует включать слишком много факторов. Их число не должно превышать одной трети объема имеющихся данных (т.е. m ≤n/3)* . Для определения наиболее существенных факторов могут быть использованы коэффициенты ли­нейной и множественной корреляции, детерминации частных коэффи­циентов корреляции.

Отбор факторов для построения многофакторных моделей произ­водится на основе качественного и количественного анализа социально-экономических явлений с использованием статистических и математиче­ских критериев.

Формирование базы исходных данных. Сначала на основании со­держательного анализа составляется перечень показателей, которые предполагается включить в модель. Затем производится сбор статисти­ческой информации и предварительный анализ данных.

Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой сово­купности, записываются в таблицу исходных данных (табл. 4.1.1).

На второй стадии производятся сравнительная оценка и отсев части факторов. Это достигается анализом парных коэффициентов корреляции и оценкой (4.1.1) их значимости (4.1.2). Для этого составляется матрица парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту связи каждого из факторов-признаков с результативным фактором и между собой (табл. 4.1.2).

Таблица 2.1

№ п/п

Y

X1

X2

…..

Xm

1

Y

X11

X21

…..

Xm1

…..

…

…

…..

…..

…..

n

Yn

X1n

X2n

…..

Xmn

 

Определение значения коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции определяется по формуле:

где

 

факторы

Y

X1

X2

……..

Xm

Y

1

Xyx1

Xyx2

……..

Xyxm

X1

Xyx1

1

Xx1x2

……..

Xx1xm

X2

Xyx2

Xx1x2

1

……..

Xx2xm

……..

……..

……..

……..

……..

……..

Xm

Xyx

Xx1xm

Xx2xm

……..

1

 

Интерпретация полученной оценки коэффициента корреляции. Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Его положительное значение свидетельствует о прямой связи, отрица­тельное - об обратной, т.е. когда растет одна переменная, другая умень­шается. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь. Связь считается достаточно сильной, если коэффициент корреляции по абсолютной ве­личине превышает 0.7. и слабой, если меньше 0.4. При равенстве его нулю связь полностью отсутствует. Этот коэффициент дает объективную оценку тесноты связи лишь при линейной зависимости переменных.

Диаграмма, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называется корреляционным полем. Каждая точка этой диа­граммы имеет координаты X, и У,. По мере того, как возрастает сила ли­нейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой ли­нии, а величина г будет ближе к

Проверка значимости линейного коэффициента корреляции. Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t- критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия определяет­ся по формуле:

                   (2.1.2)

Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости (а = 0,05) и числа степеней свободы (n-2).

Если tнабл >t кр, то  полученное значение коэффициента корреляции

признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство

нулю коэффициента корреляции, отвергается). Таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

В модель включают те факторы, связь которых с зависимой пере­менной наиболее сильная.

В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не вы­полняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.

Мулътиколлинеарность. Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих пере­менных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономиче­ских показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров либо невозможным, либо затрудняет содержательную интерпретацию параметров модели. Мультиколлинеар-ность может возникать в силу разных причин. Например, несколько не­зависимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания. В частности, так может случиться, когда значения одной независимой переменной являются лагированными значениями другой. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0.8. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один из линейно свя­занных между собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой переменной.

На третьей, заключительной стадии производят окончательный отбор факторов путем анализа значимости вектора оценок параметров уравнении множественной регрессии с использованием критерия Стьюдента (k - количество факторов, включенных в модель после исключения незначимых факторов, k = т, если включены все анализируемые факторы).

 

 

Выбор вида модели и оценка ее параметров

Для отображения зависимости переменных могут использоваться показательная, параболическая и многие другие функции. Однако в практической работе наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, т.е. когда факторы входят в модель линейно.

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Yi= а0 + a1xi1 + а2хiа + ... + аmхim + εi .         (2.1.3)

Анализ уравнения (4.1.3) и методика определения параметров стано­вятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощают­ся, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (2.1.4):

Y=Xα+ε.                      (2.1.4)

Здесь У - вектор зависимой переменной размерности nx1, представляющий собой n наблюдений значений уi, Х - матрица независимых переменных, элементы которой суть n х m наблюдения значений т неза­висимых переменных Х1 X2, Х3, ..., Хm размерность матрицы Х равна m х 1;  - α - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности т х 1; ε - вектор случайных отклонений (возмущений) раз­мерности n х 1. Таким образом,

Уравнение (4.1.4) содержит значения неизвестных параметров α1, α 2, α m .  Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид

Y=X α +e=+e,                     (2.1.5)

где α - вектор оценок параметров; е - вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии е = y - Х α;  - оценка значений Y равная Х α.

Для оценивания неизвестного вектора параметров к воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения имеет вид:

Α=(XTX)-1XTY.                   (2.1.6)

Рассмотрим случай зависимости переменной Y от одного фактора X. Мы хотим подобрать уравнения.

 

Используя (4.1.6), можно получить следующие выражения для вычисления α1  и α0:

                      (2.1.8)

Проверка качества модели

Качество модели оценивается стандартным для математических моделей образом: по адекватности и точности на основе анализа остат­ков регрессии е. Расчетные значения получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных факторов.

Анализ остатков. Анализ остатков позволяет получить представле­ние, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположени­ям регрессионного анализа, остатки должны вести себя как независимые (в действительности почти независимые), одинаково распределенные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается также нормальный закон распределения остатков.

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина- Уотсона [2].

Исследование остатков полезно начинать с изучения их графика. Он может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости между Y и X график остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент.

Выбросы. График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения - выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их присутствие может грубо искажать значения оценок. Устранение эффектов выбросов может проводиться либо с помощью удаления этих точек из анализируемых данных (эта процедура называется цензурированием), либо с помощью применения методов оценивания пара­метров, устойчивых к подобным грубым отклонениям.

Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R, а также характеристики существенности модели в целом и отдельных ее коэффициентов:

             (2.1.9)

 

где - сумма квадратов уравнений остаточной компоненты;

       - сумма квадратов отклонений исходного ряда от его среднего значения.

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при лю­бой форме связи переменных. При построении однофакторной корреля­ционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэф­фициенту парной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R2), называется коэффициентом детерминации.

              (2.1.10)

Он показывает долю вариации результативного признака, находя­щегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объяс­няющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следова­тельно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с уче­том числа независимых переменных. Скорректированный R2, или , рассчитывается так:

где n - число наблюдения; k - число независимых переменных.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дис­персии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n-k- 1), где k - количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины (Se) называется стандартной ошибкой оценки.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-значение, вычисляемое как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с Vi = (n - 1) и v2 = (n - k - 1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой:

                       (2.1.11)

Если существует k независимых переменных, то будет k + 1 коэффициентов регрессии (включая постоянную), отсюда число степеней свободы составит n - (k + 1) или n - k - 1.

Целесообразно проанализировать также значимость отдельных коэффициентов регрессии. Это осуществляется по t-статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

                                      (2.1.12)

где Sαj, - это стандартное (среднее квадратическое) отклонение коэффи­циента уравнения регрессии αj.

Величина Sαj представляет собой квадратный корень из произведе­ния несмещенной оценки дисперсии Se и j-го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений.

                                   (2.1.13)

где     bjj – диагональный элемент матрицы (XTX)-1.

Если расчетное значение г-критерия с (n- k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из мо­дели (при этом ее качество не ухудшится).

 

 

Оценка влияния отдельных факторов на основе модели на зависимую переменную (коэффициенты эластичности и

β-коэффициенты)

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий при интерпретации применяются средние частные коэффициенты эластичности Э(j) и β -коэффициенты β(t), которые рассчитываются соответственно по формулам:

Э(j)=α(j)×Xср/Yср                           (2.1.14)

β (j)=α(j)×Sij/Sy                                  (2.1.15)

где Sij - среднее квадратическое отклонение фактора j.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов из­меняется зависимая переменная при изменении фактора. j  на 1%. Однако он не учитывает степень колеблемости факторов.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения Sy, изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Xj на величину своего среднего квадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов Δ(j):

Δ(j)=ryj β(j)/R2,

где ryj  - коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1, .... m) и зависимой переменной.

Использование многофакторных моделей для анализа и прогнозирования развития экономических систем

Одна из важнейших целей моделирования заключается в прогнозировании поведения исследуемого объекта. Обычно термин «прогнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для регрессионных моделей он имеет, однако, более широкое значение. Как уже отмечалось, данные могут не иметь временной структуры, но и в этих случаях вполне может возникнуть задача оценить значение зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле - как построение оценки зависимой переменной - и следует понимать прогнозирование в эконометрике.

Проблема прогнозирования имеет много различных аспектов. Можно различать точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка - это конкретное число, во втором - интервал, в котором истинное значение переменной находится с заданным уровнем доверия. Кроме того, для временных рядов при нахождении прогноза существенно наличие или отсутствие корреляции по времени между ошибками.

При использовании построенной модели для прогнозирования де­лается предположение о сохранении в период прогнозирования сущест­вовавших ранее взаимосвязей переменных.

Для прогнозирования зависимой переменной на l шагов вперед необходимо знать прогнозные значения всех входящих в нее факторов. Их оценки могут быть получены на основе временных экстраполяционных моделей или заданы пользователем. Эти оценки подставляются в модель, и получаются прогнозные оценки.

Построение точечных и интервальных прогнозов на основе регрессионной модели. Какие факторы влияют на ширину доверительного интервала? Для того, чтобы определить область возможных значений результативного показателя, при рассчитанных значениях факторов следует учитывать два возможных источника ошибок: рассеивание наблюдений относительно линии регрессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом построения самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик точности, в частности, величиной . Ошибки второго рода обусловлены фиксацией численного

значения коэффициентов регрессии, в то время как они в действительно­сти являются случайными, нормально распределенными.

Для линейной модели доверительный интервал рассчитывается следующим образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее буквой U):

                              (2.1.16)

                    (2.1.17)

Для модели парной регрессии формула (4.1.16) принимает вид:

 

                           (2.1.18)

Коэффициент tα является табличным значением t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости а и числа наблюдений, l - период прогнозирования. Если исследователь задает вероятность попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равную 70%, то tα = 1.05. Если вероятность составляет 95%, то tα = 1.96, а при 99% tα =2.65.

Как видно из формулы (4.1.18). величина U прямо пропорциональ­но зависит от точности модели ( ), коэффициента доверительной веро­ятности (tα), степени удаления прогнозной оценки фактора Х от среднего значения и обратно пропорциональна объему наблюдений.

В свою очередь

.                            (2.1.19)

В результате получаем следующий интервал прогноза для шага прогнозирования l:

-         верхняя граница прогноза равна Y(n + l) + U(l),

-         нижняя граница прогноза равна  Y(n + l) + U(l).

Если построенная регрессионная модель адекватна и прогнозные оценки факторов достаточно надежны, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся за­кономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

 

2.2.Технология решения задач корреляционного и регрессионного анализа с помощью пакета анализа.

Пакет анализа - это надстройка, которая представляет широкие возможности для проведения статистического анализа.

Установка средств Пакет анализа.

В стандартной конфигурации программы EXCEL вы не найдете средства Пакет анализа. Даже если установить их с компакт-диска EXCEL'97 (или Office'97), они не появятся в меню до тех пор, пока вы не установите их в качестве надстройки Excel. Для этого выполните следующие действия:

1. Выберите команду Сервис=>Надстройки.

2. В диалоговом окне Надстройки установите флажок Пакет анализа.

3. Щелкните на кнопке ОК.

После этого в нижней части меню Сервис появится новая команда Анализ данных. Эта команда предоставляет доступ к средствам анализа, которые есть в EXCEL.

Пример 2.2.1. Задача состоит в построении модели для предсказа­ния объема реализации одного из продуктов фирмы.

Объем реализации - это зависимая переменная Y. В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны: время – Х1, расходы на рекламу Х2, цена товара Х3, средняя цена конкурентов X4, индекс потребительских расходовX5.

1. Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции

Статистические данные по всем переменным приведены в табл. 2.2.1. В этом примере n = 16, m = 5.

Таблица 2.2.1

Y

XI

XI

X3

Х4

Х5

объем реализации

время

реклама

цена

цена конкурента

индекс потребительских расходов

126

 

4

15

17

100

137

1

4,8

14.8

17.3

98.4

148

2

3.8

15.2

16.8

101.2

191

3

8.7

15.5

16.2

103.5

274

4

8.2

15.5

16

104.1

370

5

9.7

16

18

107

432

6

14.7

18.1

20.2

107.4

445

7

18.7

13

15.8

108.5

367

8

19.8

15.8

18.2

108.3

367

9

10.6

16.9

16.8

109.2

321

10

8.6

16.3

17

110.1

307

11

6.5

16.1

18.3

110.7

331

12

12.6

15.4

16.4

110.3

345

13

6.5

15.7

16.2

111.8

364

14

5.8

16

17.7

112.3

384

15

5.7

15.1

16.2

112.9

 

Использование инструмента Корреляция. Для проведения корреляционного анализа выполните следующие действия:

1) данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек;

2) выберите команду Сервис =>Анализ данных;

3) в диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Корреляция (рис. 4.2.1). а затем щелкните на кнопке ОК;

4) в диалоговом окне Корреляция в поле «Входной интервал» необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок «Метки в первой строке» (рис. 4.2.2);

5) выберите параметры вывода. В данном примере - установите переключатель «Новый рабочий лист»;

6) ОК.

В табл. 2.2.2 приведены промежуточные результаты при вычисле­нии коэффициента корреляции по формуле (2.1.1)

Таблица 2.2.2

t

Y

 X2

)

)2

)

)2

)×)

1

2

126

137

4

4.8

-180.813

-169.813

32693.16 28836.29

-5.29375

-4.49375

28.02379 20.19379

957.1762

763.0949

3

148

3.8

-158.813

25221.41

-5.49375

30.18129

872.4762

4

191

8.7

-115.813

13412.54

-0.59375

0.352539

68.76367

5

274

8.2

-32.8125

1076.66

-1.09375

1.196289

35.88867

6

370

9.7

63.1875

3992.66

0.40625

0.165039

25.66992

7

432

14.7

125.1875

15671.91

5.40625

29.22754

676.7949

8

445

18.7

138.1875

19095.79

9.40625

88.47754

1299.826

9

367

19.8

60.1875

3622.535

10.50625

110.3813

632.3449

10

367

10.6

60.1875

3622.535

1.30625

1.706289

78.61992

11

321

8.6

14.1875

201.2852

-0.69375

0.481289

-9.84258

12

307

6.5

0.1875

0.035156

-2.79375

7.805039

-0.52383

13

331

12.6

24.1875

585.0352

3.30625

10.93129

79.96992

14

345

6.5

38.1875

1458.285

-2.79375

7.805039

-106.686

15

364

5.8

57.1875

3270.41

-3.49375

12.20629

-199.799

16

384

5.7

77.1875

5957.91

-3.59375

12.91504

-277.393

Сумма

4909

148.7

0

158718.4

0

362.0494

4896.381

 Среднее значение

306.8125

9.29375

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.2.3

 

 

 

Объем реализации

Время

Реклама

Цена

Цена

конкурента

Индекс потребительских расходов

Столбец 1

Столбец 2

Столбец З

Столбец 4

Столбец 5

Столбец 6

Объем реализации

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Время Реклама

0.678 0.646

1 0.106

1

 

 

 

 

 

 

Цена

0.233

0.174

-0.003

1

 

 

Цена конкурента

0.226

-0.051

0.204

0.698

1

 

 

 Индекс отребительских расходов

0.816

0.960

0.273

0.235

0.030

1

 

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции (табл. 2.2.3) показывает, что зависимая переменная, т.е. объем реализации, имеет тесную связь с индексом потребительских расходов (ryx5 = 0.816), с расходами на рекламу (ryx5=0.646) и со временем (ryx1 =0.678). Однако факторы X2; и X5 тесно связаны между собой (ryx5= 0.96), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных ос­тавим в модели X5 - индекс потребительских расходов. В этом примере n= 16, m = 5, после исключения незначимых факторов п = 16, k = 2.

2. Выбор вида модели и оценка ее параметров

Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наимень­ших квадратов по формуле (2.1.6), с использованием данных, приведен­ных в табл. 2.2.4.

Таблица 2.2.4

y

X0

X1

X2

объем реализации

 

реклама

индекс потребительских расходов

126

1

4

100

137

1

4.8

98.4

148

1

3.8

101.2

191

1

8.7

103.5

274

1

8.2

104.1

370

1

9.7

107

432

1

14.7

107.4

445

1

18.7

108.5

367

1

19.8

108.3

367

1

10.6

109.2

321

1

8.6

110.1

307

1

6.5

110.7

331

1

12.6

110.3

345

1

6.5

111.8

364

1

5.8

112.3

384

1

5.7

112.9

 

 

 

 

 

Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в сле­дующем виде:

Y= -1471.314 + 9.568Х1 + 15.754Х2.

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого момента времени t.

Применение инструмента Регрессия. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:

1) выберите команду Сервис  ÞАнализ данных;

2) в диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК;

3) в диалоговом окне Регрессия в поле «Входной интервал Y» вве­дите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле «Входной интервал X» введите адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых пере­менных;

4) если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке;

5) выберите параметры вывода. В данном примере - установите пе­реключатель «Новая рабочая книга»',

6) в поле «Остатки» поставьте необходимые флажки;

7) ОК.

Таблица 2.2.5

Регрессионная статистика

Множественный R

R- квадрат

Нормированный R-квадрат Стандартная ошибка

Наблюдения

0.927

0.859

0.837

41.473

16.000

Пояснения к табл. 2.2.5.

Регрессионная статистика

№

Наименование в отчете EXCEL

Принятые наименования

Формула

1

Множественный R

Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции

2

R-квадрат

Коэффициент детерминации, R2

3

Нормированный R-квадрат

Скорректированный R2

4

Стандартная ошибка

Стандартная

ошибка оценки

5

Наблюдения

Количество наблюдений, n

n

 

Таблица 2.2.6

Дисперсионный анализ

 

 

Df

SS

MS

F

Регрессия Остаток Итого

2

13

15

136358.334 22360.104 158718.438

68179.167 1720.008

39.639

 

 

Пояснения к табл. 2.2.6.

 

 

Df- число степеней свободы

SS - сумма квадратов

MS

F - критерий

Фишера

Регрессия

k=2

/k

Остаток

n-k-1=l3

/(n-k-1)

 

 

Итого

n-1 =15

 

 

 

 

 

Таблица 2.2.7

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение Реклама Индекс потребительских расходов

-1471.3143

9.5684

15,7529

• 259.7660

2.2659

2.4669

-5.6640

4.2227 6.3858

 

Во втором столбце табл. 2.2.7 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, a2. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки ко­эффициентов уравнения регрессии (2.1.12), а в четвертом - г-статистика (2.1.11), используемая для проверки значимости коэффициентов уравне­ния регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов, полученное с помощью EXCEL, как было указано ранее, имеет вид:

Y =-1471.314+9.568Х1.+15.754Х2.

Таблица 2.2.8

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

142.247

-16.247

2

124.697

12.303

3

159.237

-11.237

4

242.353

-51.353

5

247.021

26.979

6

307.057

62.943

7

361.200

70.800

8

416.802

28.198

9

424.177

-57.177

10

350.325

16.675

11

345.365

-24.365

12

334.724

-27.724

13

386.790

-55.790

14

352.052

-7.052

15

353.230

10.770

16

361.725

22.275

 

3. Оценка качества модели

В табл. 2.2.8 приведены вычисленные по модели значения Y и зна­чения остаточной компоненты.

Проверку независимости проведем с помощью rf-критерия Дарбина-Уотсона.

В качестве критических табличных уровней при N = 16, двух объясняющих факторах при уровне значимости 5% возьмем величины d1 =0,98 и d2 = 1,54.

Так как расчетное значение попало в интервал от d1 до d2, то нельзя сделать окончательный вывод по этому критерию. Для определения сте­пени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и прове­рим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки.

Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается следующим образом:

Коэффициенты автокорреляции случайных данных обладают выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным

Если  r1находится в интервале:

-0,96×0.25£r1 £1.96×0.25,

то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка, так как

-0.49£ r1 =0.305£0.49,

и свойство независимости выполняется.

Вычислить для модели коэффициент детерминации

=

=1-22360.104/158718.44=136358.3/158718.44=0.859.

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 86% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95v1=k=2 и v2 =n-k- 1 = 16-2- 1 = 13 составляет 4.81.

Поскольку Fрас > Fтабл. уравнение регрессии следует признать адекватным.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии a1, a2 оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

b22=0.00299,

b33=0.00354,

Табличное значение /-критерия при уровне значимости 5% и степенях свободы (16-2-1=13) составляет 1,77. Так как tpac> tтабл, то коэффициенты a1, a2  существенны (значимы).

4. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную по модели (для каждого коэффициента регрессии вычислить коэффици­ент эластичности, b-коэффициент)

Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эла­стичности (Э) и b -коэффициент, которые соответственно рассчитыва­ются по формулам:

Эi = аi × Xср: Ycр;

Э1 =9.568-9.294/306.813= 0.2898;

Э2=15.7529- 107.231 /306.813=5.506;

bi; = , ai× Sxi : Sy,

где

b1=9.568-4.913/ 102.865=0.457;

b2= 15.7529-4.5128/ 102.865=0.691.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов из­меняется зависимая переменная при изменении фактора на 1%.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на ка­кую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднее квадратическое отклонение при фиксированном на постоян­ном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении затрат на рекламу в нашем примере на 4.91 тыс. руб. объем реализации увеличится на 47 тыс. руб. (0.457-102.865).

5. Определить точечные и интервальные прогнозные оценки объе­ма реализации на два квартала вперед (t0.7=1.12)

         Прогнозные значения X1np(17), X2пр(18) и Х1np(17), X2пр(18) можно определить или вычислить на основе экстраполяционных методов.

Для фактора Х\ Затраты на рекламу выбрана модель

X1 = 12.83 - 11.616t + 4.319t2 - 0.552t3 + 0.020t4 - О.ООО6t5, по которой получен прогноз на два месяца вперед'. Графики модели временного ряда Затраты на рекламу приведены на рис. 2.2.6.

Упреждение

Прогноз

1

5,75

2

4,85

Для временного ряда Индекс потребительских расходов в качестве аппроксимирующей функции выбран полином второй степени (парабо­ла), по которой построен прогноз на два шага вперед. Индекс по­требительских расходов

Х2 = 97.008 +1.739 t- 0.0488 t2.

Упреждение

Прогноз

1

112.468

2

112.488

 

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели Y = -1471.438 + 9.568Х1 + 15.754 Х2  подставим в нее найденные прогнозные значения факторов Х1 и Х2.

Y1=17 = -1471.438 + 9.568 • 5.75 + 15.754 • 112.468 = 355.399,

Yt=18„i8=-1471.438+9.568-4.85 + 15.754- 112.488=344.179.

 Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: Yпр (N + 1) + U(l),

Нижняя граница прогноза:  Ynp(N+ 1) - U(l),

Se=41.473, tкр=2,16*, l=1,   U(2)=45.749.

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в таб­лице прогнозов (р =95%), табл. 2.2.9.

Таблица 2.2.9

Упреждение

Прогноз

Нижняя граница

Верхняя граница

1

355.399

312.368

398.367

2

344.179

298.43

389 928

Задача 1.

Имеются данные  о деятельности крупнейших компаний США в  (2.2.10).

Таблица 2.2.10

 

№

п\п

Чистый доход, млрд. долл. США., у

Оборот капитала, млрд. долл. США,Х1

Использо­ванный капитал, млрд. долл. США, x2

Числен­ность служа­щих, тыс. чел., x3

Рыночная ка­питализация компании, млрд. долл. США,Х4

1

0,9

31,3

18,9

43,0

40,9

2

1,7

13,4

13,7

64,7

40,5

3

0,7

4,5

18,5

24,0

38,9

4

1,7

10,0

4,8

50,2

38,5

5

2,6

20,0

21,8

106,0

37,3

6

1,3

15,0

5,8

96,6

26,5

7

4,1

137,1

99,0

347,0

37,0

8

1,6

17,9

20,1

85,6

36,8

9

6,9

165,4

60,6

745,0

36,3

10

0,4

2,0

1,4

4,1

35,3

11

1,3

6,8

8,0

26,8

35,3

12

1,9

27,1

18,9

42,7

35,0

13

1,9

13,4

13,2

61,8

26,2

14

1,4

9,8

12,6

212,0

33,1

15

0,4

19,5

12,2

105,0

32,7

16

0,8

6,8

3,2

33,5

32,1

17

1,8

27,0

13,0

142,0

30,5

18

0,9

12,4

6,9

96,0

29,8

19

1,1

17,7

15,0

140,0

25,4

20

1,9

12,7

11,9

59,3

29,3

21

-0,9

21,4

1,6

131,0

29,2

22

1,3

13,5

8,6

70,7

29,2

23

2,0

13,4

11,5

65,4

29,1

24

0,6

4,2

1,9

23,1

27,9

25

0,7

15,5

5,8

80,8

27,2

 

Задание

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной рег­рессии с полным перечнем факторов.

2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью г-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F-критерия.

4. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреля­ции и на их основе и по г-критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

7. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (а = 0,05; а = 0,10).

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитиче­ской записке.

Задача 2.

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г. (табл. 2.2.11).

Таблица 2.2.11

№ п/п

Чистый доход, млрд. долл. США, у

Оборот капи­тала, млрд. долл. США, хi

Использованный капитал, млрд. долл. США, xi

Численность служащих, тыс. чел., х3

1

6,6

6,9

83,6

222,0

2

3,0

18,0

6,5

32,0

3

6,5

107,9

50,4

82,0

4

3,3

16,7

15,4

45,2

5

0,1

79,6

29,0

299,3

6

3,6

16,2

13,3

41,6

7

1,5

5,9

5.9

17,8

8

5,5

53,1

27,1

151,0

9

2,4

18,8

11,2

82,3

10

3,0

35,3

16,4

103,0,

11

4,2

71,9

32,5

225,4

12

2,7

93,6

25,4

675,0-

13

14

1,6

10,0

6,4

43,8

2,4

31,5

12,5

102,3

15

3,3

36,7

14,3

1б5,0

16

1,8

13,8

6,5

49,1

17

2,4

64,8

22,7

50,4

18

1,5

30,4

15,8

480,0

19

1,4

12,1

9,3

71,0

20

0,9

31,3

18,9

43,0

1.     Расчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

2.     Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с > средних (общих) коэффициентов эластичности.

3.     Оцените  статистическую значимость параметров регрессионной помощью г-критерия; нулевую гипотезу о значимости 1 и показателей тесноты связи проверьте с помощью F-критерия

4.     Оцените  качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

5.     Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на  их основе и по t-критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель, информативными факторами и оцените ее параметры.

6.     Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

7.     Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уравнения значимости 5 или 10% (а = 0,05; а = 0,10).

8.     Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической.

Задача 3

В табл. 2.2.12 представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге (по состоянию на декабрь 1996 г.).

№ п/п

X1

X2

X3

Х4

X5

X6

X7

X8

У

1

1

1

39,0

20,0

8,2

0

1

0

15,9

2

3

1

68,4

40,5

10,7

0

1

0

27,0

3

1

1

34,8

16,0

10,7

0

1

12

13,5

4

1

1

39,0

20,0

8,5

0

1

12

15,1

5

2

1

54,7

28,0

10,7

0

1

12

21,1

6

3

1

74,7

46,3

10,7

0

1

12

28,7

7

3

1

71,7

45,9

10,7

0

3

0

27,2

8

3

1

74,5

47,5

10,4

0

3

0

28,3

9

4

1

137,7

87,2

14,6

0

1

0

52,3

10

1

1

40,0

17,7

11,0

1

1

8

22,0

11

2

1

53,0

31,1

10,0

1

1

8

28,0

12

3

1

86,0

48,7

14,0

1

1

8

45,0

13

4

1

98,0

65,8

13,0

1

1

8

51,0

14

2

1

62,6

21,4

11,0

1

1

0

34,4

15

1

1

45,3

20,6

10,4

1

1

8

24,7

16

2

1

56,4

29,7

9,4

1

1

8

30,8

17

1

1

37,0

17,8

8,3

0

1

0

15,9

18

3

1

67,5

43,5

8,3

0

1

0

29,0

19

1

1

37,0

17,8

8,3

0

1

3

15,4

20

3

1

69,0

42,4

8,3

0

1

3

28,6

21

1

1

40,0

20,0

8,3

0

0

0

15,6

22

3

1

69,1

41,3

8,3

0

1

0

27,7

23

2

1

68,1

35,4

13,0

1

1

20

34,1

24

2

1

75,3

41,4

12,1

1

1

20

37,7

25

3

1

83,7

48,5

12,1

1

1

20

41,9

26

1

1

48,7

22,3

12,4

1

1

20

24,4

27

1

1

39,9

18,0

8,1

1

0

0

21,3

28

2

1

68,6

35,5

17,0

1

1

12

36,7

29

1

1

39,0

20,0

9,2

1

0

0

21,5

30

2

1

48,6

31,0

8,0

1

0

0

26,4

31

3

1

98,0

56,0

22,0

1

0

0

53,9

32

2

1

68,5

30,7

8,3

1

1

6

34,2

33

2

1

71,1

36,2

13,3

1

1

6

35,6

34

3

1

68,0

41,0

8,0

1

1

12

34,0

35

1

1

38,0

19,0

7,4

1

1

12

19,0

36

2

1

93,2

49,5

14,0

1

1

12

46,6

37

3

1

117,0

55,2

25,0

1

1

12

58,5

38

1

2

42,0

21,0

10,2

1

0

12

24,2

39

2

2

62,0

35,0

11,0

1

0

12

35,7

40

3

2

89,0

52,3

11,5

1

1

12

51,2

41

4

2

132,0

89,6

11,0

1

1

12

75,9

42

1

2

40,8

19,2

10,1

1

1

6

21,2

43

2

2

59,2

31,9

11,2

1

1

6

30,8

44

3

2

65,4

38,9

9,3

1

1

6

34,0

45

2

2

60,2

36,3

10,9

1

1

12

31,9

46

3

2

82,2

49,7

13,8

1

1

12

43,6

47

3

2

98,4

52,3

15,3

1

1

12

52,2

48

3

3

76,7

44,7

8,0

1

1

0

43,1

49

1

3

38,7

20,0

10,2

1

1

6

25,0

50

2

3

56,4

32,7

10,1

1

1

6

35,2

51

3

3

76,7

44,7

8,0

1

1

6

40,8

52

1

3

38,7

20,0

10,2

1

0

0

18,2

53

1

3

41,5

20,0

10,2

1

1

0

20,1

54

2

3

48,8

28,5

8,0

1

0

0

22,7

55

2

3

57,4

33,5

10,1

1

1

0

27,6

56

3

3

76,7

44,7

8,0

1

1

0

36,0

57

1

4

37,0

17,5

8,3

1

1

7

17,8

58

2

4

54,0

30,5

8,3

0

1

7

25,9

59

3

4

68,0

42,5

8,3

0

1

7

32,6

60

1

4

40,5

16,0

11,0

0

1

3

19,8

61

2

4

61,0

31,0

11,0

0

1

3

29,9

62

3

4

80,0

45,6

11,0

0

1

3

39,2

63

1

3

52,0

21,2

11,2

1

1

18

22,4

64

2

3

78,1

40,0

11,6

1

1

18

35,2

65

3

3

91,6

53,8

16,0

1

0

18

41,2

66

1

4

39,9

19,3

8,4

0

1

6

17,8

67

2

4

56,2

31,4

11,1

0

1

6

25,0

68

3

4

79,1

42,4

15,5

0

1

6

35,2

69

4

4

91,6

55,2

9,4

0

1

6

40,8

Принятые  в таблице обозначения:

y-цена квартиры, тыс.долл.;

x1 -  число комнат в квартире;    

x2 – район города (1 – Приморский, Шувалово – Озерки, 2 – Гражданка, 3 – Юго-Запад, 4 – Красносельский);

x3 -  общая площадь квартиры (м2);

x4 – жилая площадь квартиры (м2);

x5 -  площадь кухни  (м2); 

x6 – тип дома (1- кирпичный, 0 – другой);

x7 – наличие балкона (1 – есть, 0 – нет);

x8 – число месяцев до окончания срока строительства.

Задание 

1. Определите  факторы, формировавшие цену квартир в строящихся |Санкт-Петербурге в 1996 г. Сгенерируйте фиктивную переменную z, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы: квартиры ч севере города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка) и на юге города (Юго-Запад, Красносельский район).

 2. Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции:

а) исходных переменных;

б) логарифмов исходных переменных (кроме фиктивных перемен­ных). Вместо переменной х2 используйте фиктивную переменную г

3. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов, в линейной и степенной форме. Установите какие факторы мультиколлинеарны. В какой модели мультиколлинеарность проявляется сильнее?

4. Постройте модель у = f (x3, x6, x7, x8, z) в линейной и степенной форме. Какие факторы значимо воздействуют на формирование це­ны квартиры в этой модели?

5. Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в север­ной и южной частях Санкт-Петербурга? Является ли наличие балко­на или лоджии преимуществом квартиры на рынке? Как вы объясни­те этот факт?

Задача 4.

По данным, представленным в табл. 2.2.13, изучается зависимость индекса человеческого развития у от переменных:

X1 - ВВП 1997 г., % к 1990 г.;

X2 - расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП;

хз - расходы домашних хозяйств, % к ВВП;

Xt - валовое накопление, % к ВВП;

Х5 - суточная калорийность питания населения, ккал на душу населе­ния;

Х6- ожидаемая продолжительность жизни при рождении 1997г.

число лет.

Таблица 2.2.13

Страна

у

Xi

Xi

Хз

Х4

Xs

Х6

Австрия

0,904

115,0

75,5

56,1

25,2

3343

77,0

Австралия

0,922

123,0

78,5

61,8

21,8

3001

78,2

Белоруссия

0,763

74,0

78,4

59,1

25,7

3101

68,0

Бельгия

0,923

111,0

77,7

63,3

17,8

3543

77,2

Великобрита­ния

0,918

113,0

84,4

64,1

15,9

3237

77,2

Германия

0,906

110,0

75,9

57,0

22,4

3330

77,2

Дания

0,905

119,0

76,0

50,7

20,6

3808

75,7

Индия

0,545

146,0

67,5

57,1

25,2

2415

62,6

Испания

0,894

113,0

78,2

62,0

20,7

3295

78,8

Италия

0,900

108,0

78,1

61,8

17,5

3504

78,2

Швеция

0,932

113,0

78,6

58,6

19,7

3056

79,0

Казахстан

0,740

71,0

84,0

71,7

18,5

3007

67,6

Китай

0,701

210,0

59,2

48,0

42,4

2844

69,8

Латвия

0,744

94,0

90,2

63,9

23,0

2861

68,4

Нидерланды

0,921

118,0

72,8

59,1

20,2

3259

77,9

Норвегия

0,927

130,0

67,7

47,5

25,2

3350

78,1

польша

0,802

127,0

82,6

65,3

22,4

3344

72,5

Россия

0,747

61,0

74,4

53,2

22,7

2704

66,6

США

0,927

117,0

83,3

67,9

18,1

3642

76,7

Украина

0,721

46,0

83,7

61,7

20,1

2753

68,8

Финляндия

0,913

107,0

73,8

52,9

17,3

2916

76,8

Франция

0,918

110,0

79,2

59,9

16,8

3551

78,1

Чехия

0,833

99,2

71,5

51,5

29,9

3177

73,9

Швейцария

0,914

101,0

75,3

61,2

20,3

3280

78,6

Швеция

0,923

105,0

79,0

53,1

14,1

3160

78,5

 

Задание

1.     Постройте  матрицу парных коэффициентов корреляции. Рассчитайте коэффициенты множественной детерминации, используя в качестве  зависимой переменной каждый фактор. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

2.     Постройте  уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

3.     Оцените  статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров  с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

4.     Отберите  информативные факторы по пп.1 и 3. Постройте уравнение регрессии  со статистически значимыми факторами.

 

Задание 5.

Имеются  данные по странам за 1997 г. (табл. 2.2.14).

Таблица 2.2.14

Страна

 

 

 

Индекс человеческого

развития,

у

Ожидаемая продол­жительность жизни

при рождении в

1997 г., лет, Xi

Суточная кало­рийность питания

населения, ккал на

душу, X2

Австрия

0,904

77,0

3343

Австралия

0,922

78,2

3001

Аргентина

0,827

72,9

3136

Белоруссия

0,763

68,0

3101

Бельгия

0,923

77,2

3543

Бразилия

0,739

66,8

2938

Великобри­тания

0,918

77,2

3237

Венгрия

0,795

70,9

3402

Германия

0,906

77,2

3330

Греция

0,867

78,1

3575

Дания

0,905

75,7

3808

Египет

0,616

66,3

3289

Израиль

0,883

77,8

3272

Индия

0,545

62,6

2415

Испания

0,894

78,0

3295

Италия

0,900

78,2

3504

Канада

0,932

79,0

3056

Казахстан

0,740

67,7

3007

Китай

0,701

69,8

2844

Латвия

0,744

68,4

2861

Нидерланды

0,921

77,9

3259

Норвегия

0,927

78,1

3350

Польша

0,802

72,5

3344

Республика Корея

0,852

72,4

3336

Россия

0,747

66,6

2704

Румыния

0,752

69,9

2943

США

0,927

76,6

3642

Турция

0,728

69,0

3568

Украина

0,721

68,8

2753

Финляндия

0,913

76,8

2916.

Франция

0,918

78,1

3551

Чехия

0,833

73,9

3177

Швейцария

. 0,914

78,6

3280

Швеция

0,923

78,5

3160,

ЮАР

0,695

64,1

2933

Япония

0,924

80,0

2905

 

Задание

1.     Постройте  матрицу парных коэффициентов корреляции.

2.     Постройте  парные уравнения регрессии.

3.     Оцените статистическую значимость уравнений и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

4.     Постройте  уравнение множественной регрессии.

5.     Постройте  графики остатков. Сделайте выводы.

6.     Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии  на гетероскедастичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

7.     Оцените  статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Определите, какое уравнение лучше использовать для прогноза:

¨     парную регрессию у на х1

¨     парную регрессию у на х 2;

¨     множественную регрессию.

Задача 6.

Изучается  зависимость средней ожидаемой продолжительности y от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным табл. 2.21.

Таблица 2.2.15

Страна

У

Х1

Х2

X3

X4

Мозамбик

47

3,0

2,6

2,4

113

Бурунди

49

2,3

2,6

2,7

98

Чад

48

2,6

2,5

2,5

117

Непал

55

4,3

2,5

2,4

91

Буркино-Фасо

49

2,9

2,8

2,1

99

Мадагаскар

52

2,4

3,1

3,1

89

Бангладеш

58

5,1

1,6

2,1

79

Гаити

57

3,4

2,0

1,7

72

Нигерия

53

4,5

2,9

2,8

80

Мали

50

2,0

2,9

2,7

123

Кения

58

5,1

2,7

2,7

58

Того

56

4,2

3,0

2,8

88

Индия

62

5,2

1.8

2,0

68

Бенин

50

6,5

2,9

2,5

95

Никарагуа

68

7,4

3,1

4,0

46

Гана

59

7,4

2,8

2,7

73

Ангола

47

4,9

3,1

2,8

124

Пакистан

60

8,3

2,9

3,3

90

Мавритания

51

5,7

2,5

2,7

96

Зимбабве

57

7,5

2,4

2,2

55

Гондурас

67

7,0

3,0

3,8

45

Китай

69

10,8

1,1

1,1

34

Камерун

57

7,8

2.9

3,1

56

Конго

51

7,6

2,9

2;6

90

Шри-Ланка

72

12,1

1,3

2,0

16

Египет

63

14,2

2,0

2,7

56

Индонезия

64

14,1

1,6

2,5

51

Филиппины

66

10,6

2,2

2,7

39

Марокко

65

12,4

2,0

2,6

55

Папуа - Новая Гвинея

57

9,0

2,3

2,3

64

Гватемала

66

12,4

2,9

3,5

44

Эквадор

69

15,6

2,2

3,2

36

Доминиканская Республика

71

14,3

1,9

2,6

37

Ямайка

74

13,1

1,0

1,8

13

Алжир

70

19,6

2,2

4,1

34

Республика Эль-Сальвадор

67

9,7

2,2

3,4

36

Парагвай

68

13,5

2,7

2,9

41

Тунис

69

18,5

1,9

3,0

39

Белоруссия

70

15,6

0,2

0,2

13

Перу

66

14,0

2,0

3,1

47

Таиланд

69

28,0

0,9

1,3

35

Панама

73

22,2

1,7

2,4

23

Турция

67

20,7

1,7

2,1

48

Польша

70

20,0

0,3

0,6

14

Словакия

72

13,4

0,3

0,7

11

Венесуэла

71

29,3

2,3

3,0

23

ЮАР

64

18,6

2,2

2,4

50

Мексика

72

23,7

1,9

2,8

33

Мавритания

71

49,0

1,3

1,8

16

Бразилия

67

20,0

1,5

1,6

44

Тринидад

72

31,9

0,8

1,8

13

Малайзия

71

33,4

2,4

2,7

12

Чили

72

35,3

1,5

2,1

12

Уругвай

73

24,6

0,6

1,0

18

Аргентина

73

30,8

1,3

2,0

22

Греция

78

43,4

0,6

0,9

8

Республика Корея

72

42,4

0,9

1,9

10

Испания

77

53,8

0,2

1,0

7

Нов. Зеландия

76

60,6

1,4

1,5

7

Ирландия

77

58,1

0,5

1,7

6

Израиль

77

61,1

3,5

3,5

8

Австрия

77

70,2

1,1

1,4

6

Италия

78

73,7

0,2

0,4

7

Канада

78

78,3

1,3

1,0

6

Финляндия

76

65,8

0,5

0,1

5

Гонконг

79

85,1

1,6

1,3

5

Швеция

79

68,7

0,6

0,3

4

Нидерланды

78

73,9

0,7

0,6

6

Бельгия

77

80,3

0,4

0,5

8

Франция

78

78,0

0,5

0,8

6

Сингапур

76

84,4

2,0

1,7

4

Австрия

77

78,8

0,8

0,5

6

США

77

100,0

1,0

1,1

8

Дания

75

78,7

0,3

0,1

6

Япония

80

82,0

0,3

0,6

4

Швейцария

78

95,9

1,0

0,8

6

Принятые  в таблице обозначения:

y – ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

x1 -  ВВП в паритетах покупательной способности;    

x2 – темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %;

x3 -  темп прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим  годом, %;

x4 – коэффициент младенческой смертности;

 

 

Лабораторная работа № 3. «Анализ и прогнозирование временных рядов в среде Excel»

1. Основные понятия и определения.

В современной экономике, в бизнесе без прогноза не обойтись. Любое серьезное решение, в особенности связанное с вложением денег требует прогноза, предвидения развития экономической ситуации.

Для того чтобы предвидеть будущее, надо хорошо знать прошлое и присущие ему закономерности.

Если в течение достаточно продолжительного времени регулярно фиксировать курсы валют, акций, цены на товары и т.д., то такие данные образуют временные ряды. Временными рядами являются также данные о выпуске или потреблении различных товаров и услуг по месяцам, кварталам, годам. В производстве временные ряды возникают при изме­рении количества изделий, выпускаемых подразделениями предприятия за час, смену, декаду, при оценках количества брака за те же периоды, при наблюдении за изменениями запасов на складах.

В экономике и бизнесе данные типы временных рядов появляются очень часто.

Во временном ряде содержится информация об особенностях и зако­номерностях протекания процесса, а статистический анализ позволяет вы­явить и использовать их для оценки характеристик процесса в будущем, т.е. для прогнозирования.

Временной ряд - набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие ряд и получающиеся как результат наблюдения за ходом некоторого про­цесса, называются элементами, а промежуток времени между наблю­дениями - шагом квантования по времени (или короче - шагом по времени). Элементы ряда нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому этот элемент относится (т.е. обозначают их как Y1,Y2,....,Y­n).

Формально задача прогнозирования сводится к получению оценок значений ряда на некотором периоде будущего, т.е. к получению значения Yp(t), t= N + 1, N+2, .... При использовании методов экстраполяции исходят из предположения о сохранении закономерностей прошлого развития на период прогнозирования. Во многих случаях (но не всегда!) при разработке оперативного (до года) и краткосрочного (до 2 лет) про­гноза эти предположения являются справедливыми.

Прогноз рассчитывается в два этапа. На первом - формальном - вы­являют при помощи статистических методов закономерности прошлого развития и переносят их (экстраполируют) на некоторый период будущего. На втором - производится корректировка полученного прогноза, с учетом результатов содержательного анализа текущего состояния.

Статистические методы исследования исходят из предположения о возможности представления уровней временного ряда в виде суммы не­скольких компонент, отражающих закономерность и случайность разви­тия. в частности в виде суммы четырех компонент:

Y(t)=f(t)+S(t)+U(t)+E(t),

где f(r) - тренд (долгосрочная тенденция) развития;

S (t) - сезонная компонента;

U (t) - циклическая компонента;

Е (t) - остаточная компонента.

Сезонная компонента характеризует устойчивые внутригодичные колебания уровней, которые носят периодический или близкий к нему характер. Она проявляется в некоторых показателях, представленных квартальными или месячными данными.

В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, говорят, что во временном ряде присутствует циклическая ком­понента.

Основная цель статистического анализа временных рядов - изуче­ние соотношения между закономерностью и случайностью в формиро­вании значений уровней ряда, оценка количественной меры их влияния. Закономерности, объясняющие динамику показателя в прошлом, ис­пользуются для прогнозирования его значении в будущем, а учет слу­чайности позволяет определить вероятность отклонения от закономерного развития и его возможную величину.

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например , и расчет отклонений от трендов:  и . Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем:

Если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

если параболический тренд – вторыми разностями:

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

Параметры a и b в этой модели определяются обычным методом МНК.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков  за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина-Уотсона и расчет величины:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то d=0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то  и, следовательно, d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то  и d=2.

Следовательно

.

2. Анализ временных рядов с помощью инструмента Excel-Мастер Диаграмм

          

При анализе временных рядов широко применяются графические методы. Это объясняется тем, что табличное представление временного ряда и описательные характеристики чаще всего не позволяют понять характер процесса, а по графику временного ряда можно сделать опре­деленные выводы, которые потом могут быть проверены с помощью расчетов.

Визуальный анализ графика временного ряда позволяет сделать вы­воды о следующем:

• наличии тренда и его характере;

• наличии сезонных и циклических компонент;

• степени плавности или прерывистости изменений последова­тельных значений ряда после устранения тренда.

Так графический анализ ряда обычно задает направление его даль­нейшего анализа.

В EXCEL для анализа временных рядов можно использовать сред­ство Мастер диаграмм.

Для создания диаграммы с помощью средства Мастер диаграмм необходимо сначала выделить данные, которые будут отображены на диаграмме (это необязательная операция, однако она позволит сэконо­мить время при работе с Мастером). В выделяемые данные следует включить как числовые данные, так и их подписи. Excel автоматически распознает подписи и использует их при построении диаграммы. При­мер рабочего листа, соответствующая часть которого (ячейки А5:А17) будет выделена для Мастера диаграмм, показан на рис. 2.1.

Работа с Мастером диаграмм состоит из четырех основных шагов, выполнение которых рассмотрим на следующем примере.


Пример 2.1. Построить график временного ряда Индекс потре­бительских расходов, выделить тренд этого временного ряда и постро­ить прогноз на два шага вперед. Исходные данные по этому временному ряду за 16 месяцев приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.1. Выделение данных перед началом работы с Мастером диаграмм.

Таблица 2.1

№п/п

Индекс потребительских расхо­дов

№ п/п

Индекс потреби­тельских расхо­дов

1

100

9

108.3

2

98.4

10

109.2

3

101.2

11

110.1

4

103.5

12

110.7

5

104.1

13

110.3

6

107

14

111.8

7

107.4

15

112.3

8

108.5

16

112.9

 

Шаг 1. Выбор типа и вида диаграммы.

Во вкладке Стандартные можно увидеть основные типы диа­грамм. В данном случае во вкладке Стандартные выделен тип: График. Выбрав вид: График с маркерами, необходимо щелкнуть на кнопку Далее (рис. 2.2).

 


Рис. 2.2. На первом этапе выбирается вид создаваемой диаграммы.

Шаг 2. Выбор и уточнение ориентации диапазона данных и ряда.

На втором этапе работы мастера диаграмм на экране появится диа­логовое окно, показанное на рис. 2.3. Используя вкладку Диапазон данных, можно выполнить следующие операции:

1.     Выбрать (или изменить) диапазон данных листа, используемых для диаграммы, с помощью поля «Диапазон». Если перед нача­лом работы с Мастером диаграмм данные не были выделены, то, используя это поле, можете выделить их сейчас.

2.     Уточнить ориентацию диапазона данных диаграммы с помощью переключателей в строках и столбцах. При установке первого из них каждая строка рабочего листа будет рассматриваться как ряд диаграммы. При установке второго переключателя в качестве ряда диаграмм будут рассматриваться столбцы данных.

Во вкладке Ряд можно управлять параметрами каждого ряда диаграммы. С ее помощью можно выполнить следующие операции:

1.     добавить и удалить ряды;

2.     присвоить рядам имена;

3.     выделить (или переопределить) данные, используемые для по­строения рядов;

4.     изменить подписи категорий.


Рис 2.3. шаг 2. Вкладка Диапазон данных.

 

Шаг 3. Настройка диаграммы.

Третий этап работы Мастера диаграмм наиболее сложный. В появившемся диалоговом окне  предлагается большое  количество  самых различных  параметров  диаграмм (рис.2.4). Если параметры не изменяются, то используются установленное по умолчанию  значение

Шаг 4. Выбор местоположения диаграммы.

На последнем шаге определяется  местоположение  созданной диаграммы (рис. 2.5.) 


Рис.3.2.4 Диалоговое окно мастера диаграмм на третьем шаге.


Рис.2.5. диаграмма будет расположена  на одном листе  с исходными данными.


Рис.2.6. результаты Мастера диаграмм. Новая диаграмма внедрена как объект в рабочий лист 

 

EXCEL предоставляет дополнительные возможности по работе . Диаграммами. Наиболее полезной, с точки зрения анализа временных рядов, представляется возможность создания линий тренда.

 

Построение линий тренда

Линии тренда строятся для описания закономерности, содержащей­ся в исследуемом временном ряду. В табл. 2.2 приведены типы линий тренда, используемые в EXCEL.

Таблица 2.2

 

Тип зависимости

Уравнение

Линейная

Полиномиальная

Логарифмическая

Экспоненциальная

Степенная

Y = α0 +α1x

Y = α0 +α1x+α2x2 +…..+ α6x6

Y αlnx+b

Y= αebx

Y=αxb

Для вставки линии тренда в диаграмму выполните следующие дей­ствия:

1.     Щелкните правой кнопкой мыши на одном из рядов диаграммы.

2.     Выберите команду Добавить линию тренда из контекстного ме­ню. На экране появится диалоговое окно Линия тренда (рис. 2.7).

3.     Выберите тип регрессии. При выборе типа Полиномиальная введите значение степени в поле «Степень»' . Если же вы выбрали тип Скользящее среднее (который не является регрессией), то введите значение в поле «Точ­ки».

4.     Убедитесь в том, что ряд, для которого необходимо построить линию тренда, выделен в списке Построение линии тренда на ряде. Ес­ли нет, то выделите его.

5.     Переключитесь на вкладку Параметры (рис. 2.8).

6.     В разделе Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой ус­тановите переключатель автоматическое или другое, после чего введи­те название в поле. Это название появится в легенде диаграммы.

7.     Если линия тренда создается с помощью регрессии, т.е. выбран любой тип. кроме скользящего среднего, то в соответствующих полях можно ввести прогнозируемое количество периодов, которые будут до­бавлены к линии тренда впереди или сзади.

8.      В случае необходимости можете установить и остальные пара­метры (они могут быть доступны или недоступны в зависимости от выбранного типа регрессии). Так, можно установить пересечение с осью Y, отображение на диаграмме уравнения или величины достоверности аппроксимации.

9.     Щелкните на кнопке ОК для завершения процесса создания ли­нии тренда

 


Рис. 2.7. Вкладка Тип используется для выбора типа создаваемой линии тренда.


Рис. 2.8. Установка остальных параметров линии тренда выполняется с. помощью вкладки Параметры.

На рис. 2.9 приведен результат построения тренда и прогнозиро­вания по тренду У = 97.008 + 1.739t - 0.0488t2 для временного ряда Ин­декс потребительских расходов. В качестве аппроксимирующей функ­ции выбран полином второй степени - парабола, по которой построен прогноз на два шага вперед.


Рис. 2.9. График временного ряда.

 

Таблица 2.3

№ п/п

Реклама

№п/п

Реклама

1

4

9

19.8

2

4.8

10

10.6

3

3.8

11

8.6

4

8.7

12

6.5

5

8.2

13

12.6

6

9.7

14

6.5

7

14.7

15

5.8

8

18.7

16

5 7

Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следую­щую последовательность действий.

1.     Выделить ячейки А1:А17, содержащие наименование временно­го ряда и исходные данные.

2.     Вызвать Мастер диаграмм.

3.     Выбрать тип диаграммы: график; выбрать вид: первый (шаг 1).

4.     Шаг 2. Щелкнуть кнопку Далее.

5.     Шаг 3. Щелкнуть кнопку Далее.

6.     Шаг 4. Щелкнуть кнопку Готово. На экране - построенный график.

7.     Щелкнуть правой кнопкой на линии графика. График выделен метками.

8.     Выбрать тип Линейная в диалоговом окне Линия тренда (потом Логарифмическая и Полиномиальная третьей степени}.

9.     Вкладка Параметры. Назначаем: показывать уравнение на диаграмме.

10.                    Для построения прогноза выбрать модель с наибольшим R2.(Подробнее об R2 см. в подразд. первой работы).

 

Задания к лабораторной работе:

В задачах 1-8 выполните:

-         постройте уравнения тренда различных типов;

-         проверьте существование автокорреляции остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

-         на основе полученных уравнений выберите наилучшее решение с помощью скорректированного коэффициента детерминации и сделайте прогноз для 3-х новых значений t.

Задача 1.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен  на какао-бобы из Бразилии, амер. центы за фунт.

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

29,4

1977

183,5

1984

105,3

1991

47,5

1971

23,5

1978

153,5

1985

94,9

1992

45,0

1972

26,2

1979

140,7

1986

92,0

1993

44,5

1973

48,5

1980

107,1

1987

83,9

1994

55,9

1974

73,4

1981

87,5

1988

72,7

1995

60,5

1975

56,6

1982

68,3

1989

56,9

1996

64,1

1976

77,0

1983

83,1

1990

49,1

1997

71,0

 

Задача 2.

В таблице приводятся сведения об уровне средне) на рис из Таиланда на рынках Бангкока, амер. доллары скую тонну.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

143

1977

272

1984

252

1991

287

1971

130

1978

369

1985

217

1992

291

1972

150

1979

334

1986

210

1993

237

1973

296

1980

434

1987

229

1994

269

1974

542

1981

483

1988

302

1995

321

1975

363

1982

293

1989

320

1996

338

1976

254

1983

277

1990

270

1997

303

 

Задача 3.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на говядину из США на рынках Нью-Йорка, амер. центы за фунт.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

41

1977

51

1984

97

1991

90

1971

42

1978

71

1985

89

1992

90

1972

49

1979

92

1986

77

1993

93

1973

64

1980

87

1987

81

1994

87

1974

53

1981

86

1988

82

1995

84

1975

44

1982

99

1989

87

1996

85

1976

52

1983

96

1990

94

1997

86

 

 

 

Задача 4.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на каучук из Малайзии на рынках Сингапура, амер. центы за фунт.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

18,5

1977

36,9

1984

43,4

1991

37,5

1971

15,1

1978

44,7

1985

34,4

1992

39,1

1972

15,1

1979

57,3

1986

36,6

1993

37,7

1973

30,8

1980

64,6

1987

44,7

1994

51,1

1974

34,1

1981

50,9

1988

53,7

1995

71,7

1975

25,4

1982

38,9

1989

44,0

1996

63,6

1976

35,1

1983

48,3

1990

39,2

1997

46,2

Задача 5.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на каучук, поступивший на рынки Нью-Йорка из всех источников, амер. центы за фунт.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

21,1

1977

41 5

1984

49,6

1991

47,6

1971

18,0

1978

49,9

1985

41,8

1992

46,6

1972

18,1

1979

64,2

1986

41,2

1993

47,3

1973

35,1

1980

73,4

1987

44,1

1994

48,9

1974

39,7

1981

56,9

1988

48,8

1995

56,7

1975

29,8

1982

45,3

1989

48,7

1996

54,8

1976

39,5

1983

56,1

1990

50,2

1997

53,5

Задача 6.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на мировых рынках на шерсть из Новой Зеландии, амер. центы за килограмм.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

73,8

1977

256,4

1984

230,7

1991

249,3

1971

72,6

1978

249,6

1985

234,9

1992

242,9

1972

106,9

1979

300,4

1986

248,5

1993

234,3

1973

237,5

1980

316,7

1987

333,0

1994

287,9

1974

214,7

1981

274,6

1988

403,2

1995

356,2

1975

147,6

1982

239,7

1989

386,3

1996

348,3

1976

202,9

1983

221,9

1990

341,5

 

 

 

 

 

Задача 7.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на мировых рынках на немытую шерсть из Австралии, амер. центы за килограмм.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

98,2

1977

227,0

1984

282,0

1991

307,5

1971

79,7

1978

234,8

1985

258,5

1992

302,6

1972

117,8

1979

259,6

1986

259,5

1993

240,4

1973

305,1

1980

302,5

1987

343,2

1994

323,2

1974

251,9

1981

328,5

1988

567,1

1995

395,8

1975

182,4

1982

306,5

1989

520,9

1996

325,7

1976

197,9

1983

269,3

1990

446,6

1997

358,5

 

Задача 8.

В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен  на рис из Таиланда на рынках Бангкока, амер. доллары за тонну.

 

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

Год

Цена

1970

143,0

1977

272,4

1984

252.3

1991

287,1

1971

130,3

1978

368,5

1985

217,4

1992

291,0

1972

149,9

1979

334,3

1986

210,2

1993

237,3

1973

296,6

1980

433,7

1987

229,8

1994

269,5

1974

541,5

1981

482,8

1988

301,5

1995

320,8

1975

363,2

1982

293,4

1989

320,3

1996

338,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

статистико-математические таблицы

1. Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05

K2\K1

1

2

3

4

5

6

8

12

24

¥

1

161,45

199,50

215,72

224,57

230,17

233,97

238,89

243,91

249,04

254,32

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,37

19,41

19,45

19,50

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,84

8,74

8,64

8,53

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,04

5,91

5,77

5,63

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,82

4,68

4,53

4,36

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,15

4,00

3,84

3,67

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3.87

3,73

3,57

3,41

3,23

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,44

3,28

3,12

2,93

9

5,12

4.26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,23

3,07

2,90

2,71

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,07

2,91

2,74

2,54

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

2,95

2,79

2,61

2,40

12

4,75

3,88

3,49

3,26

3,11

3,00

2,85

2,69

2,50

2,30

13

4,67

3,80

3,41

3.18

3,02

2,92

2,77

2,60

2,42

2,21

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,70

2,53

2,35

2,13

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,64

2,48

2,29

2,07

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,59

2,42

2,24

2,01

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,55

2,38

2,19

1,96

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,51

2,34

2,15

1,92

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,48

2,31

2,11

1,88

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,45

2,28

2,08

1,84

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,42

2,25

2,05

1,81

22

4,30

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,40

2,23

2,03

1,78

23

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,38

2,20

2,00

1,76

24

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,36

2,18

1,98

1,73

25

4,24

3,38

2,99

2,76

2,60

2,49

2,34

2,16

1,96

1,71

26

4,22

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

2,32

2,15

1,95

1,69

27

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,30

2,13

1,93

1,67

28

4,20

3,34

2,95

2,71

2,56

2,44

2,29

2,12

1,91

1,65

29

4,18

3,33

2,93

2,70

2,54

2,43

2,28

2,10

1,90

1,64

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,27

2,09

1,89

1,62

35

4,12

3,26

2,87

2,64

2,48

2,37

2,22

2,04

1,83

1,57

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,18

2,00

1,79

1,51

45

4,06

3,21

2,81

2,58

2,42

2,31

2,15

1,97

1,76

1,48

50

4,03

3,18

2,79

2,56

2,40

2,29

2,13

1,95

1,74

1,44

60

4,00

3,15

2,76

2,52

2,37

2,25

7,10

1,92

1,70

1,39

70

3,98

3,13

2,74

2,50

2,35

2,23

?П7

1,89

1,67

1,35

80

3,96

3,11

2,72

2.49

2,33

2,21

7,06

1,88

1,65

1,31

90

3,95

3,10

2,71

2,47

2,32

2,20

2,04

1,86

1,64

1,28

100

3,94

3,09

2,70

2,46

2,30

2,19

2,03

1,85

1,63

1,26

125

3,92

3,07

2,68

2,44

2,29

2,17

2,01

1,83

1,60

1,21

150

3,90

3,06

2,66

2,43

2,27

2,16

2,00

1,82

1,59

1,18

200

3,89

3,04

2,65

2,42

2,26

2,14

1,98

1,80

1,57

1,14

300

3,87

3,03

2,64

2,41

2,25

2,13

1,97

1,79

1,55

1,10

400

3,86

3,02

2,63

2,40

2,24

2,12

1,96

1,78

1,54

1,07

500

3,86

3,01

2,62

2,39

2,23

2,11

1,96

1,77

1,54

1,06

1000

3,85

3,00

2,61

2,38

2,22

2,10

1,95

1,76

1,53

1,03

¥

3,84

2,99

2,60

2,37

2,21

2,09

,94

1,75

1,52

1,00

 

2. Критические значения t-критерия Стьюдента при уровне 0,10,0,05,0,01 (двухсторонний)

Число

степеней свободы d.f.

α

Число

степеней свободы d.f.

Α

0,10

0,05

0,01

0,10

0,05

0,01

1

6,3138

12,706

63,657

18

1,7341

2,1009

2,8784

2

2,9200

4,3027

9,9248

19

1,7291

2,0930

2,8609

3

2,3534

3,1825

5,8409

20

1,7247

2,0860

2,8453

4

2,1318

2,7764

4,6041

21

1,7207

2,0796

2,8314

5

2,0150

2,5706

4,0321

22

1,7171

2,0739

2,8188

6

1,9432

2,4469

3,7074

23

1,7139

2,0687

2,8073

7

1,8946

2,3646

3,4995

24

1,7109

2,0639

2,7969

8

1,8595

2,3060

3,3554

25

1,7081

2,0595

2,7874

9

1,8331

2,2622

3,2498

26

1,7056

2,0555

2,7787

10

1,8125

2,2281

3,1693

27

1,7033

2,0518

2,7707

11

1,7959

2,2010

3,1058

28

1,7011

2,0484

2,7633

12

1,7823

2,1788

3,0545

29

1,6991

2,0452

2,7564

13

1,7709

2,1604

3,0123

30

1,6973

2,0423

2,7500

14

1,7613

2,1448

2,9768

40

1,6839

2,0211

2,7045

15

1,7530

2,1315

2,9467

60

1,6707

2,0003

2,6603

16

1,7459

2,1199

2,9208

120

1,6577

1,9799

2,6174

17

1,7396

2,1098

2,8982

¥

1,6449

1,9600

2,5758

 

3. Критические значения корреляции для уровневой значимости 0,05 и 0,01

d.f.

α = 0,05

α= 0,01

d.f.

α = 0,05

α = 0,01

1

0,996917

0,9998766

17

0,4555

0,5751

2

0,95000

0,99000

18

0,4438

0,5614

3

0,8783

0,95873

19

0,4329

0,5487

4

0,8114

0,91720

20

0,4227

0,5368

5

0,7545

0,8745

25

0,3809

0,4869

6

0,7067

0,8343

30

0,3494

0,4487

7

0,6664

0,7977

35

0,3246

0,4182

8

0,6319

0,7646

40

0,3044

0,3932

9

0,6021

0,7348

45

0,2875

0,3721

10

0,5760

0,7079

50

0,2732

0,3541

11

0,5529

0,6835

60

0,2500

0,3248

12

0,5324

0,6614

70

0,2319

0,3017

13

0,5139

0,6411

80

0,2172

0,2830

14

0,4973

0,6226

90

0,2050

0,2673

15

0,4821

0,6055

100

0,1946

0,2540

16

0,4683

0,5897

 

 

 

 

Для простой корреляции d.f. на 2 меньше, чем число пар вариантов; в слу­чае частной корреляции необходимо также вычесть число исключаемых пере­менных.

4. Значения статистик Дарбина - Уотсона  при 5%-ном уровне значимости

п

k1=1

k1=2

k1=3

k1=4

k1=5

dL

dU

dL

dU

dL

dU

dL

dU

dL

dU

6

0,61

1,40

 

 

 

 

 

 

 

 

7

0,70

1,36

0,47

1,90

 

 

 

 

 

 

8

0,76

1,33

0,56

1,78

0,37

2,29

 

 

 

 

9

0,82

1,32

0,63

1,70

0,46

2,13

 

 

 

 

10

0,88

1,32

0,70

1,64

0,53

2,02

 

 

 

 

11

0,93

1,32

0,66

1,60

0,60

1,93

 

 

 

 

12

0,97

1,33

0,81

1,58

0,66

1,86

 

 

 

 

13

1,01

1,34

0,86

1,56

0,72

1,82

 

 

 

 

14

1,05

1,35

0,91

1,55

0,77

1,78

 

 

 

 

16

1,10

1,37

0,89

1,54

0,86

1,73

0,74

1,93

0,62

2,15

17

1,13

1,38

1,02

1,54

0,90

1,71

0,78

1,90

0,67

2,10

18

1,16

1,39

1,05

1,53

0,93

1,69

0,82

1,87

0,71

2,06

19

1,18

1,40

1,08

1,53

0,97

1,68

0,86

1,85

0,75

2,02

20

1,20

1,41

1,10

1,54

1,00

1,68

0,90

1,83

0,79

1,99

21

1,22

1,42

1,13

1,54

1,03

1,67

0,93

1,81

0,83

1,96

22

1,24

1,43

1,15

1,54

1,05

1,66

0,96

1,80

0,86

1,94

23

1,26

1,44

1,17

1,54

1,08

1,66

0,99

1,79

0,90

1,92

34

1,27

1,45

1,19

1,55

1,10

1,66

1,01

1,78

0,93

1,90

25

1,29

1,45

1,21

1,55

1,12

1,66

1,04

1,77

0,95

1,89

26

1,30

1,46

1,22

1,55

1,14

1,65

1,06

1,76

0,98

1,88

27

1,32

1,47

1,24

1,56

1,16

1,65

1,08

1,76

1,01

1,86

28

1,33

1,48

1,26

1,56

1,18

1,65

1,10

1,75

0,03

1,85

29

1,34

1,48

1,27

1,56

1,20

1,65

1,12

1,74

10,5

1,84

30

1,35

1,49

1,28

157

1,21

1,65

1,14

1,74

10,7

1,83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.     Джонстон ДЖ. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

2.     Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. - М.: Статистика, 1977.

3.     Кулинич Е.И., М.: «Финансы и статистика», 1999.

4.     Математическая экономика на персональном компьютере. Перевод с яп. под. М. Кубаниева. – М.: «Финансы и статистика», 1991.

5.     Практикум по эконометрике. Под. ред. И.И. Елисеевой. – М.: «Финансы и статистика», 2007.-192с.

6.     Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регресионный анализ. – М.: «Финансы и статистика», 1986.

7.      Мардас А.Н. Эконометрика, учебное пособие. С-Пб. 2001.