МИНИСТЕРСТВО
НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Дагестанский
государственный университет»
Факультет
математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа
Курс лекций по дисциплине
Дополнительные
главы
математического
анализа
Направление 01.04.01
– Математика
Профили Математический анализ, Дифференциальные
уравнения
Уровень высшего образования магистратура
Форма обучения очная
Авторы-составители:
Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович,
Магомедова Вазипат Гусеновна
МАХАЧКАЛА
– 2024
Содержание лекционных занятий по дисциплине
Модуль 1. Линейная мера Лебега
Тема 1. Структура
линейных множеств
План:
1. Открытые и замкнутые множества.
2. Канторовы совершенные множества.
3. Структура открытых и замкнутых множеств.
Презентация
Канторово множество
Видеолекция на тему «Мощность множества.
Множество Кантора» (из сайта открытых
видеолекций учебных курсов МГУ).
Тема 2.
Мощность и мера множества
План:
1. Сравнение множеств
по мощности.
2. Внешняя и внутренняя
меры.
3. Измеримые по Лебегу
множества, их свойства.
Презентация Измеримые
по Лебегу множества
Видеолекция на тему «Мощность множества.
Множество Кантора» (из сайта открытых
видеолекций учебных курсов МГУ).
Модуль
2. Интегрирование по Лебегу
План:
1. Измеримые
функции.
2. Свойства
измеримых функций.
3. Арифметические операции над измеримыми функциями.
Видеолекция на тему «Измеримые функции» (из сайта открытых видеолекций учебных курсов
МГУ)
Тема
4. Различные определения интеграла по Лебегу
План:
1. Интеграл от
ограниченной измеримой функции.
2. Свойства
интеграла Лебега.
3. Суммируемые функции.
Видеолекция «Интеграл
Лебега» (из сайта открытых видеолекций учебных курсов
МГУ)
Тема
5. Сравнение интеграла Лебега с интегралом по Риману
План:
1. Сравнительный анализ интегралов Лебега и
Римана.
Презентация Сравнение интеграла
Лебега с интегралом по Риману
Видеолекция «Сравнение
интегралов Лебега и Римана»
Модуль
3. Интеграл Римана-Стилтьеса
Тема
6. Функции конечной вариации и абсолютно непрерывные функции
План:
1. Монотонные
функции.
2. Функции конечной вариации, их свойства. Связь
с монотонными функциями.
3. Абсолютно
непрерывные функции.
Презентация Функции
конечной вариации
Видеолекция «Функции
ограниченной (конечной) вариации» (из
сайта открытых видеолекций учебных курсов МГУ)
Тема
7. Построение интеграла Римана-Стилтьеса
План:
1. Определение
интеграла Римана-Стилтьеса.
3. Свойства
интеграла Стилтьеса.
Презентация Интеграл
Римана-Стилтьеса
Видеолекция Интеграл
Римана-Стилтьеса (из сайта открытых видеолекций
учебных курсов МГУ)
Модуль
4. Интеграл Лебега-Стилтьеса
Тема
8. Понятие интеграла Лебега-Стилтьеса
План:
1. Мера Лебега-Стилтьеса.
2. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Связь
с интегралом Римана-Стилтьеса
Презентация Интеграла
Лебега-Стилтьеса
Видеолекция Интеграл
Лебега-Стилтьеса (из сайта открытых видеолекций
учебных курсов МГУ)
Тема
9. Приложения в теории аппроксимаций
План:
1. Системы функций Чебышева и их свойства.
2. Свойства многочленов Чебышева.
3. Применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
4. Равномерное приближение
функций на отрезке.
Презентация
Приложения в теории аппроксимаций
Видеолекция
«Наилучшее приближение функций (Многочлены Чебышева. Свойства)» (из сайта открытых видеолекций учебных курсов
МГУ)