Раздел II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава III. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ЛЕКЦИЯ 9. §1. Функция одной переменной

п.1. Абсолютная величина действительного числа.

Определение 1. Абсолютной величиной или модулем действительного числа x называется само это число x, если , и число , если .

Абсолютная величина числа x обозначается через . Следовательно,

(1)

Из определения абсолютной величины числа x следует, что

, , и . (2)

Пусть a – некоторое положительное число, и x, y – произвольные действительные числа. Справедливы следующие свойства абсолютных величин:

1. a) , -a<x<a;

b) ,

(утверждения a) и b) верны и при нестрогих неравенствах);

2. ; 4. ;

3. ; 5. , .

Докажем некоторые из них.

1а. Неравенство равносильно двойному неравенству . Действительно,

.

2. Докажем неравенство . С учетом определения модуля числа и неравенств (2) имеем:

.

Легко доказываются и другие свойства.

Пример 1. Решить уравнения: 1) ; 2) .

Решение. 1) ; 2) , , , и , .

Пример 2. Решить неравенство: 1) ; 2).

Решение. 1) , , , , (рис.1).

Рис.1

2) , a) , , , или
b) , , . Из a) и b) следует, что (рис. 2).

Рис. 2

п.2. Понятие функции одной переменной .

1. Постоянные и переменные величины.

Определение 1. Величина, числовое значение которой в данном процессе или рассматриваемой задаче остается неизмененной, называется постоянной величиной.

Определение 2. Величина, которая в данном процессе или рассматриваемой задаче принимает различные числовые значения, называется переменной величиной.

Так, например, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, равная ; температура воздуха в течение суток есть величина переменная.

Постоянные величины обозначают обычно через a,b,c,… переменные – через x, y, z,….

Определение 3. Множество всех значений , которые может принимать переменная величина, называется областью изменения переменной величиной.

Часто областью изменения переменной x является замкнутый промежуток или отрезок : ; открытый промежуток или интервал : ; полуоткрытые промежутки или интервалы , : , . К ним присоединяют: , , , , .

2. Определение функции одной переменной.

Пусть , – два числовых множества.

Определение 4. Если каждому значению по некоторому правилу (закону) f поставлено в соответствие одно определенное число , то говорят, что на множестве X задана функция .

Множество X называется областью определения функции, обозначается через , а множество – областью изменения (или значений) функции, обозначается через .

Если X не дано, то под областью определения функции понимается множество тех значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

Примеры. Найти и функции: 1) ;
2) .

Решение. 1) , ; .

2) ,,, , .

3. Способы задания функции.

Имеется несколько способов задания функции.

1) Аналитический способ. Если функция задана одной или несколькими формулами на различных участках изменения аргумента x, то говорят, что функция задана аналитическим способом. В этом случае явно указываются математические действия, которые надо совершить над аргументом, чтобы получить значение функции.

Например, формула означает, что для получения значения функции нужно значение аргумента возвести в куб и к результату прибавить удвоенное значение этого аргумента. Аналитический способ чаше всего применяется в математике.

2) Табличный способ. Функцию можно задавать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции. Табличным способом задания функции часто пользуются в практической деятельности, при решении экономических задач, обработке результатов эксперимента и т.д.

3) Графический способ. Функция называется заданной графически, если построен ее график. Этот способ очень нагляден, и по графику можно найти приближенные значения функции.

Все три способа задания функции имеют свои преимущества и недостатки. В ряде случаев они взаимно дополняют друг друга. Но основным способом задания функции является аналитический способ.

В последние годы широко применяется еще один метод – задание функции с помощью программы вычисления ее значений на вычислительных машинах.

Встречаются также и другие способы задания функции.

___________________

4. Монотонные функции.

Определение 5. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любых x₁,x₂, принадлежащих X, из следует .

Если из , то функция называется возрастающей (убывающей) в широком смысле.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Например, является возрастающей на множестве ; - убывает на множестве и возрастает на множестве .

_______

5. Ограниченные функции.

Определение 6. Функция , заданная на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует такое число M (число m), что .

Если такого числа M (числа m) не существует, то функция называется неограниченной сверху (снизу) на X.

Определение 7. Функция называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на X и снизу и сверху, т.е., если существуют такие числа m и M, что .

В противном случае называется неограниченной на множестве X.

Например, функция ограничена снизу, а – ограничена сверху на множестве ; функция не ограничена на множестве ; а функция – ограничена на этом множестве, т.к. .

6. Четные и нечетные функции.

Множество X называется симметричным относительно начала координат, если множеству X принадлежит и значение .

Определение 8. Функция , определенная на симметричном множестве X, называется четной, если и нечетной, если .

Например:

1) – четная функция на множестве , так как ;

2) – нечетная функция, так как .

Отметим, что график четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат.

7. Сложная функция.

Функция называется сложной, если ее аргумент в свою очередь является функцией другой переменной. Пусть, например, переменная y зависит от переменной u, которая в свою очередь зависит от переменной x, т.е. , .

Тогда при изменении x будет меняться и u. Значит y является функцией x, которая и называется сложной функцией; переменная u при этом называется промежуточной.

При рассмотрении сложной функции важно установить ее название. Особенно это необходимо при нахождении производных, о чем пойдет речь несколько позже.

Примеры. 1) : ; , ,

– сложные степенные функции.

2) : ; , – сложные показательные функции;

3) : , , – сложные логарифмические функции;

4) , , , – сложные тригонометрические функции.

8. Обратная функция.

Пусть функция

(1)

задана на множестве X, а Y – множество ее значений.

Если каждому значению можно поставить в соответствие одно значение , для которого , то на множестве Y можно определить функцию

, (2)

которая называется обратной по отношению к данной функции.

Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), решая его относительно x.

Отметим, что в этой форме, в какой получена обратная функция (2), ее график совпадает с графиком исходной функции (1). В записи (2) y выступает в роли аргумента, а x – в роли функции. Но обычно аргумент обозначается через x. Поэтому после получения записи обратной функции (2) в ней вместо x пишут y, а вместо y пишут x. Тогда будем иметь окончательную формулу для обратной функции в виде

(3)

График функции (3) получится из графика данной функции (1) зеркальным отображением последнего относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 1).

Легко установить условие существования обратной функции: им служит мо-

онотонность исходной функции, так как тогда, задавая значения y из E(y), мы

каждый раз будем получать единственное значение (рис. 2).

Пример. Для данной функции найти обратную.

Решение. Из уравнения выразим x через y: . Меняя обозначения x и y в последнем, получим – уравнение обратной функции.

п.3. Основные элементарные функции.

Определение 1. Основными элементарными функциями называются степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

1. Степенная функция.

Степенная функция задается формулой -

, (1)

где – любое действительное число. Область определения этой функции, ее значения и свойства зависят от . Все графики степенной функции проходят через точку , а при и через начало координат.

1) Если , то график степенной функции проходит при выше прямой , а при – ниже нее (см. на рис. 1, например, график функции ).

-1

2) Если , то график степенной функции проходит при ниже прямой , а при - выше нее (см. на рис. 1).

3) Если , то функция (1) при не определена. Ее графики представляют собой гиперболы различных порядков (рис. 2).

Если функция (1) четна, то ее график симметричен относительно оси Oy и расположен в первой и второй четвертях (см. , на рис. 1 и 2); если она нечетна, то график симметричен относительно начала координат (см. , , , на рис. 1 и 2).

2. Показательная функция.

Показательная функция задается формулой

. (2)

Область определения показательной функций ; область значений ; все ее графики проходят через точку ; функция возрастает при и убывает при (см. и на рис. 3).

3. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция задается формулой

. (3)

Функция определена при всех , возрастает при , убывает при (см. и на рис 4); все ее графики проходят через точку ; область значений .

Показательная и логарифмическая функции (2) и (3) являются взаимно обратными

4. Тригонометрические функции.

1) Функции и определены при всех , имеют период и ограничены: и . Функция – нечетная, – четная (рис. 5).

2) Функция определена при всех ; – при всех . Обе функции нечетны, имеют период и неограниченны (рис. 6).

_________

5. Обратные тригонометрические функции.

1) Функции и определены на сегменте и ограничены: и (рис. 7).

Функция нечетна.

2) Функция и определены при всех и ограничены и (рис. 8). Функция нечетна.

y

п.4. Примеры применения элементарных функций в экономике.

Пример 1. Пусть на выплавку 1т. чугуна требуется 1,5т. каменного угля. Тогда количество угля, необходимое для выплавки x т. чугуна, можно определить по формуле: .

Пример 2. Пусть предприятие выпускает некоторую продукцию. Обозначим через x количество выпускаемой продукции, через a – издержки, связанные с выпуском единицы продукции, через b – постоянные издержки, не зависящие в основном от количества выпускаемой продукции (например, расходы на амортизацию зданий, на отопление, освещение и д.р.). Тогда полные издержки y производства продукции в течении некоторого времени можно выразить в виде линейной функции формулой: .

Пример 3. Как известно, благосостояние семьи зависит от уровня среднего размера дохода, приходящегося на каждого члена семьи. Пусть в семье работает один человек и его заработная плата составляет A руб. в месяц. Тогда при наличии у него x иждивенцев средний доход на одного человека будет равен частному от деления A на x+1 (х иждивенцев плюс 1-сам работающий):

.

Пример 4. Спрос на товар при определенных условиях есть функция от цены. Пусть y – спрос на товар, x – цена товара. Тогда зависимость между ценой и спросом можно записать в виде функции .

Функция спроса может иметь разные виды, например:

или . (1)

Из формул (1) видим, что с увеличением цены товара x, спрос y на нее падает, и, наоборот, если цена x уменьшается, то спрос y увеличивается.