ЛЕКЦИЯ 8. §5. Задачи на прямую и плоскость в

пространстве .

1. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости.

Пусть плоскость и прямая заданы соответственно уравнениями:

,

, , ,

вектор – нормальный вектор плоскости и – направляющий вектор прямой .

Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны и, следовательно, их координаты пропорциональны:

. (1)

Равенства (1) есть условия перпендикулярности прямой плоскости . Если же прямая параллельна плоскости , то векторы и перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю:

. (2)

Равенство (2) есть условие параллельности прямой плоскости .

2. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть есть угол между прямой и плоскостью (рис. 1). Нормальный вектор плоскости образует с направляющим вектором прямой угол (рис. 1а) или (рис.1б).

Отсюда следует

, ,

или

, .

Так как угол меняется от 0 до , то в обоих случаях . поэтому

, т.е. . (3)

Формула (3)есть формула нахождения угла между прямой и плоскостью .

3. Пересечение прямой с плоскостью.

Пусть прямая не параллельна плоскости . Чтобы найти точку их пересечения, надо решить совместно систему из уравнений и . Для этого подставим значения , , , в уравнение плоскости .

Будем иметь

. (4)

Решая уравнение (4) относительно t, найдем его корень. Подставляя t₀ в параметрические уравнения прямой , получим координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пример. Исследовать взаимное расположение плоскости и прямой , , .

Решение. Имеем: – нормальный вектор плоскости, – направляющий вектор прямой. Так как для векторов и равенства (1) не выполняются, то прямая и плоскость пересекаются.

1) Найдем точку их пересечения. Для этого подставим значения , , в уравнение плоскости. Получим:

, , .

При из параметрических уравнений прямой будем иметь:

, , .

Следовательно, – точка пересечения прямой и плоскости.

2) По формуле (3) найдем угол между прямой и плоскостью:

, .

4.Расстояние от точки до плоскости

Пусть в пространстве даны точка и плоскость уравнением Ах + Ву +Сz +D = 0. Можно показать, что расстояние отточки до плоскости можно найти по формуле:

. (5)

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости

2х – у +2 +7 =0.

Решение. Подставляя данные в формулу (5), получим:

§6. Элементы теории множеств.

п.1. Множества и операции над ними.

Основные понятия и определения.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и принимается без определения. Оно может состоять из набора некоторых объектов произвольной природы, объединенных по каким-то общим признакам. Можно говорить, например, о «множестве людей данного города», о «множестве деревьев леса», о «множестве животных планеты», о «множестве букв данной книги» и т. д. Мы будем рассматривать множество чисел, множество функций, множество векторов, множество точек на плоскости или в пространстве и т.д. Множества будем обозначать большими буквами: , а элементы множества – малыми буквами: . Если x является элементом множества X, то пишут . Если же x не принадлежит множеству X, то пишут .

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, одноэлементным – если оно содержит только один элемент, пустым – если оно не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ф.

Примеры. 1) A – множество студентов данного курса – конечное множество; 2) – множество состоит из одного элемента – единицы; 3) C – множество действительных корней уравнения – пустое множество.

Множество A называется подмножеством другого множества B, если каждый элемент множества A является одновременно элементом множества B.

В этом случае пишут .

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. тогда и только тогда, когда и .

Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B. Обозначается .

На рис. 1 изображены два множества точек плоскости – круг A и круг B. Их объединением будут все точки обоих множеств А и В.

	Рис. 1

Заметим, что .

Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, которые принадлежат и множеству A и множеству B.

Обозначается .

На рис. 1 пересечением множеств A и B будет множество общих точек обоих кругов С=А ∩ В. Заметим, что .

На рис. 2. . В этом случае А и В называются непересекающимися множествами.

Разностью множеств A и B называется совокупность тех элементов A, которые не содержатся в множестве B. Обозначается A\B.

Таким образом, .

При этом множество B может содержаться в множестве A полностью (рис. 4а), частично (рис. 4б) или совсем не содержаться (рис. 4с).

		Рис. 4б

Заметим, что в последнем случае, то есть когда , разность A\B=A. В общем случае .

Если , то разность A\B называется дополнением множества B до множества A и обозначается .

Примеры. 1) Пусть A – множество всех четных чисел, B – множество нечетных чисел. Тогда – множество всех целых чисел. 2) Если A – множество всех чисел, делящихся на 2, B – множество всех чисел делящихся на 3, то – множество всех чисел, делящихся на 6. 3) Если , , , то ; .

п.2. Числовые множества. Вещественные числа.

Вспомним кратко структуру множества вещественных (действительных) чисел.

Сначала в процессе счета возникают так называемые натуральные числа: . Их обозначают через N:

.

Расширением множества натуральных чисел является множество целых чисел Z:

,

а их расширением в свою очередь является множество рациональных чисел Q, т.е. чисел, представимых в виде отношения двух целых чисел:

, где , и .

Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, верно и обратное утверждение. Но кроме них существует еще необъятное множество бесконечных непериодических десятичных дробей. Их называют иррациональными числами. Примерами иррациональных чисел являются: , .

Множество всех рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных или вещественных чисел и обозначают через .

Таким образом, имеют место следующие последовательные включения:

.

Дальнейшим расширением понятия действительных чисел является так называемые комплексные числа. О них будет сказано ниже отдельно ..

п.3. Множества точек n–мерного пространства Rⁿ.

1. Выпуклые множества.

Определение 3. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками A и B ему принадлежат и все точки отрезка , т.е., если и , то .

Выпуклые множества точек иногда называют выпуклыми фигурами. Выпуклыми множествами являются множество точек числовой оси, полуоси, отрезка , плоскости, трехмерного пространства и т.д.

В трехмерном пространстве выпуклыми фигурами являются цилиндр, шар, куб, параллелепипед и т.д.

На рисунках 2а и 2б даны выпуклые фигуры, а на рис. 3 – невыпуклая фигура.

					Рис. 2б
	Рис. 2a
							Рис. 3

Справедлива следующая

Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство. Пусть имеем два выпуклых множества U и V. Если точки A и B принадлежат пересечению , то по определению 3 отрезок целиком принадлежит каждому из выпуклых множеств U и V, следовательно, он принадлежит их обшей части, т.е. пересечению. Отсюда видно, что пересечение есть выпуклое множество (рис. 4).

Теорема доказывается аналогично, если число выпуклых множеств больше двух.

2. Окрестность точки в . Ограниченные множества.

Определение 4. Пусть – некоторая точка пространства и – данное положительное число. Тогда – окрестностью точки M₀ называется множество всех точек , расстояние от которых до точки M₀ меньше , т.е.

.

– окрестность точки обозначают через .

В пространстве – окрестность точки есть интервал , в – круг с центром в точке M₀ и радиуса , в – шар с центром в точке M₀ и радиуса .

Определение 5. Множество точек называется ограниченным, если оно целиком содержится в некоторой – окрестности точки – начала координат, т.е. .

Ограниченными множествами являются множества точек любого интервала (a и b – конечные числа), круга конечного радиуса, треугольника, куба, – окрестности любой точки и.д.

3. Внутренние, граничные и угловые точки множества.

Определение 6. Точка называется внут-

ренней точкой множества , если она

принадлежит множеству V с некоторой

окрестностью (рис. 5).

Определение 7. Точка называется граничной точкой множества , если в

любой ее – окрестности есть точки

как принадлежащие множеству V, так и не при

надлежащие ему.

Определение 8. Множество всех граничных Рис.5

точек множества называется границей множества V.

На рис. 5 M₀ – внутренняя точка, M₁ – граничная точка, Г – граница множества .

Для интервала (a,b) любая его точка – внутренняя; граница интервала (a,b)

состоит из двух точек a и b.

Определение 9. Точка M выпуклого множества называется угловой
(или крайней) точкой этого множества, если она не лежит внутри отрезка, соединяющего любые две точки множества V.

Очевидно, что угловая точка должна принадлежать границе множества V.

На плоскости вершины любого треугольника, прямоугольника, многоугольника, все точки окружности круга будут угловыми точками.

4. Открытые и замкнутые множества.

Определение 10. Множество называется открытым, если любая точка является внутренней точкой этого множества.

Определение 11. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Например:

1) – открытое и – замкнутое множества в R;

2) – открытое и - замкнутое множество в R² ;

3) - открытое множество Rⁿ.

§7. Системы линейных неравенств и методы .их решения

1.

При решении многих задач экономического характера приходится рассматривать системы линейных неравенств, следующего вида:

(7)

Решением этой системы называется такой набор n чисел , который удовлетворяет одновременно всем неравенствам системы. Множество всех решений системы (7) называется областью ее решений. Она представляет собой выпуклое множество (выпуклый многогранник), ибо является пересечением выпуклых полупространств, соответствующих неравенствам системы.

Система (7) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет ни одного решения.

Часто системы вида (7) рассматриваются при дополнительных ограничениях на переменные: , .

Пример. Найти область решений системы линейных неравенств:

(8)

Решение. Строим граничные прямые , , и полуплоскости, соответствующие неравенствам (8). Для определения расположения полуплоскостей в качестве контрольной точки возьмем, например, точку . Треугольник ABC (рис. 2) является общей частью полученных полуплоскостей и представляет собой область решений системы (8).

2. Математические модели некоторых экономических и других задач.

Рассмотрим вопрос составления математических моделей задач, возникающих из практической жизни, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значения функции, определенной на множестве решений систем неравенств типа (7).

Задача . Пусть для изготовления двух видов продукции P₁, P₂ используется сырье трех видов S₁, S₂, S₃. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 1.

Виды сырья	Кол-во ед. сырья, идущее на изготовление ед. продукции		Запасы сырья
	P1	P2
S1	2	6	30
S2	6	3	40
S3	3	6	50
Прибыль от реал. ед продук. в руб.	500	800

Таблица 1.

Требуется выпускать продукции P₁, P₂ в таких количествах x₁, x₂, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель этой задачи.

Решение. Очевидно, что по смыслу задачи x₁, x₂ должны быть неотрицательными и удовлетворять системе ограничений:

(9)

Реализация x₁ единиц продукции P₁ и x₂ единиц продукции P₂ дает соответственно 500x₁ и 800x₂ руб. прибыли, суммарная прибыль (руб.).

Получаем следующую математическую модель рассмотренной задачи: найти такие значения x₁, x₂, которые доставляют максимальное значение функции , и удовлетворяют ограничениям (9), то есть:

Z=500x₁+800x₂→max;

§ 8. Элементы теории комплексных чисел

п.1. Определения

Мы знаем, что квадратное уравнение ax²+bx+c=0 при дискриминанте D=b²–

– 4ac<0 не имеет решений на множестве действительных чисел. В частности, не имеет решений и уравнение x²+1=0. Однако, если в определении квадратного корня отбросить требование неотрицательности подкоренного числа, то будет удовлетворять этому уравнению. Именно проблема решения квадратных и кубических уравнений привела к необходимости расширения множества действительных чисел. Такое расширение было осуществлено введением комплексных чисел.

Определение 1. Число, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается через i: i² = –1.

Определение 2. Комплексными числами называются числа вида:

z = a + bi, (1)

где a, b – действительные числа, i – мнимая единица.

При этом число a называется действительной частью, произведение bi – мнимой частью комплексного числа.

Всякое действительное число а можно записать в виде (1), взяв : . Следовательно, множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

Определение 3. Комплексные числа вида и называются комплексно – сопряженными числами.

Определение 4. Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей, т.е. a₁=a₂ и b₁=b₂.

п.2. Действия над комплексными числами.

Сумму и разность двух комплексных чисел , будем определять равенствами:

1) z₁+z₂=(a₁+b₁i)+(a₂+b₂i)=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i; (2)

2) z₁–z₂=(a₁+b₁i)–(a₂+b₂i)=(a₁–a₂)+(b₁–b₂)i, (3)

т.е. при сложении (вычитании) двух комплексных чисел складывают (вычитывают) отдельно их действительные части и коэффициенты мнимых частей.

3) Произведением двух комплексных чисел , называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены, учитывая только, что

; ; ; , и т.д.

и вообще при любом :

; ; ; .

Поэтому получаем:

z₁z₂=(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)=a₁a₂+a₁b₂i+a₂b₁i+b₁b₂i²=(a₁a₂–b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i,

т.е.

z₁z₂=(a₁a₂–b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i. (4)

Для комплексно – сопряженных чисел z = a + bi и = a – bi формула (4) примет более простой вид:

z=(a+bi)(a–bi)=a²–(bi)²=a²–b²i²=a²+b²,

т.е.

z=(a+bi)(a–bi)=a²+b²,

где a и b – действительные числа.

Таким образом, на множестве комплексных чисел получаем формулу разложения суммы квадратов двух действительных чисел a и b:

a²+b²=(a+bi)(a–bi). (5)

(Напомним, что на множестве действительных чисел разлагается только разность квадратов чисел: a²–b²=(a–b)(a+b)).

4) Деление комплексных чисел определяется путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю:

.

Пример 1. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁=2–3i и z₂=1+4i.

Решение. Можно применить готовые формулы (2) – (5), но мы будем производить непосредственные вычисления.

1) z₁+z₂=(2–3i)+(1+4i)=(2+1)+(–3+4)i=3+i;

2) z₁–z₂=(2–3i)–(1+4i)=(2–1)+(–3–4)i=1–7i;

3) z₁·z₂=(2–3i)(1+4i)=2·1+2·4i–3i·1–3i·4i=2+5i-12·i² =2+5i+12=14+5i;

4)

.

п.3. Тригонометрическая и показательная формы записи
комплексного числа.

Любое комплексное число z=a+bi можно рассматривать как упорядоченную пару чисел (a;b). Заметим, что так обычно и определяются комплексные числа.

Так как каждая упорядоченная пара чисел определяет точку на координатной плоскости, то комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде точки (a;b) на плоскости Oxy или вектора с соответствующими координатами (рис. 1).

Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина соответствующего вектора:

.

Угол , на который нужно повернуть положительное направление оси Ox так, чтобы оно совпало с направлением вектора , соответствующего комплексному числу z=a+bi, называется аргументом комплексного числа z и обозначается : .

Этот угол считается положительным, если вращение оси совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.

Очевидно, что аргумент определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого , . Мы ограничимся его главным значением: .

Аргумент комплексного числа находится из условий:

(6)

Аргумент комплексного числа z=0 не определен, а его модуль равен нулю.

Из равенств (6) получаем: , . Подставляя эти значения в (1), получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:

. (7)

В главе VII мы докажем формулу Эйлера:

. (8)

Из (7) и (8) мы получим еще показательную форму записи комплексного числа:

.

Пример. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

1) z = 3+; 2) z = 4; 3) z = 2i.

Решение. 1) Для z = 3+ имеем:

;

.

Подставляя значения r =6, в (7), получим:

– (9)

– тригонометрическую форму записи комплексного числа z = 3+.

2) Для z = 4= 4+0·i имеем:

;

.

Подставляя значения r = 4 и в (7), получим:

.

3) Для z = 2i = 0 + 2i имеем:

;

.

Подставляя значения r = 2 и в (7), получим:

.