ЛЕКЦИЯ 7.
§3. Плоскость в пространстве 
.
п.1.
Уравнения поверхности и линии в пространстве .
Определение. Уравнением поверхности в
пространстве Oxyz
называется
такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности
и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
В
общем виде уравнение поверхности записывают так:
или 
.
Аналогично
дается определение уравнения линии в пространстве. Линия в пространстве обычно
задается как пересечение двух поверхностей. Поэтому ее уравнение можно
представить в виде системы
.
Рассмотрим
примеры.
1.
Составить уравнение сферы радиуса R и с
центром в точке 
.
Исходя
из определения сферы как множества точек пространства, равноудаленных от данной
точки (центра), для произвольной ее точки 
получаем
, т.е.
или 
.
(1)
Если точка 
не принадлежит данной
сфере, то либо 
, либо 
, т.е. координаты такой точки не будут удовлетворять
уравнению (1).
Следовательно,
уравнение (1) есть уравнение сферы с центром в точке 
и радиуса R.
В
частности, если 
, то из (1) получим
(2)
–
уравнение сферы с центром в начале координат. Уравнение (2) называется каноническим уравнением сферы.
2.
Пусть 
– плоскость,
проходящая через точку 
, перпендикулярно оси Ox (рис. 1). Каждая точка , лежащая на плоскости 
, имеет абсциссу 
; обратно, если для какой-нибудь точки абсцисса , то эта точка расположена на плоскости .
Следовательно,
есть
уравнение плоскости , перпендикулярной оси Ox.
Аналогично
можно показать, что уравнения
, 
есть
соответственно уравнения плоскости 
, проходящей через точку 
перпендикулярно
оси Oy, и плоскости 
, проходящей через точку 
, перпендикулярно оси Oz (рис. 1).
В
частности 
, 
, 
есть
уравнения, соответственно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy.
3.
Без вывода отметим, что уравнение 
в пространстве дает
цилиндрическую поверхность, у которой направляющая есть эллипс, лежащий в
плоскости Oxy, а
образующие параллельны оси симметрии Oz
(эллиптический цилиндр) (рис. 2).
Если
полагать 
, то получим уравнение кругового цилиндра:
.
Аналогично
можно записать уравнение цилиндра, ось симметрии которого совпадает с осью Ox или Oy.
4.
Координатные оси Ox, Oy, Oz в
пространстве можно рассматривать как пересечение соответственно координатных
плоскостей Oxy и Oxz, Oxy и Oyz, Oxz и Oyz. Поэтому системы: 
– уравнения оси
Ox, 
–
уравнения оси Oy и 
– уравнения оси
Oz.
Системами:
, 
, 
задаются
уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oz, Oy, Ox; система 
определяет
окружность как пересечение сферы и плоскости Oxy.
п.2. Различные уравнения плоскости в .
1. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку
перпендикулярно данному
вектору.
Определение.
Вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.
Очевидно,
что одна и та же плоскость имеет бесконечное множество нормальных векторов.
Пусть
дана плоскость , проходящая через данную точку 
перпендикулярно
данному ненулевому вектору 
(рис. 1).
Требуется вывести уравнение этой плоскости. Для этого возьмем на плоскости произвольную
точку и рассмотрим
вектор 
.
Очевидно, что 
. Следовательно, скалярное
произведение 
=0, т.е.
. (1)
Уравнению
(1) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости , и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
Следовательно,
уравнение (1) есть искомое уравнение плоскости .
Пример. Написать
уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно
вектору 
.
Решение.
Подставляя координаты вектора и точки в уравнение (1), получим:
, 
–
искомое уравнение.
2. Общее уравнение плоскости и его
исследование.
Рассмотрим
уравнение
, (1)
где A, B, C, D –
некоторые постоянные числа и 
.
Покажем,
что уравнение (1) есть уравнение плоскости.
Линейное
уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, пусть x0, y0, z0 – одно из них. Тогда
будем иметь равенство:
. (2)
Вычитывая
(2) из (1), получим уравнение:
, (3)
эквивалентное
уравнению(1). Уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно
вектору 
. Следовательно, уравнение (1) тоже есть уравнение
плоскости.
Уравнение
(1) называется общим уравнением
плоскости.
Из
записей (1), (3) видно, что координаты A, B, C уравнения (1) есть координаты нормального
вектора плоскости, соответствующей этому уравнению.
Исследуем
уравнение плоскости (1). (Плоскость (1) обозначим через , 
– ее нормальный
вектор).
1) 
, 
– проходит
через начало координат;
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
;
2) , 
,
, проходит через ось Ox;
, ,
, проходит через ось Oy;
, ,
, проходит через ось Oz;
, 
,
, 
, 
;
, 
,
, 
, 
;
, ,
, 
, 
;
3) , , ,
, –
уравнение плоскости Oxy;
, , ,
, –
уравнение плоскости Oxz;
, , ,
, –
уравнение плоскости Oyz;
3. Уравнение
плоскости в отрезках.
Пусть
в общем уравнении плоскости (1) все коэффициенты отличны от нуля: 
, 
, 
, 
. Тогда его можно привести к виду:
.
(4)
где 
.
Очевидно,
что плоскость (4) проходит через точки , , 
, Следовательно, в уравнении (4) a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью
соответственно на координатных осях Ox, Oy, Oz. Поэтому уравнение (4) называется уравнением плоскости в отрезках.
Пример 1. Установить как проходит плоскость : 1) 
;
2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
Решение. С
учетом исследования 1)-3) уравнения (1) имеем:
1)
– проходит через ось Oz;
2) – проходит через ось Oy;
3) – ; 4) 
– ;
5)
– проходит через начало координат; 6) – –плоскость
Oxy.
Пример 2.
Построить плоскости : 
и
: 
.
Решение.
1)
Плоскость: : параллельна
оси Oz. Найдем ее следы на координатных
плоскостях.
На
плоскости z=0
уравнение дает прямую 
– след на
плоскости Oxy (рис.
1);
на
плоскости y=0 оно
принимает вид: 
, т.е. x=2 и дает прямую 
– след на плоскости Oxz;
на
плоскости x=0 оно
принимает вид: 
, т.е. y=3 и дает прямую 
– след на
плоскости Oyz.
Плоскость
и ее следы
изображены на рис.1.
Уравнение
плоскости приведем к виду
(4):
, 
, 
, 
, 
, 
.
Отложим
значения a, b, c на
координатных осях и полученные точки соединим отрезками. В результате будем
иметь изображение плоскости , данное на рис. 2.
п.3. Взаимное расположение двух
плоскостей. Угол между
двумя плоскостями.
Пусть
даны две плоскости и уравнениями
,
.
Плоскость
имеет
нормальный вектор 
, плоскость - нормальный
вектор 
.
Очевидно,
что параллельность и перпендикулярность и эквивалентны
соответственно параллельности и перпендикулярности их нормальных векторов 
и 
; угол 
между
плоскостями равен углу между векторами и .
Поэтому
имеем:
1) 
; (1)
2)
,т.е.
(2)
Условия
(1) и (2) есть соответственно условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей и .
3)
Угол 
=>
– (3)
формула
нахождения угла между плоскостями и .
Пример. Найти
угол между
плоскостями 
и 
.
Решение.
Имеем: 
, 
, 
;
j
– угол
между плоскостями.
§4. Прямая
в пространстве
п.1.Различные уравнения прямой в
1. Канонические уравнения прямой.
Пусть
в пространстве задана некоторая прямая 
.
Определение. Направляющим вектором прямой называется
любой ненулевой вектор, лежащий на прямой или
параллельный ей.
Составим
уравнение прямой , проходящей через данную
точку и имеющей
направляющий вектор 
(рис.
1). Для этого возьмем на прямой произвольную точку и рассмотрим
вектор
.
Очевидно,
что 
. Следовательно, координаты этих векторов
пропорциональны:
(1)
Уравнения
(1) называются каноническими уравнениями
прямой в пространстве R3.
2.
Параметрические уравнения прямой.
Каждое
из отношений в равенствах (1) приравниваем t ( t – некоторый параметр). Получим
(2)
Уравнения
(2) называются параметрическими
уравнениями прямой в пространстве R3.
3. Уравнения прямой, проходящей через
две заданные точки.
Пусть
даны две различные точки 
и 
. Требуется написать уравнения прямой, походящей через
эти точки.
В
качестве направляющего вектора прямой возьмем вектор
а в качестве данной точки возьмем, например,
точку .
Тогда,
подставляя координаты вектора 
и точки M1 в уравнения (1),
получим:
. (3)
Уравнения
(3) называются уравнениями прямой,
проходящей через две заданные точки. (Полагаем: x2-x1
0, y2-y1 0, z2-z1 0).
4. Общие уравнения прямой
в пространстве R3.
В
пространстве прямую можно рассмотреть
как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Поэтому уравнения прямой
можно записать в виде системы:
(4)
Уравнения
(4) называются общими уравнениями прямой
в пространстве.
От
общих уравнений прямой можно перейти к ее каноническим
уравнениям. Для этого достаточно найти два
различных решения неопределенной системы (4). В результате получим две
различные точки и прямой (4),
после чего ее уравнения можно записать в виде (3).
п.2. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми.
Пусть
даны две пространственные прямые и соответственно
уравнениями:
,
.
Очевидно,
что параллельность и перпендикулярность этих прямых эквивалентны соответственно
параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и 
; угол между ними
равен углу между векторами 
и 
.
Поэтому
имеем:
1)
;
(5);
2)
,т.е. 
=0. (6)
Условия (5) и (6) есть
соответственно условия параллельности и перпендикулярности прямых
и .
3) Угол
–
формула нахождения угла между прямыми и .
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точки 
, 
.
Решение.
Подставим координаты точек M1, M2 в уравнения (3),
получим
-
каноническое
уравнение прямой с направляющим
вектором 
. Подставляя координаты точки M1 и вектора в уравнения
(2), получим
–
–
параметрические уравнения той же прямой.
Пример 2.
Привести к каноническому виду общие уравнения прямой:
(7)
Решение.
Найдем два различных решения системы (7) (или две точки прямой (7)).
Пусть
. Тогда из (7) получим: 
, ,
–
первая точка прямой (7).
Пусть
. Тогда из (7) получим: 
, 
,
–
вторая точка прямой (7).
Точку
примем
за данную точку прямой, вектор 
– за ее направляющий
вектор. Подставляя их координаты в уравнения (1), получим 
– искомые
канонические уравнения прямой (7).
