Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 6. §1. Прямая на плоскости.

п1. Уравнение линии на плоскости. Простейшие примеры.

Определение. Уравнением линии L на плоскости называется такое уравнение или , которому удовлетворяют координаты любой точки и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Рассмотрим примеры вывода уравнений линии.

1. Выведем уравнение окружности с центром в точке и радиуса R.

Пусть - произвольная точка окружности (рис.1). Тогда расстояние между точками C и M , то есть ;

. (1)

Итак, координаты любой точки окружности удовлетворяют уравнению (1). Если точка не лежит на окружности, то расстояние

или ,

т.е. координаты такой точки не будут удовлетворять уравнению (1).

Следовательно, уравнение (1) есть уравнение окружности с центром в точке и радиуса R.

В частности, если , b=0, то из (1) получим:

^-

уравнение окружности с центром в начале координат.

2. Пусть – прямая, проходящая через точку перпендикулярно оси Ox (рис. 2). Покажем, что

(2)

есть уравнение этой прямой.

Перепишем уравнение (2) в виде

.

Пусть – произвольная точка прямой . Подставляя ее координаты в уравнение (2), получим верное равенство , т.е. .

Если точка (рис. 2), то ее координаты не будут удовлетворяют уравнению (2).

Следовательно, уравнение (2) есть уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox (или параллельной оси Oy).

В частности, если в уравнении (2) полагать , то получим –урав- нение оси Oy.

Аналогично можно показать, что - (3)

есть уравнение прямой, перпендикулярной оси Oy (или параллельной оси Ox) (рис. 2). В частности, при b=0 из (3) получим – уравнение оси Ox.

п.2. Различные уравнения прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Определение. Углом наклона прямой к оси Ox называется угол , на который надо повернуть ось Ox против движения часовой стрелки так, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей) (рис. 1).

Если поворот оси производится по движению часовой стрелки, то угол считается отрицательным.

Число называется угловым коэффициентом прямой .

Из курса средней школы известно, что уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси Ox, запишется в виде:

, (1)

где .

Уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если в уравнении (1) положим , то получим – уравнение прямой, проходящей через начало координат; если k=0, то получим y=b – уравнение прямой проходящей через точку параллельно оси Ox; если k=0 и b=0, то получим y=0 – уравнение оси Ox.

Замечание. Если угол наклона прямой к оси Ox , то и в этом случае ее уравнение запишется в виде

x=a. (2)

Этот случай был рассмотрен в §1.

2. Общее уравнение прямой.

Из формул (1) и (2) п.1. видно, что в декартовых прямоугольных координатах уравнение любой прямой есть уравнение первой степени.

Верно и обратное утверждение.

Теорема. Всякое уравнение первой степени

(1) представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости.

Доказательство.

1) Пусть . Тогда уравнение (1) можно представить в виде

,

где , , т.е. мы получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2) Если (тогда ), то и , т.е. получаем уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox.

Из 1) и 2) следует, что во всех случаях уравнение (1) есть уравнение прямой. Теорема доказана.

Займемся исследованием уравнения (1).

1) , , – прямая параллельна оси Ox;

2) , , – прямая перпендикулярна оси Ox;

3) , , – прямая проходит через начало координат;

4) , , , – прямая совпадает с осью Ox;

5) , , , – прямая совпадает с осью Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом является частным случаем уравнения (1). Поэтому уравнение (1) называется общим уравнением прямой.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении.

Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом

. (1)

Предположим, что прямая (1) проходит через точку с углом наклона к оси Ox. Подставляя значения и в уравнение (1) получим:

.

Вычитая из (1), получим:

, (2)

где .

Очевидно, что уравнение (2) есть уравнение прямой (оно линейно относительно x и y) и координаты точки M₀ удовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (2) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

4. Уравнение пучка прямых.

Если в уравнении (2) полагать k произвольным параметром, то это уравнение будет уравнением пучка прямых (всевозможных прямых), проходящих через точку M₀.

Замечание 1. Если , то уравнение прямой, походящей через данную точку примет вид: .

Пример 1. Составить уравнение пучка прямых, проходящих через точку и выделить из этого пучка прямую , проходящую под углом к оси Ox.

Решение. Подставляя в (2) координаты точки M₀, получим:

(3)

– уравнение пучка прямых, проходящих через точку M₀; подставляя в (3) , получим: , т.е. – уравнение прямой , проходящей через точку под углом к оси Ox.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть даны две точки , и требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Подставим координаты точки M₁ вместо и в уравнение (2) и получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку M₁:

, (4)

где k – произвольный параметр.

Потребуем, чтобы прямая (4) проходила и через вторую точку . Тогда должно выполниться равенство:

.

Разделив (4) на , получим:

. (5)

Уравнение (5) есть уравнение прямой, т.к. оно является линейным относительно x, y и легко проверить, что эта прямая проходит через заданные точки M₁ и M₂.

Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Замечание 2. Если данные точки M₁ и M₂ лежат на прямой, параллельной оси Ox или оси Oy , то уравнение прямой будет иметь соответственно вид или .

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки , .

Решение. Подставляя в уравнение (5) значения , , , , получим:

, , – искомое уравнение.

5. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть дано общее уравнение прямой

. (6)

Предположим, что в этом уравнении , и . Тогда его можно преобразовать следующим образом:

, , , (7)

где , . Очевидно, что прямая (7) проходит через точки , . Следовательно, в уравнении (7) a и b есть величины отрезков, отсекаемых прямой соответственно на осях Ox и Oy.

Поэтому уравнение (7) называется уравнением прямой в отрезках.

п.3. Угол между двумя прямыми. Параллельность и

перпендикулярность прямых.

1. Угол между двумя прямыми.

Пусть даны прямые и (рис.1) соответственно уравнениями

,

;

, – углы наклона и к оси Ox ;

, (1)

– угловые коэффициенты прямых.

Определение. Углом между двумя упорядоченными прямыми и называется угол , отсчитываемый от первой прямой до второй прямой против движения часовой стрелки.

Если и параллельны, то полагают .

Пусть прямые и неперпендикулярны. Если они расположены как на рис. 1. , то ; если же они расположены как на рис. 2. , то . В обоих случаях с учетом (1) получим следующую формулу:

,

т.е. . (2)

Формула (2) есть формула нахождения угла между прямыми и .

В этой формуле стрелка показывает, что угол получен поворотом прямой против движения часовой стрелки в сторону прямой .

Замечание. Если хотя бы одна из прямых и параллельна оси Oy, то формула (2) не имеет смысла. В этом случае, считая, например, , угол между прямыми вычисляют по формуле при и при .

Пример 1. Найти угол между прямыми и .

Решение. Преобразуем уравнения прямых, найдем их угловые коэффициенты и подставим результаты в формулу (2). Тогда получим:

,

– угол между данными прямыми.

2. Параллельность и перпендикулярность прямых.

Если прямая , то и ; если , то и . Поэтому из (2) следует, что ,

–

условие параллельности прямых.

Условие ,

–

условие параллельности прямых.

Пример 2. Проверить взаимное расположение прямых

и .

Решение. Преобразуем эти уравнения к виду . Получим: и ;. Следовательно, прямые параллельны.

п.4. Некоторые задачи, связанные с уравнением прямой.

Задача 1. Пусть некоторая культура имеет первоначальную урожайность 20ц с 1 га, и мы намечаем ежегодный ее рост на 2ц. Выразить рост урожайности в виде функции, считая t в годах от начального года.

Решение. Очевидно, что эту функцию можно выразить в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом . Например, через 5 лет урожайность составит (ц.).

Задача 2. Найти расстояние от точки до прямой : .

Решение. 1) Найдем угловой коэффициент прямой :

, .

2) Напишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой:

, .

3) Найдем точку пересечения данной и полученной прямых. Для этого решим систему

, , – искомая точка.

4) Найдем расстояние (см. рис. 1).

A(2;5)

Задача 3. Пусть производится перевозка некоторого груза на расстояние x. Обозначим через a цену перевозки груза на единицу расстояния, через b – постоянные расходы, не связанные с расстоянием (например, погрузка и выгрузка транспорта). Тогда общая стоимость перевозки груза составит .

Предположим, что перевозку груза можно произвести железнодорожным и автотранспортом. Стоимость перевозки железнодорожным транспортом составляет , а автомобильным транспортом – .

Каким транспортом дешевле перевезти груз? Решить задачу при данных ; ; ; .

Решение. Подставим данные задачи в уравнения стоимостей перевозок и решим систему:

, .

Как видно из рис.2., при перевозке груза на расстояние x, где , выгодно воспользоваться автотранспортом; при ед. расстояния стоимость перевозки обоими видами транспорта одинакова и равна 4 ед. стоимости.

Если расстояние , то экономически выгодно воспользоваться железнодорожным транспортом.

§2. Понятие о кривых второго порядка.

Кривыми второго порядка на плоскости называют линии, которые в прямоугольной системе координат описываются уравнениями второй степени относительно переменных x и y.

К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Уравнение окружности с центром в точке и радиуса R было получено выше в виде

.

Дадим понятие и о других кривых второго порядка.

п.1. Эллипс.

Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁,F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Постоянную величину, о которой идет речь в определении, обозначим через 2a, расстояние между фокусами F₁,F₂ - через 2c: .

Через точки проведем ось Ox, а через середину отрезка F₁F₂ – ось Oy (рис.1). Тогда точки будут иметь соответственно координаты и .

Если – произвольная точка эллипса, то по определению

.

Подставляя в это равенство значения и , получим:

(1)

Уравнение (1) есть искомое уравнение эллипса. Упростим это уравнение.

Перенесем один из корней в правую часть, возведем в квадрат полученное уравнение и приведем подобные члены:

,

,

, .

Возведя в квадрат последнее уравнение, получаем

. (2)

Разделив обе части равенства (2) на , будем иметь:

. (3)

Из треугольника (рис.1) видно, что , т.е. , .

Поэтому число . Введем обозначение . Тогда уравнение (3) примет вид

, (4)

где .

Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса. График эллипса симметричен относительно координатных осей Ox и Oy. Действительно, если координаты точки удовлетворяют уравнению (4), то ему удовлетворяют координаты и точек , . График эллипса изображен на рис. 2. Легко проверить, что он проходит через точки , , , , которые называются вершинами эллипса.

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями, половины этих отрезков a и b – большой и малой полуосями.

Отметим, что если в уравнении (4) окажется , то получится эллипс с большей полуосью и фокусами на оси Oy.

Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси .

Обозначим эксцентриситет через . Тогда получим

. (5)

Из равенств (5) и будем иметь:

, .

Последнее равенство показывает, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: при малых значениях эллипс по своей форме близок к окружности; если близок к 1, то эллипс сильно вытянут; если , то и эллипс переходит в окружность. Окружность есть частный случай эллипса.

Для интереса отметим, что каждая планета солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Пример. Дано уравнение эллипса . Привести уравнение к каноническому виду, найти оси, фокусы и эксцентриситет эллипса.

Решение. Разделив обе части уравнения на 16, приведем уравнение к каноническому виду . Отсюда:

, , ; , , ;

, .

Следовательно, – большая ось, – малая ось, и – фокусы, – эксцентриситет эллипса.

п.2. Гипербола.

Определение 1. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Постоянную величину, о которой говорится в определении, обозначим через 2a, расстояние между фокусами F₁, F₂ – через 2c.

Через точки F₁, F₂ проведем ось Ox, а через середину отрезка F₁F₂ – ось Oy (рис.1). Тогда точки F₁, F₂ будут иметь соответственно координаты и .

Если – произвольная точка гиперболы, то по определению

, т.е. .

Выразив в этом равенстве расстояния и через координаты точек, получим:

. (1)

Как и в случае эллипса, производя соответствующие преобразования, уравнение (1) можем привести к виду:

, (2)

где .

Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы.

Легко убедится, что график гиперболы симметричен относительно координатных осей Ox и Oy.

Ось Ox пересекается гиперболой в двух точках и , которые называются вершинами гиперболы, а ось Oy с гиперболой не пересекается. Поэтому Ox называется действительной, а Oy – мнимой осями симметрии гиперболы.

Отрезок (и его длина 2a) называется действительной осью гиперболы. На мнимой оси Oy построим точки и .

Отрезок (и его длина 2b) называется мнимой осью гиперболы. Величины a и b называются полуосями гиперболы.

Для построения графика гиперболы находят полуоси a и b и строят так называемый основной прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны, равные 2a и 2b, параллельны соответственно Ox и Oy. Через противоположные вершины прямоугольника проходят прямые, которые называются асимптотами гиперболы. При ветви гиперболы бесконечно приближаются к этим прямым. График гиперболы изображен на рис.2.

Определение 2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси :

. (3)

Так как c>a (рис.2), то эксцентриситет гиперболы . Из равенств (3) и будем иметь:

Последнее равенство показывает, что эксцентриситет гиперболы характеризует основной прямоугольник и форму гиперболы: если или , то ; если же , то .

Замечание. Уравнение тоже определяет гиперболу, но с действительной осью Oy. На рис. 2. эта гипербола изображена пунктирами. Ее вершины B₁, B₂ лежат на оси Oy.

Пример. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением .

Решение. Разделив обе части уравнения на 225, получим . Отсюда имеем , и , . Так как , то и .

Следовательно, , – полуоси, , – фокусы и – эксцентриситет гиперболы.

п.3. Парабола.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Пусть p – расстояние между фокусом F и директрисой . Проведем через F прямую, перпендикулярно и направленную от директрисы к фокусу (рис. 1). Эту прямую примем за ось Ox.

Расстояние от точки F до директрисы равно . Величина p (p>0) называется параметром параболы. Через середину отрезка AF проведем ось Oy. Тогда фокус F будет иметь координаты , а директриса – уравнение .

D

Пусть – произвольная точка параболы и - основание перпендикуляра, опущенного из точки M на директрису (рис. 1). По определению параболы имеем:

. (1)

Выразив расстояние и через координаты точек, из (1) получим уравнение параболы

. (2)

Возведя обе части равенства (2) в квадрат и упростив результат, будем иметь:

. (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Легко убедиться, что график параболы (3) симметричен относительно оси Ox и проходит через точку , которая называется ее вершиной. Ветви параболы расположены в положительном направлении оси Ox (рис.1).

Аналогично можно получить уравнение параболы, расположенной симметрично относительно оси Oy (рис. 2): .

Уравнения и определяют параболы, которые направлены от начала координат соответственно влево, симметрично относительно оси Ox, и вниз, симметрично относительно оси Oy.

Пример. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы следующих парабол: 1) ; 2) .

Решение. 1) , , , – уравнение директрисы и - фокус параболы.2) , , , – уравнение директрисы

и – фокус параболы.