ЛЕКЦИЯ 5. п.3. Линейная зависимость векторов.
Пусть
L – линейное пространство и
– (1)
некоторая
система векторов из L. Выражение
, (2)
где 
– некоторые действительные числа из R,
называется линейной комбинацией векторов системы (1).
Если
вектор 
можно представить в виде:
,
то
говорят, что 
– линейная комбинация системы векторов
(1) или вектор разложен по системе векторов (1).
Определение.
Система векторов (1) называется линейно-зависимой, если существуют такие
числа ,
из которых хотя бы одно отлично от нуля (т.е. 
),
что
. (3)
Если равенство (3) имеет место только тогда,
когда все 
,
,
то система (1) называется линейно независимой.
Пример
1.
Выяснить линейную зависимость, независимость векторов:
1) 
, 
,
;
2) 
, 
,
.
Решение. 1)
Рассмотрим уравнение
,
или в
координатной форме:
Главный
определитель полученной однородной системы
.
Поэтому
она имеет единственное решение: 
,
,
.
Следовательно, равенство возможно только при ,
,
,
и система векторов 
линейно независима.
2)
Легко проверить, что уравнение
,
или в
координатной форме
имеет
ненулевое решение, например, 
,
,
.
Следовательно, система векторов 
линейно зависима.
Теорема 1. Если
система векторов (1) линейного пространства L состоит из одного вектора 
,
то она линейно независима.
Теорема
2.
Для того, чтобы система векторов (1) была линейно
зависимой 
,
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы (1) был
линейной комбинацией остальных.
Теорема 3. Если
система (1) содержит нуль-вектор, то она линейно зависима.
Теорема 4.Если
два вектора 
коллинеарны, то они линейно зависимы.
Следствие. Если 
и 
неколлинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 5. Пусть
дана система из n векторов пространства 
:
, 
,…,
. (4)
Если определитель, составленный из координат
этих векторов, отличен от нуля, то система (4) линейно независима.
Следствие. Если
система векторов (4) линейно зависима, то определитель, составленный из их
координат, равен нулю.
Теорема 6.
Система из n единичных векторов пространства :
, 
,…,
линейно
независима.
Теорема 7. Пусть
даны две системы векторов линейного пространства L:
,
(5)
,
(6)
причем
k>m. Если каждый вектор системы (6) есть линейная комбинация системы
векторов (5), то система (6) линейно зависима.
Теорема 8. Если
векторы линейного пространства L линейно независимы,
то любая их часть также линейно независима.
Приведем
доказательства некоторые из теорем.
Доказательство
теоремы 1. Действительно, если система (1) состоит из одного
вектора ,
то из 
.
Следовательно, такая система линейно независима.
Доказательство
теоремы 2. Необходимость. Пусть система векторов (1) линейно
зависима. Тогда справедливо равенство (3), где ходя бы
одно из чисел не равно
нулю. Например, если 
,
то из (3) получим равенство
,
которое
означает, что - линейная комбинация векторов 
.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть
один из векторов системы (1), например ,
есть линейная комбинация остальных:
.
Тогда
.
Получили
равенство вида (3), где хотя бы одно из чисел 
,
,
отлично от нуля, например, 
.
Следовательно, система (1) линейно зависима. Теорема доказана.
Доказательство
теоремы 5. Рассмотрим равенство
.
Если запишем его в координатной форме, а после перейдем к
эквивалентной системе n линейных однородных уравнений с n неизвестными 
,
то увидим, что главный определитель полученной системы отличен от нуля (в силу
условия теоремы) и, следовательно, она имеет единственное решение:
. Это означает, что система векторов (4) линейно
независима.
Доказательство
теоремы 6 следует из теоремы 5.
Пример 2.
Проверить линейную зависимость, независимость системы векторов:
, 
,
.
Решение.
Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:
,
система векторов линейно независима (теорема
5).
Пример 3.
Установить линейную зависимость, независимость строк матрицы
.
Решение. Для
этого найдем значение определителя 
,
соответствующего матрице A. Имеем:
.
Таким
образом, 
,
следовательно, строки матрицы линейно независимы.
§4. Понятие о размерности и базисе
линейного пространства.
п.1.
Размерность и базис линейного пространства.
Определение 1. Линейное
пространство L называется m – мерным, если в нем:
1) существует система из m линейно
независимых векторов;
2) любая система из (m+1) векторов
линейно зависима.
Если размерность пространства L равна m, то
пишут 
.
Линейное пространство L называется бесконечномерным,
если 
в L существует система из m линейно
независимых векторов.
В этом случае пишут 
.
Пример.
Арифметическое пространство является n – мерным.
Действительно,
в существует система из n линейно независимых
векторов, например, система единичных векторов
, ,…,. (1)
С
другой стороны, если
(2)
есть
произвольная система из (n+1) векторов из ,
то каждый из них можно разложить по системе (1):
, 
(*)
Следовательно,
система (2) линейно зависима (§3. п.4. теорема 7) и 
.
Поэтому называют n – мерным линейным пространством.
Определение 2.
Система векторов
(3)
линейного
пространства L называется его базисом, если:
1) эта система линейно независима;
2) для любого вектора имеет место разложение:
, (4)
где ,
– некоторые действительные числа.
При
этом называются координатами вектора в базисе (3).
Легко
проверить, что система единичных векторов (1) образует базис пространства :
система (1) линейно независима и для любого вектора 
имеет разложение (*).
Понятия
размерности и базиса линейных пространств тесно связаны между собой.
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Если
система из m векторов (3) образует базис линейного пространства L, то 
представление (4) единственно.
Доказательство. От
противного. Пусть вектор имеет два разложения:
и
.
Вычитая
из первого равенства второе, получим:
.
В
силу линейной независимости системы базисных векторов (3), последнее равенство
возможно только в том случае, если
, т.е.
,
.
А
это означает, что разложение вектора по базису (3) единственно. Теорема доказана.
Теорема 2. Если система
из m векторов (3) образует базис линейного пространства L, то .
Доказательство.
Так
как система векторов (3) есть базис пространства L, то система (3) линейно
независима.
Пусть
– произвольная система из (m+1) векторов
пространства L. Из определения базиса следует, что любой из векторов 
можно разложить по базису (3) из m векторов.
Следовательно, в силу теоремы 7 §3, п.4. система векторов линейно зависима. Из 1) и 2) следует, что .
Теорема доказана.
Теорема 3. Если ,
то любая система из m линейно независимых векторов образует базис пространства
L.
Доказательство. Пусть
и – произвольная линейно независимая система
векторов из L. Покажем, что любой вектор 
можно разложить по этой системе.
Так
как ,
то по определению 1 
система из (m+1) векторов 
будет линейно зависимой. Следовательно,
найдутся не все равные нулю числа 
такие, что
. (5)
Заметим,
что заведомо число 
.
В противном случае из (5) вытекала бы линейная зависимость системы векторов .
Разделив обе части (5) на ,
получим разложение:
.
Следовательно,
по определению 2 система векторов образует базис пространства L. Теорема
доказана.
Теорема 4. Если ,
то любой базис пространства L содержит ровно m векторов.
Доказательство. Так
по условию ,
то в L существует система из m линейно независимых векторов и любая система из (m+1) векторов линейно
зависима (определение 1).
Далее, пусть система из k векторов 
образует базис пространства L.
Если
k>m, то система линейно зависима (определение 1), что
противоречит определению базиса.
Если
k<m, то каждый из векторов можно разложить по базису (определение 2), и выходит, что вопреки
условию система линейно зависима (теорема 7 §3, п.4).
Полученные
противоречия показывают, что должно выполниться равенство k=m. Теорема
доказана.
п.2.
Базис и размерность пространства .
Разложение произ
вольного вектора
пространства по его базису. Пример.
Из
теорем 1-4 п.1. вытекают следующие выводы для пространства :
1) в пространстве
любой базис содержит ровно n векторов;
2)
любая система из n линейно независимых векторов этого пространства образует его
базис;
3) если 
– базис пространства ,
то любой вектор 
можно однозначно разложить по этому базису:
Пример.
Проверить, образуют ли системы:
a)
,
,
b)
,
,
.
базисы
пространства 
,
если да, то разложить вектор 
по одному из этих базисов.
Решение.
Составим определители из координат векторов этих систем:
a)
; b) 
.
Отсюда
видно, что система векторов образует базис пространства ,
а система – нет.
Следовательно,
вектор можно разложить по первой системе:
, 
,
,
,
.
Таким
образом, вектор 
по базису имеет координаты 
.
§5. Понятие о базисе и ранге системы
векторов.
Пусть
L – линейное пространство,
–
(1)
произвольная
система векторов из L,
–
(2)
–некоторая
подсистема (или часть) векторов системы (1).
Определение
1.
Подсистема (2) системы векторов (1) называется ее базисом, если векторы
(2) линейно независимы и любой вектор системы (1) разлагается по векторам (2).
Отметим, что одна и та же система
векторов (1) может иметь несколько базисов (их число k ограничено: 
)1).
Но если некоторый базис системы содержит r векторов, то любой другой ее
базис также состоит из r векторов.
Доказательство
утверждения такое же, как и у теоремы 4. п.2.
Определение 2. Рангом системы векторов
(1) называется число векторов в ее базисе.
Ранг
системы (1) фактически есть максимальное число линейно независимых векторов
этой системы.
Для
нахождения ранга системы (1) достаточно найти ранг матрицы A, составленной из
координат этих векторов. Если 
,
то ранг системы (1) равен r; если при этом некоторый минор 
матрицы A отличен от нуля, то векторы, из
координат которых составлен минор 
,
образуют базис системы (1).
Если
ранг системы (1) равен r, то любая линейно независимая подсистема этой системы,
состоящая из r векторов, является ее базисом.
Пример. Пусть
дана система векторов:
, 
,
,
,
,
. (3)
Требуется:
1)
найти ранг системы (3) и несколько ее базисов;
2)
разложить все векторы системы по одному из ее базисов.
Решение.
1) Для нахождения ранга системы (3) из координат
этих векторов составим матрицу
и найдем
ее ранг. Легко проверить, что матрица A имеет миноры 3-го порядка, отличные от
нуля. Например, минор составленный из элементов первых
трех столбцов матрицы – координат векторов 
:
.
Отсюда
вытекает, что ранг матрицы A, следовательно, и системы (3), равен трем, и
векторы образуют базис системы (3). Базисом системы
(3) будет также любая другая тройка ее векторов, определитель из координат
которых отличен от нуля. Легко проверить, например, что векторы 
и 
также образуют базисы системы (3).
2)
Разложим векторы системы (3) по базису .
Начнем, например, с вектора 
.
Для этого составим векторное равенство:
(4)
и
запишем его в развернутом виде:
.
Отсюда
получим следующую систему:
Чтобы
найти коэффициенты разложения 
,
к системе применим метод последовательных исключений
Жордана-Гаусса. Вычисления произведем в симплексной таблице 1. В ней столбцы,
соответствующие векторам 
,
относятся к решению системы .
Для
разложения векторов 
рассуждения повторяются. Поэтому присоединим к
таблице еще столбцы из координат векторов и распространим производимые преобразования на
все столбцы таблицы.
В
таблице также даны столбец для контроля вычислений и к каждой итерации - схема
соответствующих преобразований Жордана-Гаусса.
Таблица 1.
|
№№ итер |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразования |
|
Исх. систем. |
1 |
–3 |
–2 |
3 |
4 |
0 |
3 |
1) |
|
2 |
1 |
–2 |
2 |
–3 |
4 |
4 |
2) |
|
|
–1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
–3 |
3 |
|
|
|
I |
1 |
–3 |
–2 |
3 |
4 |
0 |
3 |
1) |
|
|
7 |
2 |
–4 |
–11 |
4 |
–2 |
2) |
|
|
|
–2 |
1 |
5 |
5 |
–3 |
6 |
|
|
|
II |
1 |
–7 |
|
13 |
14 |
–6 |
15 |
1) |
|
|
11 |
|
–14 |
–21 |
10 |
–14 |
2) |
|
|
|
–2 |
1 |
5 |
5 |
–3 |
6 |
3) |
|
|
III |
1 |
|
|
45/11 |
7/11 |
4/11 |
67/11 |
|
|
|
1 |
|
–14/11 |
–21/11 |
10/11 |
–14/11 |
|
|
|
|
|
1 |
27/11 |
13/11 |
–13/11 |
38/11 |
|
Из
третьего шага таблицы видно, что система эквивалентна следующей:
Элементы
столбца третьей итерации есть координаты разложения
вектора по базису и запись (4) примет вид
.
Аналогично,
элементы столбцов 
в третьей итерации дают координаты
соответствующих векторов по тому же базису. Поэтому имеют место следующие
разложения:
;
;
;
;
.
Таким
же способом можно разложить векторы системы (3) по базисам
и 
.
§6.
Понятие о квадратичных формах.
1. Определение квадратичной формы.
Определение 1. Пусть
даны переменные 
,
принимающие любые действительные значения. Тогда выражение
, (1)
где 
– некоторые действительные числа, называется квадратичной
формой.
Определение 2.
Матрица
,
составленная из коэффициентов квадратичной формы (1), называется матрицей
квадратичной формы.
Так
как
,
где 
,
то коэффициенты и 
квадратичной формы можно считать равными, т.е.
.
(2)
В
силу (2) матрица квадратичной формы будет симметрической.
Пример
1.
Записать матрицу квадратичной формы
.
Решение. Имеем
– матрица квадратичной формы.
Определение 3.
Квадратичная форма 
называется канонической, если она имеет
вид
. (3)
2.
Линейное
преобразование квадратичной формы.
Пусть
дана квадратичная форма (1). Перейдем в ней от переменных к переменным 
по формулам:
(4)
Подставляя
значения (4) в (1), получим новую квадратичную форму 
n переменных .
Тогда будем говорить, что квадратичная форма 
переводится в квадратичную форму линейным преобразованием (4).
Оказывается,
что для любой квадратичной формы (1) существует линейное преобразование (4),
которое переводит ее к каноническому виду 
3. Знакоопределенность квадратичной
формы.
Определение 4.
Квадратичная форма (1) называется положительно (отрицательно) определенной,
если линейным преобразованием она приводится к следующему каноническому виду:
, 
.
Положительно определенные и отрицательно
определенные квадратичные формы называют знакоопределенными квадратичными формами.
Определение 5. Угловым
минором k–го порядка матрицы A квадратичной формы (1) называется минор,
составленный из элементов матрицы A, стоящих на пересечении ее первых k строк и
k столбцов.
Например,
миноры
, 
,
–
угловые
миноры соответственно 1-го, 2-го и 3-го порядков. Угловой минор порядка n 
.
В
приложениях часто возникает необходимость установления знакоопределенности
квадратичных форм. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1.
Квадратичная форма является положительно определенной тогда и
только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой
системе значений переменных .
Теорема 2.
Квадратичная форма является положительно определенной тогда и
только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы A положительны.
Теорема 3.
Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и
только тогда, когда все угловые миноры четного порядка ее матрицы A
положительны, а нечетного порядка – отрицательны.
Пример
2.
Проверить знакоопределенность квадратичной формы
.
Решение. Легко
проверить, что
–
матрица
данной квадратичной формы. Угловые миноры этой матрицы положительны:
; 
;
.
Поэтому
квадратичная форма является положительно определенной.