ЛЕКЦИЯ 3. п.3. Система m линейных уравнений с n неизвест- 
                                  ными.

 

1. Теорема Кронекера-Капелли.

 

Часто возникает необходимость, не решая системы линейных уравнений, установить ее совместность, несовместность, определенность и неопределенность. Это можно сделать с помощью теоремы Кронекера-Капелли, которая приводится ниже без доказательства.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

                                          (1)

Рассмотрим матрицы A и B, составленные из коэффициентов уравнений системы (1):

, .

Матрица A называется главной матрицей, B – расширенной матрицей системы (1).

Теорема (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее главной матрицы был равен рангу расширенной матрицы, т.е. .

Рассмотрим возможные случаи.

1.    Пусть . Тогда система (1) несовместна, что следует из приведенной теоремы Кронекера-Капелли.

2.    Пусть . Не умаляя общности, положим, что минор

.                                       (2)

Тогда первые r строк матриц A и B являются самостоятельными: а все остальные строки – их линейными комбинациями. Это означает, что в системе (1) r первых уравнений являются самостоятельными, а остальные m-r уравнений можно элементарными преобразованиями обратить в равенства вида 0=0 и отбросить. Отсюда следует, что система (1) совместна и эквивалентна следующей:

                   

Минор (2) называется базисным минором матрицы A, а соответствующие ему неизвестные  системы (1) – базисными неизвестными, остальные неизвестные  – свободными.

Возможны два случая.

а)    Ранг главной матрицы . В этом случае система  состоит из n уравнений с n неизвестными и главным определителем . Поэтому она (и ей эквивалентная система (1)) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

б)   Пусть . Тогда уравнения системы  кроме базисных содержат еще и свободные неизвестные . Все члены со свободными неизвестными перенесем в правые части уравнений.

Получим

                               

Главный определитель системы  . Следовательно, придавая свободным неизвестным некоторые значения , можно найти по правилу Крамера значения для базисных неизвестных . Тогда система чисел , будет решением системы , а вместе с тем и системы (1). Обозначим это решение системы через

.

В частности, если полагать, что свободные неизвестные , и решить систему , то получим другое ее решение , которое называется базисным решением системы  или системы (1).

Свободные неизвестные системы  могут принимать бесконечное множество значений. Следовательно, система уравнений  (или (1)) при r<n будет иметь бесконечное множество решений, т.е. будет совместной и неопределенной.

Замечание. Базисные неизвестные, как указано выше, определяются базисным минором. Если в качестве базисного минора матрицы A взять другой минор , то базисные и свободные неизвестные будут соответственно другими. Различным базисным неизвестным будут соответствовать различные базисные решения.*)

2. Метод Жордана-Гаусса.

 

С помощью правила Крамера можно решить только системы n линейных уравнений с n неизвестными, притом, только в случае, когда главный определитель системы отличен от нуля. В остальных случаях к решению систем линейных уравнений правило Крамера не применимо.

Рассмотрим более общий метод, который применим к решению систем с любым конечным числом уравнений и неизвестных. Этот метод называется методом Жордана-Гаусса или методом последовательных исключений. Сущность его заключается в том, что элементарными преобразованиями исходная система уравнений приводится к эквивалентной системе уравнений более простого вида, из которой станет очевидным совместность, несовместность, определенность и неопределенность данной системы, а в случае совместности легко найти и ее решение.

Дадим краткое содержание и алгоритм метода.

Пусть имеем рассмотренную выше систему m уравнений с n неизвестными:

                                         (1)

1-й шаг. В первом уравнении системы (1) возьмем неравный нулю коэффициент (пусть таковым является, например, ) и назовем его ведущим или разрешающим коэффициентом. Обе части этого уравнения разделим на  и обратим коэффициент при  в единицу. Тогда первое уравнение системы примет вид:

.                                     (3)

Далее элементарными преобразованиями коэффициенты при  в остальных уравнениях системы обратим в нули: обе части полученного уравнения (3) последовательно умножим на  и прибавим ко второму уравнению, умножим на  и прибавим к третьему уравнению и т.д., умножим на   и прибавим к последнему уравнению системы.

Произведенные преобразования коэффициентов системы (1) называются преобразованиями последовательных исключений (в нашем случае коэффициентов первого столбца). В результате система (1) перейдет в эквивалентную систему следующего вида:

                          (1)1

где столбец коэффициентов при  стал единичным (т.е. один из коэффициентов при  стал равным единице, а остальные - нулю).

2-й шаг. Намечают разрешающий коэффициент во втором уравнении системы (1)1, например, пусть , обращают его в единицу, а в остальных уравнениях коэффициенты при  элементарными преобразованиями обращают в нули. В результате столбец коэффициентов системы (1)1 при  тоже станет единичным.

Так поступают после каждого шага с очередным уравнением.

Пусть система (1) совместна, ранг ее главной матрицы равен r и минор

 –

 – ее базисный минор. Если в качестве разрешающих коэффициентов в последовательности преобразований были выбраны , то система (1) после r шагов перейдет в эквивалентную систему вида

                           (1)2

в которой r первых столбцов коэффициентов стали единичными.

Как было отмечено выше, в результате преобразований системы (1) по методу Жордана-Гаусса будет видно, какой из рассмотренных в анализе теоремы Кронекера-Капелли случаев (; или r<n) имеет место. Например, если система (1) несовместна, то мы получим эквивалентную систему, в которой содержится неверное равенство.

Определение 1. Неизвестное  в системе линейных уравнений называется разрешенным, если оно содержится только в одном из уравнений системы, причем с коэффициентом, равным единице, а в остальных уравнениях оно не содержится.

Определение 2. Если каждое уравнение системы имеет свое разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной.

Определение 3. Совокупность неизвестных  называется набором разрешенных неизвестных данной системы линейных уравнений, если каждое неизвестное  , является разрешенным и каждое уравнение данной системы содержит ровно одно неизвестное из набора .

Разрешенные неизвестные совпадают с базисными и соответствуют базисному  минору системы. Другие неизвестные, не входящие в набор разрешенных, являются свободными неизвестными.

Например, система (1)2 является разрешенной системой, в ней  являются разрешенными, а  – свободными неизвестными.

Определение 4. Общим решением системы линейных уравнений (1) называется равносильная ей разрешенная система.

Следовательно, запись (1)2 есть общее решение системы (1).

Обычно в общем решении базисные (разрешенные) неизвестные оставляют в левых частях уравнений, а свободные неизвестные переносят в правые части. Например, если систему (1)2 перепишем в виде

                                         

то получим окончательную запись общего решения системы (1).

Придавая в  свободным неизвестным различные значения, мы получим различные частные решения системы (1). В частности, если положим в  свободные неизвестные , то получим базисное решение .

Изложенный метод Жордана-Гаусса рассмотрим на одном примере.

Пример 1. Применяя метод Жордана-Гаусса, найти общее и несколько частных решений системы уравнений:

                                        (4)

Решение. 1-й шаг. Коэффициент  первого уравнения примем в качестве разрешающего или ведущего. (Можно было взять и любой другой отличный от нуля коэффициент первого уравнения). Умножим первое уравнение системы (4) последовательно на –2, –3 и –1 и прибавим результаты соответственно ко второму, третьему и четвертому уравнениям. Сказанное схематически запишем так: 1) ;  2) ;  3) .

В результате получим эквивалентную (4) систему:

                                      (4)1

Таким образом, в записи системы (4)1 переменная  стала разрешенной.

2-й шаг. На втором шаге для уменьшения вычислений в качестве разрешающего возьмем коэффициент . Преобразуем систему (4)1 по схеме:

1) ;  2) ; 3) .

Получим:

                                             

В результате переменная  стала разрешенной. Далее произведем следующие преобразования: отбросим третье уравнение системы  как повторяющееся; сократим второе уравнение на 7 и переставим его местами с четвертым уравнением. Получим систему трех уравнений, эквивалентную системе (4):

                                         

3-й шаг. Систему  преобразуем следующим образом: 1) ;  2) . получим разрешенную систему трех уравнений, эквивалентную системе (4):

                                              (4)2

Здесь x1, x2, x3 -базисные (разрешенные), а x4, x5 - свободные неизвестные. Перепишем систему (4)2 в виде

                                                  

Запись  (или (4)2) дает общее решение системы (4). Придавая в ней переменным x4 и x5 различные значения, получим различные частные решения системы (4). Например: 1) пусть , ;    , , ;     – базисное решение системы (4); 2) пусть , ;    , , ;     – частное решение системы (4); 3) пусть , ;    , , ;     - другое частное решение системы (4) и .т.д.

Так можно получить сколько угодно решений системы (4). Следовательно, система (4) совместна и неопределенна.

 

3. Симплексные таблицы.

 

Приведенные выше преобразования системы (4) можно реализовать используя только коэффициенты системы и записывая их в таблицу с контрольным столбцом. Эта таблица называется симплексной таблицей и приводится ниже.

В таблице 1 разрешающие элементы отмечены квадратиками. Столбец со знаком  служит для контроля вычислений. Для исходной системы этот столбец заполняется суммами коэффициентов соответствующих строк. Например, для первой строки таблицы имеем: 1+2+1+3+8+7=22.

При последующих преобразованиях, если вычисления произведены правильно, эти равенства должны сохранятся. Например, для восьмой строки имеем: 1+2–1+8+7=17, т.е. 17=17.

 

 

№№ итер.

 x1

 x2

x3

x4

x5

bi

преобразования

Исходная система

1

2

1

3

8

7

22

I(–2)+II

2

–1

–1

4

-3

0

1

I(–3)+III

3

2

2

6

13

14

40

I(–1)+IV

1

3

3

2

16

14

39

 

I

1

2

1

3

8

7

22

IV(–2)+I

0

–5

–3

–2

–19

–14

–43

IV5+II

0

–4

–1

–3

–11

–7

–26

IV4+III

0

1

2

–1

8

7

17

 

II

1

0

–3

5

–8

–7

–12

III–отбросим

0

0

7

–7

21

21

42

II(1/7)=II'

0

0

7

–7

21

21

42

II'IV

0

1

2

–1

8

7

17

 

III

1

0

–3

5

–8

–7

–12

III3+I

0

1

2

–1

8

7

17

III(–2)+II

0

0

1

–1

3

3

6

 

IV

1

0

0

2

1

2

6

 

0

1

0

1

2

1

5

 

0

0

1

–1

3

3

6

 

Таблица 1.

 

Как видно из таблицы, на IV-м шаге получены коэффициенты разрешенной системы (4)2. Выписав по ним системы(4)2  и , дальше получают, как и выше, базисные и другие частные решения системы (4).

 

п.4. Однородные системы линейных уравнений.

 

Пусть имеем систему линейных однородных уравнений:

Как было отмечено в п.1. , однородная система (1) всегда совместна, так как ранг ее главной матрицы A равен рангу расширенной матрицы B, т.е.. Решением системы (1) по крайней мере является x1=0, x2=0,…, xn=0.

Пусть ранг главной матрицы системы (1) . Тогда в силу теоремы Кронекера-Капелли будем иметь:

1) если r=n, где n - число неизвестных, то система (1) имеет единственное решение x1=0, x2=0,…, xn=0;

2) если же r<n, то имеем r базисных неизвестных и n–r свободных неизвестных, и система (1) будет иметь бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему:

Решение. Ранг главной матрицы A системы равен трем, т.к. минор третьего порядка M3, совпадающий с главным определителем системы, отличен от нуля:

.

Следовательно,  - числу неизвестных и система имеет единственное решение x1=0, x2=0, x3=0.

Пример 2. Решить систему

Решение. Составим главную матрицу системы и найдем ее ранг:

.

Очевидно, что r(A)<3. Но существует неравный нулю минор второго порядка матрицы A:

.

Следовательно,  и имеем случай r<n. Значит, число базисных неизвестных равно двум, свободных – единице и система имеет бесконечное множество решений. Указанный выше минор  матрицы A возьмем в качестве базисного. Тогда x1,x2 будут базисными, а x3 – свободной неизвестными  и данная система станет эквивалентной следующей:

Решим ее методом Жордана-Гаусса, преобразуя

  –

 общее решение исходной системы. Придавая x3 различные значения, отсюда мы получим ее различные частные решения.

 


*) Максимальное число различных базисов системы меньше или равно числу сочетаний , где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы и r факториал   .