ЛЕКЦИЯ 2. 4.Определители высших порядков.

Понятие определителя любого порядка n введем индуктивно, используя свойство 9) и полагая, что уже введено определение определителя порядка
n–1. При этом понятия миноров и алгебраических дополнений элементов определителя распространим на элементы определителей любого порядка.

Определение 7. Определителем порядка n, соответствующим квадратной матрице порядка n , называется число

где - элементы 1-й строки определителя, - их алгебраические дополнения, .

Итак, по определению

. (4)

В частности, из формул (4) при n=2 получаем формулу (1), при n=3 – формулу (3).

Для определителей порядка n остаются в силе все свойства 1)-12), сформулированные выше для определителей II и III порядков,. Поэтому с учетом свойства 9) определитель порядка n можно разложить по элементам любой строки i или любого столбца :

Пример 5. Вычислить определитель 5-го порядка

Решение. Определитель разложим по элементам 5-й строки, содержащей три нуля:

п.3. Ранг матрицы.

1. Определения.

Определение 1. Минором r-го порядка матрицы называется определитель r-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных r строк и r столбцов матрицы A. Минор r-го порядка матрицы обозначается через .

Очевидно, что и . Любой элемент матрицы можно рассматривать как минор первого порядка. Если матрица нулевая, то все ее миноры равны нулю.

Пример. Пусть дана матрица

Тогда

, , –

– некоторые миноры матрицы A соответственно I,II и III порядков.

Определение 2. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы A обозначается через .

Найдем, например, ранг рассмотренной выше матрицы A.

Третья строка матрицы A есть сумма первых двух строк. Поэтому все миноры третьего порядка матрицы равны нулю. Отсюда следует, что . Но, как показано, существует минор второго порядка . Следовательно, .

Определение 3. Матрицы A и B называются эквивалентными, если . В этом случае пишут .

Пусть, например, даны матрицы

и .

Легко проверить, что и . Следовательно, A~B.

2. Вычисление ранга матрицы.

При вычислении ранга матрицы существенную роль играют элементарные преобразования матрицы.

Определение 4. Элементарными преобразованиями матрицы A называются:

1) умножение элементов строки (столбца) матрицы на любое число ;

2) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов ее другой строки (столбца), предварительно умножив их на некоторое число;

3) перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы.

Теорема 1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2. При транспонировании ранг матрицы не изменяется.

Теорема 3. Если какой-нибудь минор r-го порядка матрицы A , а все миноры порядка r+1, окаймляющие (т.е. содержащие) его, равны нулю, то .

Доказательства теорем 1 и 2 следуют из свойств определителей.

Замечание 1. Если строка (столбец) матрицы A является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), то с помощью элементарных преобразований такую строку (столбец) можно заменить нулевой и, следовательно, отбросить. От этого ранг матрицы не изменится.

Замечание 2. Если , то в матрице A максимальное число самостоятельных строк (столбцов) равно r. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями тех строк (столбцов), из которых составлен минор . От них можно избавиться как указано в замечании 1.

Пример. Вычислить ранг матрицы

Решение. Произведем следующие элементарные преобразования: 4-ю и 5 - строки матрицы A сократим соответственно на 2 и 3, получим матрицу B~A; в матрице B 4-ю и 5-ю строки обратим в нули, прибавим к ним первую, умноженную на –1, получим матрицу C~B; в матрице C отбросим последние две нулевые строки – получим матрицу D~C:

Ранг матрицы D , т.к. число ее строк равно трем. Вычислим минор III порядка

*).

Так как A~D,то отсюда следует, что

Те миноры, которые дают ранг матрицы, называются базисными минорами матрицы. Одна и та же матрица может иметь несколько базисных миноров.

п.4. Обратная матрица.

Определение 1. Квадратная матрица порядка n называется вырожденной (особенной), если , невырожденной (неособенной), если .

Определение 2. Матрица B называется обратной матрицей для данной квадратной матрицы A, если выполняются условия

AB=E и BA=E, (1)

где E -единичная матрица.

Обратная матрица для данной матрицы A обозначается символом A^–1, поэтому равенства (1) можно переписать так:

и . (1)´

Теорема. Если матрица A невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица.

Доказательство. В матрице A каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением . Полученную матрицу транспонируем и последнюю обозначим через A*. Матрица A* называется матрицей, присоединенной к матрице A.

Найдем произведение матриц A и A^*:

Если принимать во внимание свойства 9) и 11) определителей, то увидим, что все диагональные элементы произведения этих матриц , , а остальные элементы .

Следовательно, получим

. (2)

Аналогично доказывается, что

. (2)^/

Из (2) и (2)^/ имеем:

Разделив обе части последнего равенства на число , получим:

. (3)

Из (3) следует, что матрица является обратной для матрицы A. Следовательно, существование обратной матрицы доказано.

Докажем ее единственность. Пусть - другая матрица, обратная к A.

Тогда . Отсюда будем иметь:

Замечание. Вырожденная матрица не имеет обратной.

Из доказанной теоремы получаем следующую схему нахождения матрицы , обратной к матрице A.

1) Для матрицы A находят . Если ,то обратная матрица для A существует; если ,то не существует. Пусть .

2) Находят алгебраические дополнения элементов матрицы A и составляют присоединенную матрицу A^*.

3) Далее составляют матрицу , которая будет обратной для данной матрицы A.

4) Проверка: если все вычисления произведены правильно, то должны выполняться равенства (1)'.

Пример. Найти матрицу, обратную для данной матрицы

Решение. 1) Вычислим :

2) Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

; ; ;

; ; .

Следовательно, присоединенная матрица A^* имеет вид:

3) Тогда обратной матрицей для A будет матрица

4) Легко проверить, что для данной матрицы A и найденной матрицы A^–1 равенства (1)´ выполняются. (Проверьте!).

Замечание. В заключении отметим, что справедливо следующее очевидное равенство:

§2. Системы линейных уравнений.

п.1. Основные определения.

Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(1)

где , - некоторые постоянные числа .

Числа называются коэффициентами, - свободными членами системы.

Если все свободные члены системы (1) равны нулю, то получим систему

(2)

которая называется линейной однородной. Система (2) является частным случаем системы (1).

Определение 2. Решением системы (1) называется любая совокупность n чисел , при подстановке которых соответственно вместо каждое уравнение системы (1) обращается в верное равенство.

Определение 3. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, -несовместной.

Отметим, что однородная система (2) всегда совместна, так как она имеет нулевое решение , ,…, .

Определение 4. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, неопределенной, если имеет более одного решения.

Определение 5. Две системы линейных уравнений называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является решением другой и обратно, т.е. если множества их решений совпадают.

Любые две несовместные системы уравнений тоже считаются эквивалентными.

Определение 6. Следующие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными: 1) умножение уравнения системы на число ; 2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число; 3) перестановка местами двух уравнений системы.

Справедливо следующее

Утверждение. При элементарных преобразованиях данная система линейных алгебраических уравнений всегда переходит в эквивалентную.

п.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.

Правило Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Покажем, как применяются определители к решению таких систем. Для этого рассмотрим определители , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), и , полученный заменой в определителе k-го столбца свободными членами :

, .

Определитель называется главным определителем, а – вспомогательными определителями системы (1).

Справедлива следующая теорема, которая называется правилом Крамера.

Теорема. Если главный определитель системы (1) отличен от нуля, то она совместна и имеет единственное решение:

, ,…, .

Доказательство. К системе (1) применим элементарные преобразования: умножим первое уравнение системы (1) на , т.е. на алгебраическое дополнение элемента , второе – на и т.д., n-е – на и полученные уравнения сложим. Тогда будем иметь

В полученном уравнении коэффициент при равен , коэффициенты при всех остальных неизвестных в силу свойства 11 определителей (§1, п.2.) равны нулю, а правая часть этого уравнения есть вспомогательный определитель .