ЛЕКЦИЯ 16. п. 3. Достаточные условия существования
экстремума
Теорема 1. (I правило). Пусть
функция 
дифференцируема
в некоторой окрестности 
критической
точки 
кроме, быть
может, самой точки . Тогда, если при переходе критической точки (слева
направо) производная 
меняет свой
знак с плюса на минус, то в точке функция имеет
максимум; если с минуса на плюс, то –
минимум; если не меняет знака, то в точке функция не
имеет экстремума.
Доказательство. Пусть
для определенности 
и 
. Тогда в силу теоремы п.1 о достаточных условиях
монотонности функции будем иметь: 
и 
, т.е. 
, 
. А это означает, что – точка максимума.
Аналогично доказывается, что
если и , то в точке функция имеет
минимум.
В случае, когда производная при переходе
критической точки не меняет своего знака, в окрестности точки функция в силу
упомянутой выше теоремы либо монотонно возрастает, либо убывает. Поэтому в точке
функция не
имеет экстремума.
Пример
1.
Исследовать на экстремум и найти участки возрастания, убывания функции 
.
Решение. Так
как 
, то критическими точками, где 
, будут точки 
, 
.
Легко видеть, что 
и 
.
Следовательно, функция
возрастает в промежутках 
и 
, а в промежутке 
– убывает.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
– |
min |
|
Таблица 1.
Для наглядности составлена
таблица 1. Очевидно, что в точке 
функция имеет
максимум 
, а в точке 
– минимум 
.
Достаточные условия
существования экстремума можно выразить и с помощью второй производной.
Теорема 2. (II правило). Пусть
функция в точке дважды
дифференцируема, причем 
, а 
. Тогда; если 
, то – точка
максимума; если 
, то – точка минимума.
Доказательство. Пусть
и 
. Тогда в силу замечания к теореме о достаточных
условиях монотонности функции производная есть
возрастающая функция в малой окрестности точки .
Поэтому будем иметь
, если 
и
, если 
.
Таким образом, при переходе
критической точки первая производная
меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в силу теоремы 1 функция в точке имеет минимум.
Замечание. Если 
, то вопрос остается открытым и для его решения надо применить
первое правило или привлечь производные более высоких порядков.
Пример
2.
Найти экстремум рассмотренной выше функции
, применяя второе правило.
Решение. Имеем
; , – стационарные
точки; 
.
1) : 
, 
, 
– точка максимума;
2) : 
, 
, 
– точка минимума.
Как
видно, результат совпадает с тем, что было получено выше.
п. 4. Направление
выпуклости, точки перегиба.
Определение 1.
График дифференцируемой функции 
называется выпуклым вниз (выпуклым) на 
, если он расположен целиком выше любой касательной к
графику функции на (рис. 1).
Определение 2.
График дифференцируемой функции называется вогнутым вниз (вогнутым) на , если он расположен целиком ниже любой касательной к
графику функции на (рис. 2).
Определение
3.
Функция, график которой на интервале выпуклый
(вогнутой) вниз, называется выпуклой
(вогнутой) на функцией.
Вогнутую функцию называют и выпуклой вверх.
Определение
4.
Точкой перегиба графика функции
называется такая его точка М0, в которой выпуклость графика переходит
в вогнутость или наоборот (рис. 3).
Теорема
1.
Пусть функция дважды
дифференцируема в промежутке . Если 
, то график функции является выпуклым (вогнутым) в
данном промежутке.
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда на . Пусть 
– произвольная фиксированная точка интервала, а 
– некоторая новая точка. Для определенности пусть 
(при 
все рассуждения
будут аналогичными).
В точке 
проведем
касательную к графику (рис. 4) и покажем, что имеет место неравенство
. (1)
Как следует
из геометрического смысла дифференциала, это будет означать, что кривая
расположена выше касательной, т. е. график функции выпуклый на .
Так как 
, то для функции на 
выполняются все
условия теоремы Лагранжа (§5, п. 1), поэтому можем писать
,
(2)
Очевидно,
что при точка
.
Рассмотрим
теперь разность
Применяя
к разности 
еще раз теорему Лагранжа получим
, 
.
Отсюда
в силу того, что на , получим , что и требовалось доказать.
Второе
утверждение теоремы доказывается аналогично.
Теорема
2.
Если в точке вторая
производная функции обращается в
нуль и меняет свой знак при переходе через нее, то – точка перегиба графика этой функции.
Доказательство. Пусть
и для
определенности положим, что при и 
при . Тогда в силу теоремы 1 слева от точки график функции
выпуклый, а справа – вогнутый. Следовательно, по определению точка является точкой
перегиба.
Другой
возможный случай теоремы доказывается аналогично.
Пример. Найти
интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции 
.
Решение. Имеем:
; 
и 
при . Очевидно, что при 
и при 
. Следовательно, график функции вогнутый в промежутке 
и выпуклый при 
, и так как 
, то в точке 
график функции
имеет перегиб.
п. 5. Асимптоты графика функции.
Определение 1.
Прямая 
называется асимптотой кривой 
, если расстояние 
от точки 
кривой до
прямой стремится к нулю
при бесконечном удалении точки от начала
координат вдоль кривой (рис. 1)
Определение
2.
Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика
функции при 
(
) (см. рис.
2), если
(
).
Определение 3.
Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции
, если хотя бы один из пределов 
, 
равен
бесконечности (рис. 2).
Определение
4.
Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции при () если эта
функция представима в виде 
, где 
при ().
Нетрудно
установить, что график функции при имеет наклонную
асимптоту тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела 
, 
.
(Утверждение
остается в силе и в случае ).
Пример 1. Для
функции 
прямая 
является
вертикальной асимптотой, так как 
; а прямая 
является
горизонтальной асимптотой, так как 
.
Пример 2. Найти
асимптоты графика функции 
.
Решение. 1)
Прямая является
вертикальной асимптотой, так как
.
2)
Поскольку 
и 
, то прямая 
является
наклонной асимптотой графика данной функции.
п. 6. Исследование функции и
построение их графиков.
Исследование
функций и построение их графиков проводят примерно по следующей схеме:
1) находят
точки разрыва и область определения функции и изучают ее поведение на концах
области определения;
2) определяют
четность, нечетность и периодичность функции;
3) находят
точки пересечения графика функции с осями координат;
4) находят точки экстремумов и промежутки возрастания,
убывания функции;
5) находят
промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика;
6) находят
асимптоты графика функции.
С учетом полученных результатов строят график.
Пример.
Исследовать функцию 
и построить ее
график.
Решение. 1)
Область определения функции 
.
Исследуем поведение функции на концах области
определения:
а) 
;
(
горизонтальных асимптот график не имеет);
б) 
(
–вертикальная асимптота).
2) Легко проверить, что функция не будет ни
четной и ни нечетной.
3) График функции с осью Ох не пересекается,
так как
.
Если
, то 
, 
– точка пересечения графика с осью Оy
1) Найдем
производную и критические точки:
.
Из уравнения
получаем две
критические точки:
; .
|
Легко
проверить, что производная Также нетрудно убедиться, что |
|
Таблица
1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возр. |
0 max
|
– убывает |
– убывает |
0 min
|
+ возр. |
5)
Найдем вторую производную: 
, график функции
не имеет точек перегиба; при 
, график функции
вогнутый при ; при 
, график функции выпуклый при .
6) В
пункте 1) было отмечено, что график функции имеет вертикальную асимптоту . Поскольку
и 
, то отсюда следует, что график функции имеет и
наклонную асимптоту 
.
Полученные данные записаны в
таблицу 1 и с учетом проведенного исследования построен график функции (рис.
1).
п. 7. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции.
Напоминаем, что
наибольшим (наименьшим) значением функции , определенной на множестве 
, называется такое значение 
, 
, что
.
Наибольшее и
наименьшее значения функции на множестве называют также
соответственно глобальным максимумом
и глобальным минимумом, а вместе–глобальными экстремумами функции.
Пусть функция непрерывна на
отрезке 
. Тогда, как известно, функция принимает на этом
отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
Чтобы найти наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке
, надо: 1) найти критические точки; 2) найти значения
функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих промежутку [a:b];
3) выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции 
на отрезке 
.
Решение. 1) Найдем производную: 
; из уравнения 
получим две
критические точки 
и 
, которые принадлежат отрезку 
.
2) Найдем значения
функции в точках 
:
;
;
;
;
3)
Сравнивая полученные значения, видим, что 
– наименьшее, 
– наибольшее
значения данной функции на отрезке .
п. 8. Некоторые
приложения к экономическим и другим задачам.
Полученные
выше результаты исследования функций с помощью производных имеют многочисленные
приложения к решению ряда задач, возникающих в математике, физике, химии,
технических и других науках, в экономике и в повседневной жизни.
Особенно
это касается задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функций.
Общая схема решения таких задач состоит в следующем.
Сначала
устанавливают функциональную зависимость между
рассматриваемыми переменными величинами 
и 
; далее по условиям задачи определяют промежуток изменения
аргумента , а после находят наибольшее и наименьшее значения
полученной функции.
Задача 1. Найти
наименьшее значение суммы двух положительных чисел, произведение которых
постоянно и равно 
.
Решение. Обозначим
искомые положительные числа через и .
По
условию задачи получим систему:
Следовательно,
имеем функцию
,
по смыслу
задачи определенную в интервале 
, и надо найти ее наименьшее значение. Для этого
найдем производную и критические точки: 
,
, 
, 
–критические точки. Точка 
; относительно второй критической точки производная
ведет себя так: 
слева
от критической точки в интервале 
функция 
убывает, а справа – в интервале 
– возрастает. Следовательно, в точке функция имеет
минимум, который совпадает, очевидно, с ее наименьшим значением на 
.
Итак,
искомые числа 
, 
.
Значение
– наименьшее значение функции.
Задача 2.
Строится одноэтажное здание с прямоугольным основанием периметра 
. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы
площадь основания была наибольшей?
Решение.
Обозначим стороны основания здания через и . С учетом условий задачи получим следующую систему:
, 
.
Следовательно,
имеем функцию, выражающую площадь основания:
, .
Найдем ее производную и
критические точки: 
, 
– критическая точка. Найдем значение 
в точках
: 
; 
; 
.
Отсюда
видно, что – наибольшая
площадь основания.
При
этом принимает
значение 
.
Таким образом, получаем, что площадь основания здания
будет наибольшей, если оно имеет размеры 
и 
, т. е. является квадратом со стороной .
Задача 3. При
каком соотношении между радиусом основания и высотой цилиндр данного объема
будет иметь наименьшую полную поверхность?.
Решение. Пусть
–радиус основания, 
–высота, 
– объем и 
– полная поверхность цилиндра.
Рассмотрим
систему
.
Следовательно, имеем функцию 
, 
и найдем ее наименьшее значение. Для этого найдем производную 
и критические
точки:
; 
– критическая
точка. Легко проверить, что 
при 
и 
при 
.
Отсюда видно, что при радиусе 
функция 
имеет минимум, который
совпадает, очевидно, с наименьшим значением функции на .
Найдем
соответствующую высоту ::
.
Итак,
полная поверхность цилиндра данного объема 
будет иметь наименьшее
значение, если радиус его основания 
, а высота 
.
Замечание:
Аналогичные задачи на практике возникают очень часто.
Например, задача об экономически выгодных
размерах (при заданном объеме ) различных консервных банок, цистерн, резервуаров и
других емкостей цилиндрической формы относятся именно к таким задачам.
Экономическая выгода от применения полученного результата здесь очевидна.