ЛЕКЦИЯ 15. §5. Некоторые теоремы о дифференцируемых

функциях (Теоремы Ферма, Роля и Лагранжа)

Теорема 1. (Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке имеет наибольшее (или наименьшее) значение. Тогда, если в точке существует производная , то .

Доказательство. Пусть для определенности в точке функция имеет наибольшее значение. Тогда выполняется неравенство и

. (рис 1.)

N

Поэтому при (т.е. при ) и, следовательно,

;

если же (тогда ), то и, следовательно,

.

Так как по условию в точке производная существует, то должно выполнятся равенство , что возможно только тогда, когда . Следовательно, .

Теорема доказывается аналогично, если в точке функция имеет наименьшее значение.

Геометрически доказанная теорема означает, что при выполнении ее условий в точке , где функция имеет наибольшее (или наименьшее) значения, касательная к графику будет параллельна оси (рис. 1 и рис. 2).

Теорема 2. (Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и . Тогда существует хотя бы одна точка . такая, что (рис. 2).

Доказательство. Непрерывная на отрезке функция принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения и .

Возможны два случая: 1) ; 2) .

1) В первом случае , поэтому производная и в качестве точки можно взять любую точку .

2) Во втором случае, в силу равенства и свойств непрерывных функций, хотя бы одно из значений и будет приниматься во внутренней точке отрезка , т.е. в точке такой, что . Тогда по теореме Ферма .

Теорема 3. (Лагранжа). Если непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то существует хотя бы одна точка такая, что

(1) или .

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

. (2)

Очевидно, что функция непрерывна на отрезке дифференцируема в промежутке (так как таковыми являются функции и ), ее производная

,

и на концах отрезка функция принимает равные значения .

Следовательно, по теореме Ролля найдется такая точка , что , т.е.

, , .

Теорема доказана.

Формулы (1), (1)' называются формулами конечных приращений.

Рассмотрим формулу (1). В ее правой части имеем угловой коэффициент касательной , проведенной к графику функции в точке (рис. 3), а в левой части – угловой коэффициент хорды , соединяющей точки графика и . Так как эти коэффициенты равны, то геометрически теорема Лагранжа означает, что если график функции в каждой точке имеет касательную, то найдется хотя бы одна точка графика, в которой касательная будет параллельна хорде .

Из теоремы Лагранжа вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка , то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Пусть , – фиксированная и х – произвольная точки из . По теореме Лагранжа имеем:

, .

Так как , то , , .

Следствие 2. Если две функции и имеют равные производные в некотором промежутке , то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.

Доказательство. Пусть . Тогда и по следствию 1 . Следовательно, .

§6. Применение производной для исследования
динамики функции.

п. 1. Признак монотонности функции.

Теорема. (Достаточные условия возрастания и убывания функции).

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) в промежутке , то она возрастает (убывает) в этом промежутке.

Доказательство. 1) Пусть и , – две произвольные точки из ; будем полагать, что . Тогда на отрезке выполнятся все условия теоремы Лагранжа, в силу которой имеем

, . (1)

Так как и , то . Поэтому и , , т. е. функция возрастает в .

2) Пусть . Тогда из равенства (1) следует, что , т.е. , когда . Это означает, что убывает в .

Замечание. Если в условиях теоремы () , то функция не убывает (не возрастает) в .

Пример. Найти участки возрастания и убывания функции

.

Решение. Имеем: , при и , следовательно, функция возрастает в интервалах и ; при , следовательно, функция убывает в интервале .

п.2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

Пусть функция определена в интервале и рассматриваемые ниже значения аргумента х не выходят за пределы этого промежутка.

Определение 1. Говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если найдется такая окрестность этой точки, что , .

На рис. 1 функция в точке , имеет максимум, а в точке – минимум.

Максимум и минимум функции называются экстремумами, а соответствующие им значения аргумента - точками экстремума функции.

Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер, т.е. они характеризуют поведение функции в малой окрестности точки. Поэтому их иногда называют локальными экстремумами.

Необходимое условие существования экстремума выражается следующей теоремой.

Теорема. В точке экстремума дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Доказательство. Пусть для определенности в точке функция имеет максимум. Тогда существует такая окрестность точки , что , . Следовательно, по теореме Ферма .

Аналогично доказывается теорема в случае, когда в точке имеет минимум

Геометрически доказанная теорема означает, что если – точка локального экстремума дифференцируемой функции , то в соответствующей точке касательная к графику параллельна оси (рис. 1).

Замечание1. Из установленной теоремы следует, что дифференцируемая функция может иметь экстремум только в тех точках, где . Но теорема дает лишь необходимое условие существования экстремума. Если , то отсюда еще не следует, что –точка экстремума.

Например, для функции производная обращается в нуль при . Однако не является точкой экстремума (рис. 2).

Замечание 2. Непрерывная функция может иметь экстремум еще в тех точках, где производная не существует, но функция сохраняет непрерывность.

Например, функция в точке не дифференцируема, а функция в точке не имеет конечной производной, но обе функции в указанной точке имеют минимум (рис.3 и 4).

Определение 2. Точки, в которых производная дифференцируемой функции равна нулю, называются стационарными точками.

Определение 3. Стационарные точки функции и точки, в которых функция не имеет конечной производной, но сохраняет непрерывность, называются критическими точками.

Из сказанного выше следует, что для определения точек экстремума функции надо найти ее критические точки и подвергать их дальнейшему исследованию.