____________

Пример. Найти производные следующих функций: 1) ,

2) , 3), 4) ; 5) .

Решение. По ходу решения примеров над равенствами в скобках укажем применяемые из обобщенной таблицы формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

п.3. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция имеет конечную производную в области , тогда является функцией от в этой области. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
Назовем производной 1-го порядка функции . Производная от производной 1-го порядка функции называется производной 2-го порядка этой функции.

Производная от производной 2-го порядка называется производной 3-го порядка и т.д., производная от производной – го порядка называется производной – го порядка. Эти производные обозначаются соответственно , , ,…, (или , ,…, ).

Пример1. Найти производные III порядка функции .

Решение. Представим в виде . Имеем ,

, .

Отметим, что если функция описывает закон движения материальной точки по прямой, то первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени , а вторая производная равна ускорению движущейся точки в этот момент.

Пусть функция имеет производные 1-го, 2-го, … n-го порядков. Тогда дифференциал называется дифференциалом 1-го порядка. Дифференциал от дифференциала 1-го порядка называется дифференциалом 2-го порядка, обозначается или .

Если – независимая переменная, то

, т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы 3-го, 4-го, … и т.д. n-го порядков, которые обозначаются соответственно через , ,…, (или ,,…, ).

Легко показать, что если х – независимая переменная, то справедливы формулы

, ,…, .

Пример 2. Найти дифференциал 2-го порядка функции .

Решение. Имеем: , ;

, .

§4. Применение понятия производной в экономике.

п.1. Экономический смысл производной.

Экономический смысл производной поясним на примерах.

1) Пусть предприятие выпускает некоторую продукцию . Обозначим через издержки, связанные с ее производством. Очевидно, что – функция от , т.е. .

Если количество продукции изменилось на , то издержки изменятся на . Тогда отношение

(1)

дает средний прирост издержек на единицу прироста продукции. Переходя в (1) к пределу при , получим:

. (2)

Предел (2) называется предельными издержками производства.

Таким образом, производная равна предельным издержкам производства. В этом и заключается экономический смысл производной.

Приведем пример. Пусть издержки производства некоторой продукции x определяются формулой .

Определить предельные издержки, если объем производства составляет: а) 6 единиц, б) 9 единиц продукции.

Решение. Очевидно, что производная данной функции .

Следовательно, и .

Смысл полученного результата заключается в следующем: если объем производства составляет 6 единиц продукции, то издержки по изготовлению очередной (7-й) единицы продукции составляют приближенно 60 условных единиц; при объеме производства 9 единиц издержки по изготовлению очередной (10-й) единицы составляют 55 условных единиц.

2) Аналогичным образом вводится понятие предельной выручки: если через мы обозначим выручку от продажи единиц товара, то

дает средний рост выручки на единицу прироста товара.

Переходя к пределу в (1)' при , получим:

Предел (2)' называется предельной выручкой.

3) Известно, что расход горючего автомобилем на 100 км довольно точно отражается параболой 2-го порядка. Пусть для некоторых условий движения ее уравнение есть

, (3)

где – скорость в км/ч; – расход горючего в литрах на 100 км.

Например, значения функции и

, вычисленные по формуле (3), показывают, что при скорости движения расход бензина на 100 км составляет 14 л, а при скорости уже 16,5 л.

Если скорость увеличить с км/ч на , т.е. до км/ч, то расход

горючего на 100 км увеличится на величину л. Тогда

дает средний прирост расхода горючего на 100 км на единицу прироста скорости (т.е. на 1 км/ч). Переходя к пределу в последнем равенстве при , получим точный результат:

Например, для функции (3) и значение

показывает, что увеличение скорости движения с до приведет к перерасходу горючего на 100 км в количестве 0,2 л (т.е. на 100 км потребуется 14,2 л горючего).
_________

п.2. Понятие эластичности функции и ее применение.

1. Эластичность функции.

Пусть дана функция , определенная и дифференцируемая на некотором множестве . Возьмем точку и дадим ей приращение . При этом функция получит приращение .

Определение 1. Отношения и называются соответственно относительными приращениями независимой переменной и зависимой переменной (функции) .

Отношение относительного приращения функции к относительному приращению аргумента составляет . Преобразуем это отношение к виду

и перейдем к пределу при . Тогда получим

Определение 2. Предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при (если он существует и конечен) называется эластичностью функции относительно переменной и обозначается .

Следовательно,

. (1)

Эластичность относительно есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%.

Пример. Найти эластичность функции y=(3/2)x²+4 в точке .

Решение. 1) .

2) Тогда эластичность для составляет .

Это означает, что если возрастает на 1%, то возрастает на 1,2%.

2. Эластичность спроса относительно цены.

Известно, что спрос на товар зависит от цены на него. Пусть эта зависимость задана в виде функции ( – спрос, – цена на товар). Тогда формула (1) будет выражать эластичность спроса относительно цены, т.е. будет определять как изменится спрос на данный товар, если цена возрастет на 1%.

Эластичность спроса обозначим через , тогда .

Пример 2. Если функция спроса есть , то

Например, если , то .

Это означает, что при цене 2 условных единиц повышение цены на 1% вызовет снижение спроса на 0,25%.

Замечание. Примеров экономического характера, где существенно используется понятие производной, можно привести достаточно много. К ним мы вернемся ниже еще раз при изложении вопросов исследования динамики функции.

п.3. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя применяется к раскрытию неопределенностей вида и.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Пусть далее и в указанной окрестности . Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедливо равенство: .

Теорему приводим без доказательства.

Замечание 1. Теорема верна и в случаях, когда , .
Замечание 2. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и , то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получим .

Замечание 3. Для раскрытия неопределенностей вида справедливо аналогичное доказанному утверждение, а именно: если в формулировке теоремы заменить требование на условие , , то теорема остается справедливой.

Замечание 4. Может оказаться, что предел отношения функций существует, а предел отношения производных не существует. В этом случае правило Лопиталя не применимо, и надо раскрыть неопределенность другим способом.

Замечание 5. Правило Лопиталя можно применить и к другим неопределенностям (напр., вида , , и т. д). Но для этого их надо предварительно преобразовать к неопределенностям вида или .