Глава
IV. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ И ЕЕ
ПРИМЕНЕНИЕ.
ЛЕКЦИЯ 13.
§1. Понятие производной функции в точке.
1. Определение производной.
Односторонние производные
Пусть
дана функция 
, определенная на множестве 
. Рассмотрим точку 
и зададим ей
произвольное приращение 
такое, что
полученная новая точка 
. Тогда функция получит приращение
.
Определение
1.
Если существует конечный предел отношения приращения 
функции 
в точке 
к
соответствующему приращению аргумента при 
, то его называют производной
функции 
в точке и обозначают
через 
, 
, 
, 
.
Итак,
. (1)
Если
для некоторой точки 
(или 
), то говорят, что функция в точке имеет бесконечную производную 
(или ).
Пример 1.
Пользуясь определением производной, найти производные функций 
, 
, 
, 
, 
.
Решение.
1)
Имеем: 
, где 
; 
,
, 
, т.е.,
если , то 
.
2)
Имеем: 
, 
,
, 
.
Следовательно,
если , то 
.
3)
Имеем: 
, 
,
,
т.е.,
если , то 
.
4) Имеем: 
, 
, 
,
=
, т.е., если , то 
.
5)
Имеем: 
, 
,
,
.
Следовательно,
если , то 
.
6)
Аналогично можно показать, что если , то 
.
2. Геометрический смысл производной.
Пусть
дана функция , определенная на множестве , кривая 
– ее график (рис. 1) и 
, 
–
значения функции соответственно в точках 
и 
. Через точки 
, 
проведем
секущую 
и обозначим
через 
угол наклона
секущей к оси 
.
Определение 2. Если
существует единственное предельное положение 
секущей при стремлении
точки 
по кривой к точке 
, то его называют касательной
графика функции в точке .
Пусть
кривая в точке имеет
касательную, непараллельную оси 
. Покажем, что ее угловой коэффициент 
равен значению
производной функции в точке т. е. 
.
Очевидно,
что угловой коэффициент секущей равен
и при 
приращения и стремятся к
нулю и угол 
.
По
условию в точке существует касательная.
Следовательно, существует и предел
(2)
Предел
левой части равенства (2) дает производную функции в точке , а в правой части получаем ее значение, равное
угловому коэффициенту касательной . Поэтому в точке существует
производная и справедливо равенство
.
Таким
образом, существование в точке касательной к
графику функции равносильно
существованию в точке производной 
, равной угловому коэффициенту касательной. В этом
заключается геометрический смысл
производной.
Уравнение
касательной в точке 
, где 
, запишется как уравнение прямой, проходящей через
данную точку в данном направлении, и имеет вид:
.
(3)
Пример 2.
Написать уравнение касательной к графику функции в точке 
.
Решение. Выше
было показано, что производная функции равна 
, следовательно, 
. Подставляя это значение производной и координаты
точки . в уравнение (3), получим:
, 
–
–
искомое уравнение касательной.
3. Физический смысл производной.
Пусть
есть путь,
пройденный материальной точкой при прямолинейном движении, где аргумент 
выступает в
роли времени. Тогда отношение 
дает среднюю
скорость движения точки на отрезке времени 
. Если перейдем в последнем равенстве к пределу при 
, то получим скорость точки в данный момент времени 
:
.
Отсюда
видим, что производная 
от пройденного
пути 
по аргументу дает скорость
движения материальной точки: 
.
В
этом заключается физический смысл
производной.
Вообще,
при изучении любых явлений природы с помощью производной можно оценить скорость
изменения связанных между собой величин.
Аналогичным
образом можно определить, например, скорость протекания химических реакций.
Определение
3.
Если в определении производной (1) 
(следовательно,
) и , то производная в точке называется производной слева и обозначается через 
; если же в (1) 
(следовательно 
) и , то производная в точке называется производной справа и обозначается через
.
Итак,
по определению:
;
.
Левая
и правая производные в точке называются односторонними производными.
Легко
установить, что существование производной в точке эквивалентно
существованию в этой точке равных между собой односторонних производных.
§2. Дифференцируемость и дифференциал
функции.
п.1. Понятие дифференцируемости
функции.
1. Дифференцируемость функции в точке.
Определение
1.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке
можно представить в виде
,
(1)
где 
– некоторое
число, не зависящее от , 
– функция
аргумента такая, что 
при .
Теорема
1.
Для того, чтобы функция была
дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке
имела конечную производную . Тогда формула (1) запишется в виде
.
(2)
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема
в точке . Следовательно, ее приращение в этой точке можно
представить в виде (1), откуда, разделив обе части равенства на и переходя к
пределу при , получим:
, 
.
Отсюда
видно, что в точке производная существует и 
. Следовательно, справедлива и формула (2).
Достаточность. Пусть
в точке существует
конечная производная , т.е. 
. Тогда в силу теоремы 4 п.3 §3 гл. III, переменную 
можно
представить в виде 
, (3)
где при . Из последнего равенства имеем:
,
где 
не зависит от . Получено представление (1), тем самым доказано, что дифференцируема
в точке .
Замечание. Из доказанной
теоремы, видно, что существование конечной производной в точке и
дифференцируемость функции в точке эквивалентны.
Поэтому, если функция 
в точке имеет конечную
производную, то говорят, что функция дифференцируема в точке .
Если
функция имеет производную в каждой точке некоторого множества , то она называется дифференцируемой на множестве .
Например,
рассмотренные в п.1 функции 
, 
, 
, 
, 
, дифференцируемые на всей числовой оси, т.е.
на множестве 
; функция 
дифференцируема
на множестве 
.
2. Связь между
понятиями дифференцируемости и непрерывности функции в точке.
Теорема
2.
Если функция в точке имеет конечную
производную , то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Пусть
существует . Следовательно, справедливо равенство (3), из
которого имеем:
, (4)
где при . Переходя к пределу в равенстве (4) при , получим:
,
что и
означает непрерывность функции в точке .
Замечание.
Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке , но не иметь производной в этой точке. Например,
функция 
непрерывна в
точке 
, так как
.
Эта
функция в точке имеет
односторонние производные:
;
,
но не
имеет в этой точке производной, так как 
.
Дадим
еще два определения, которые пригодятся в дальнейшем.
Определение
2.
Функция 
, 
, называется непрерывно
дифференцируемой на отрезке 
, если ее производная 
непрерывна на .
Пусть функция дифференцируема
в точке , следовательно, в силу теоремы 1 п.1 имеет место
равенство:
, (1)
где при . Правая часть равенства (1) состоит из двух
слагаемых: 
и 
, которые являются бесконечно малыми при . Причем:
1)
, 
и являются
бесконечно малыми одного порядка при (если 
);
2)
, 
являются бесконечно
малой высшего порядка, чем при .
Следовательно,
в равенстве (1) слагаемое (при ) дает главную, основную часть приращения функции .
Определение.
Главная, линейная относительно , часть приращения функции, т.е. , называется дифференциалом
функции в точке и обозначается
через 
, 
.
Итак,
.
(2)
Эту
же формулу применяем и в случае, когда 
.
Пусть
, тогда по формуле (2) будем иметь 
, т.е. дифференциал 
независимой
переменной 
равен
приращению этой
переменной: 
.
Поэтому
формулу (2) можно записать в виде
. 
Если
в (2)' вместо взять
произвольную точку , то получим
,
(3)
т.е.
дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал
аргумента.
.
Замечание
.
Из формулы (3), в частности, следует, что производную 
функции можно
представить как отношение дифференциала функции к дифференциалу
независимой переменной , т.е. 
.
Пример 1.
Найти дифференциал функции: 1) ; 2) 
.
Решение. 1) , 
, 
;
2) , 
, 
.
3. Применение
дифференциала к приближенным
вычислениям.
Так
как в формуле (1) 
является
главной частью приращения функции , то можем писать: 
, т.е. 
, т.е.
,
. (4)
Формула
(4) позволяет вычислить приближенные значения функции в точке 
(при малых ) через значения функции и ее производной в точке 
.
Пример 2.
Вычислить приближенно 
.
Решение. Применяя
формулу (4) к функции 
имеем
. (5)
Представим
в виде 
. Пологая 
, 
, по формуле (5) получим: 
, т.е. 
.
§3. Правила нахождения и таблица
производных.
п.1. Правила нахождения производных и
дифференциалов.
Теорема
1.
Если функции 
, 
дифференцируемы
в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих
функций (частное при условии, что 
) также дифференцируемы в этой точке и имеют место
следующие формулы: 1) 
; 2) 
; 3) 
,
где
и 
.
Доказательство. Так
как по условию теоремы в точке функции 
и 
дифференцируемы,
то существуют конечные пределы:
и 
.
Поэтому,
применяя определение производной к функции 
и свойства
пределов, получим
, т.е. .
По
такой же схеме доказываются и остальные две формулы теоремы. (Предлагаем
доказать их самостоятельно).
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е., если 
, то 
.
Действительно,
применяя вторую формулу теоремы, получим 
.
Пример 1. Найти
производные функций: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Решение. 1) , 
.
Следовательно,
если y=1/x, то => y’=-1/x2.
2)
, 
.
Следовательно,
если , то 
.
3)
Как и в предыдущем случае, легко получить формулу:
,
y’=-1/(sin2x).
4)
,
.
Теорема
2.
Дифференциалы суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых в точке функций , находят по
формулам:
1)
; 2) 
; 3) 
().
Докажем
например, вторую формулу. Применяя формулу (3) п.2 §2, имеем 
.
Аналогично
устанавливаются и другие формулы теоремы 2.
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала, т.е. если , то 
.
Действительно,
.
Пример 2. Найти
дифференциал функции 
.
Решение. ,
.
Таблица производных основных
элементарных функций.
Нами
в п.1 были установлены правила нахождения производных дифференцируемых функций.
Приведем здесь эти правила и дадим таблицу производных основных элементарных
функций.
Правила
нахождения производных.
1)
,
;
2)
,
;
2а) ,
;
3) 
,
.
Таблица производных.
