ЛЕКЦИЯ 12. §4. Непрерывность функции.

п.1. Определение непрерывности функции в точке. Однострон-
няя непрерывность.

Пусть дана функция , определенная на множестве X и – предельная точка множества X. Следовательно, в точке x₀ функция имеет вполне определенное значение . Предположим далее, что все рассматриваемые ниже значения аргумента .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке,

т.е. . (1)

Заметим, что при рассмотрении понятия предела функции в точке x₀ было безразлично, определена функция в этой точке или нет. Для непрерывности же функции в точке x₀ необходимо, чтобы она была определена в этой точке, что следует из самого определения непрерывности.

y

Определение непрерывности функции в точке x₀ можно сформулировать и в других терминах. Для этого введем понятие приращения функции в точке x₀.

x

Пусть x₀ – данная точка и x – некоторая другая точка из области определения функции X. Тогда разность называется приращением аргумента, а разность – приращением функции в точке x₀, соответствующим приращению аргумента (рис. 1).

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, т.е.

, (2)

или кратко: при .

Определения 1 и 2 эквивалентны. Действительно, равенство (1) равносильно условию ; равносильны также условия и .

Теперь из равенства становится очевидным, что, если при , то при , и наоборот, если при , то при .

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в точке .

Доказательство. 1 способ. Значение функции в точке равно и предел .

Следовательно, по определению 1 функция непрерывна в точке .

2 способ. Применим определение 2. Имеем: , и ,.

Следовательно, по определению 2 функция непрерывна в точке .

Определение 3. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 2. Доказать, что функции , , , , непрерывны на всей числовой оси, т.е. .

Доказательство. Непрерывность функций , , установим пользуясь определением 1. Пусть – произвольная точка из интервала . Тогда

1) для имеем: и ;

2) для имеем: и ;

3) для имеем: и

.

Следовательно, по определению 1 эти функции непрерывны в точке , а в силу ее произвольности и на всей числовой оси.

Аналогичным образом можно установить непрерывность функции

на множестве для любого натурального числа .

4) Непрерывность функций , установим с помощью определения 2.

Пусть, например, имеем ; произвольной точке дадим приращение , тогда функция получит приращение

.

Отсюда, применяя неравенство , установленное в п.5 §3, будем иметь:

, т.е. .

Теперь очевидно, что при .

Следовательно, функция непрерывна в произвольной точке , а потому и на всей числовой оси.

Непрерывность функции в интервале устанавливается аналогично.

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если .

Пример 3. Функция непрерывна в точке слева,

т.к. и .

Эта функция не будет непрерывной в точке справа, т.к. , но

, т.е. .

Отметим, что непрерывность функции в точке эквивалентна ее непрерывности в точке и слева и справа.

п.2. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема. Если функции и определены на множестве и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны функции:

1) ; 2) ; 3) ().

Доказательство. Докажем, например, утверждение 1). Функция в точке принимает значение и т.к. функции и непрерывны в точке , то и .

Далее, пользуясь свойствами пределов, имеем:

.

Следовательно, по определению 1, п.1 функция непрерывна в точке .

Аналогично доказываются и другие утверждения теоремы.

Пример 1. Функция непрерывна в любой точке , как сумма двух непрерывных функций и (см. п.1).

Пример 2. Функция непрерывна , как произведение непрерывных функций .

Пример 3. Функция непрерывна , как частное двух непрерывных функций, кроме точек (), в которых функция не определена.

Аналогично устанавливают непрерывность функции для любого .

п.3. Непрерывность сложной и обратной функций.

Теорема 1. Пусть функция определена на множестве и функция определена на множестве , причем, множество . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Точке дадим приращение , тогда функция получит приращение , а функция в точке получит приращение .

Если , то в силу непрерывности функции и , а значит, и , поскольку – тоже непрерывная функция аргумента .

Таким образом, при , что и означает непрерывность функции по аргументу , т.е. . Теорема доказана.

Следствие. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу, т.е.

Пример 1. Показать, что функции: 1) , 2) непрерывны на всей числовой оси.

Решение. 1) Рассмотрим функции , определенную на множестве и , определенную на множестве , которые являются непрерывными функциями в областях своего определения. Для этих функций выполняются условия теоремы 1. Следовательно, сложная функция является непрерывной функцией аргумента .

2) Аналогично, является непрерывной функцией аргумента , который в свою очередь есть непрерывная функция переменной . Следовательно, сложная функция является непрерывной функцией аргумента в интервале .

Пример 2. Найти предел .

Решение. Очевидно, что мы имеем произведение двух непрерывных сложных функций. Поэтому в силу следствия к теореме 1 имеем:

.

Теорема 2. Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором множестве и пусть – множество ее значений. Тогда на множестве существует обратная функция , также строго монотонная и непрерывная.

Доказательство теоремы опускаем.

п.4. Непрерывность элементарных функций.

Теорема. Основные элементарные функции , , , , , , , , , , непрерывны всюду, где они определены.

Утверждение теоремы было доказано для функций (при любом натуральном ), , , , в пунктах 1 и 2. Непрерывность обратных тригонометрических функций следует из теоремы 2 п.3. Доказательство непрерывности остальных элементарных функций мы опускаем.

Если принимать во внимание теоремы, установленные в п.2 и п.3, то можно получить достаточно широкий класс непрерывных функций, а именно: непрерывными будут все элементарные функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа элементарных операций (см. соответствующие определения в п.3 и п.4 §1) и составления сложных функций.

Причем, область непрерывности каждой элементарной функции совпадает с областью ее определения . Поэтому чтобы найти предел элементарной функции в точке , надо найти значение функции в этой точке.

Пример. Найти предел функции при .

Решение. Так как заданная функция является элементарной, то она непрерывна в области ее определения и, в частности, в точке . Поэтому , т.е. .

п.5. Точки разрыва функции.

Как мы уже знаем, функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и

. (1)

Введем теперь понятие точки разрыва функции.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и точка либо принадлежит множеству , либо (если она не принадлежит ) является хотя бы его предельной точкой. Тогда точка называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в точке , т.е. если в точке нарушено равенство (1).

Как видно, указанная в определении точка может быть точкой разрыва функции в следующих случаях:

а) не существует ; б) функция не определена в точке ;

в) обе части формулы (1) имеют смысл, но равенство между ними не имеет места.

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 2. Пусть – точка разрыва функции и в точке существуют конечные односторонние пределы и .

Если , то называется точкой разрыва первого рода (рис. 1).

Если , то называется точкой устранимого разрыва (рис. 2).

Если хотя бы один из односторонних пределов или не существует или равен , то называется точкой разрыва второго рода (рис. 3).

При этом, если окажется, что , то функция , как уже говорилось в п.1, называется непрерывной в точке слева; если , то называется непрерывной в точке справа.

В случае устранимого разрыва, принимая за значение , получим непрерывную в точке функцию.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция – неэлементарная и определена на всей числовой оси, непрерывна при и .

В точке аналитическое выражение функции изменяется, поэтому в точке функция может иметь разрыв.

Найдем односторонние пределы в этой точке:

; .

Так как в точке имеет конечные односторонние пределы и , то в этой точке функция имеет разрыв первого рода (рис. 1).

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция элементарная, определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точки . В этой точке функция не определена и имеет разрыв.

Найдем предел

.

Отсюда имеем, что . Следовательно, функция в точке x=1 имеет устранимый разрыв (рис. 2). Если функцию доопределить в точке х=1, положив , то она будет непрерывной на всей числовой оси.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция элементарная, определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . В этой точке функция не определена и имеет разрыв второго рода (рис. 3), так как и

п.6. Некоторые свойства непрерывных функций.

Определение. Если функция задана на множестве и существует точка такая, что , то число называется наименьшим (наибольшим) значением функции на множестве .

Например, для функции , заданной на рис. 1, – наименьшее, – наибольшее значения.

Приведем без доказательства теоремы, выражающие основные свойства функций, непрерывных на отрезке .

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена и принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения (рис. 1).

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – наименьшее, – наибольшее ее значения, то для любого найдется такая точка , что (рис. 1).

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков: , то существует хотя бы одна точка такая, что (рис. 1).

Геометрически доказательство теоремы 3 очевидно.

Если график функции есть непрерывная линия и на концах отрезка функция имеет значения противоположных знаков, то график функции должен по меньшей мере один раз пересечь ось .

Замечание 1. Свойством непрерывной функции, указанным в теореме 3, часто пользуются при нахождении приближенных корней уравнений.

Замечание 2. Если функция , , имеет хотя бы одну точку разрыва, или множество , на котором она задана, не является ограниченным и замкнутым, то утверждения теорем 1-3 перестанут быть верными.

Приведем примеры.

1) Непрерывная функция заданная на интервале , ограничена, но не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значения.

2) Непрерывная функция , заданная на множестве , не является ограниченной и не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

3) Для функции ,

заданной на полуотрезке и имеющей только одну точку разрыва , ни одно из утверждений теорем 1-3 не выполняется (рис. 2).