ЛЕКЦИЯ 11. §3. Предел функции одной переменной .
п.1. Понятие предела функции
в точке.
1. Предельные точки множества
Прежде всего
введем понятие предельной точки множества 
.
Точка 
называется предельной точкой (или точкой накопления)
множества , если любая 
– окрестность 
точки x0 содержит бесконечное множество
отличных от х0 точек из X.
Предельная точка
множества необязательно принадлежит самому множеству X.
Примеры.
1) Точка x0=0 является предельной точкой
множества точек последовательности 
, так как в любой – окрестности 
точки нуль
содержится бесконечное множество точек данного множества (рис. 1).
2) Для множества точек интервала 
предельными
точками будут все точки сегмента 
.
3) Множество предельных точек сегмента совпадает с
самим сегментом .
Следует отличить понятие предела последовательности точек от понятия
предельной точки множества. Если точка x0 является пределом последовательности точек 
, то x0 будет и предельной
точкой множества 
(пример 1). Однако, обратное утверждение неверно.
Множество точек последовательности может иметь предельные точки, но не иметь
предела. Пусть, например, дана последовательность
, n=1, 2, 3,…. (1)
Члены этой последовательности с нечетными
номерами принимают значения
,
и по мере возрастания n бесконечно приближаются к –1; члены с четными номерами принимают
значения
и приближаются к 1. Следовательно, –1 и 1 являются предельными
точками множества точек последовательности (1). Однако, ни –1, ни 1 не являются
пределами последовательности (1). (Почему?).
Легко проверить, что предельные точки множества обладают следующими свойствами.
1) Любая внутренняя точка множества является его предельной точкой.
2) Если предельная точка множества X не принадлежит
ему, то она является граничной точкой множества X.
2. Определение предела
функции в точке.
Пусть дана функция 
, определенная на множестве , и x0 – предельная точка
множества X. Тогда x0 может принадлежать множеству X или не
принадлежать ему, следовательно, функция 
либо определена
в точке x0, либо не определена. В понятии
предела функции это неважно. Все остальные значения аргумента x, рассматриваемые
ниже, полагаем входящими в область определения функции.
Определение 1. Число b называется пределом функции в точке x0 при 
, если для любой последовательности точек 
всегда соответствующая последовательность
значений функций 
, и пишут
или 
при .
Формулировка определения будет аналогичной, если окажется, что 
или 
.
На рисунках 1, 2, 3 изображены случаи, соответствующие трем пределам
функций:
, 
,
.
Пусть область определения функции X содержит сколько
угодно большие по модулю значения.
Определение 2. Число b называется пределом функции при 
, если для любой последовательности точек 
всегда
соответствующая последовательность значений функции , и пишут: 
.
В частности, число b называется пределом функции при 
, если для любой последовательности
точек 
всегда соответствующая последовательность
значений функции , и пишут: 
(
) (см. рис. 4 и 5).
Аналогично определяются пределы 
, 
;
, 
.
Примеры.
1) Найти предел 
.
Решение. Пусть 
– любая
последовательность точек, стремящаяся к 2 при 
. Тогда по определению предела функции в точке с
учетом свойств пределов числовых последовательностей будем иметь:
.
2)
Легко показать, что для
функций 
, 
, имеем: 
; 
; 
; 
.
Пусть функция определена на
множестве X и x0 его предельная точка.
Если переменная x стремится к точке x0, оставаясь меньше
(больше) нее, то условно пишут: 
.
Определение 1. Если существует предел 
, то его называют пределом
функции в точке x0 слева и обозначают 
:
.
Определение 2. Если существует предел 
, то его называют пределом
функции в точке x0 справа и обозначают 
:
.
Если x0=0, то пределы слева и справа
обозначают так:
или 
и 
или 
.
Определение 3. Пределы функции в точке x0 слева и справа называются односторонними
пределами.
На рисунках 1 и 2 изображены односторонние пределы: на рис. 1 
, 
и 
; на рис 2 
.
Легко установить, что существование предела 
эквивалентно существованию в точке x0
равных между собой односторонних пределов (рис. 2), т.е.
.
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке x0=1.
Решение. Если 
, то 
и 
.
Если 
, то 
и 
.
Итак, 
, 
.
п.2. Основные теоремы о
пределах функций.
1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Полагаем, что рассматриваемые ниже функции определены на множестве и x0 – предельная точка множества X.
Определение 1. Функция 
называется бесконечно малой при 
, если 
.
Определение 2. Функция называется бесконечно большой при , если 
.
Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие
функции при 
и 
.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций выражаются
теоремами, которые мы приводим без доказательств.
Теорема 1. Если функция – бесконечно
малая при , то функция 
- бесконечно
большая.
Если – бесконечно
большая при , то функция 
- бесконечно
малая.
Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного
числа бесконечно малых функций при есть бесконечно
малая функция.
Теорема 3. Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную
в некоторой окрестности точки x0 функцию является
бесконечно малой функцией при 
.
Теорема 4. Для того, чтобы функция имела конечный
предел b при , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство:
,
где 
при .
Доказательства
этих утверждений во многом аналогичны доказательствам соответствующих свойств
бесконечно малых и бесконечно больших числовых последовательностей, и
предлагаем проводить самостоятельно.
2. Основные свойства пределов
функций.
Пусть рассматриваемые ниже функции определены на множестве и x0 – предельная точка множества X. Для функций,
имеющих конечные пределы при , справедливы теоремы, аналогичные соответствующим
утверждениям числовых последовательностей, приведенных в п.4. §2.
Рассмотрим основные из них.
Теорема 1. Если функция имеет конечный
предел при , то он единственный.
Доказательство. Пусть функция имеет два
предела: 
и 
, причем . Тогда, в силу теоремы 4 п.3 о необходимом и достаточном
условии существования конечного предела, функцию можно
представить в виде:
, где при ,
, где 
при ,
Вычитая почленно эти равенства, получим:
, 
.
В левой части последнего равенства имеем число 
, а в правой части – бесконечно малую функцию 
. Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 2. Пусть функции и 
имеют конечные
пределы 
и 
. Тогда существуют пределы суммы, разности,
произведения и частного этих функций и справедливы равенства:
1) 
;
2)
;
3)
, 
.
Доказательство. Докажем, например, второе утверждение теоремы. В силу теоремы 4.
п.3. имеем:
.
Таким образом, 
представили в
виде суммы постоянного числа 
и бесконечно
малой функции 
(см. теоремы 2 и 3 п.3). А это означает, что
функция имеет своим
пределом число 
при (см. теорему 4,
п.3). Следовательно,
.
Аналогично можно установить и другие утверждения теоремы (предлагаем
доказать самостоятельно!).
Следствие1. Постоянный множитель можно
выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Если 
и m – натуральное
число, то
.
Пример 1. Найти предел 
.
Решение. Применяя теорему 2 и ее следствия, получаем:
.
Пример 2. Найти предел
.
Решение. Как и в первом примере, применяя теорему 2 и ее следствия, получим:
.
Теорема 3. Пусть функции u(x), y(x), v(x) определены в
некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть
может, самой точки x0, и функции u(x), v(x) имеют в точке x0 предел, равный b, т.е. 
. Пусть, кроме того, выполняются неравенства 
. Тогда 
.
Доказательство. Пусть 
– произвольная сходящаяся к x0 последовательность аргумента функций u(x) и v(x). Соответствующие
последовательности значений этих функций 
и 
имеют предел,
равный b, т.е. 
.
В силу неравенств, данных в теореме, имеем:
.
Следовательно, по теореме 7 п.4 §2 будем иметь, что 
. Согласно определению 1 предела функции (п.1. §3) это
означает, что . Теорема доказана.
Замечание. Теоремы 2 и 3 верны также в случаях, когда 
и 
.
п.3. Два замечательных
предела.
1. Первый замечательный
предел.
Рассмотрим функцию 
, которая не определена только в точке x=0. Здесь и
числитель, и знаменатель стремятся к нулю при х, стремящемся к нулю, то есть
имеем так называемый неопределенность вида 
. Тем не менее можно доказать, что, существует предел
.
(1)
который называется первым
замечательным пределом.
Справедлива и более общая формула: если 
при , то
.
который называется обобщенным
вариантом первого замечательного предела.
С помощью первого замечательного
предела вычисляют многие другие пределы.
Пример 1. Найти 
.
Решение. Имеем 
.
Пример 2. Найти 
.
Решение. Имеем 
=
.
2. Второй замечательный
предел.
. Рассмотрим предел 
. Здесь при х стремящемся к нулю основание стремится к
единице , а показатель – к бесконечности. Отметим, что указанный предел
существует и представляет собой иррациональное число, называемое числом Эйлера, и обозначается через e. Приближенно число 
.
Таким образом,
.
(2)
Равенство (2) называется вторым
замечательным пределом.
Во втором замечательном пределе выражение 
при 
представляет
собой неопределенность вида 
.
Число e играет большую роль во многих вопросах математики так же, как и
число 
. В частности, число e принимают за основание
логарифмов, которые называются натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются
символом ln, т.е. 
.
Для натуральных логарифмов, как и для десятичных, составлены
специальные таблицы.
Связь между логарифмическими функциями с различными основаниями
выражается формулой
.
Замечание . Существуют и другие формы записи формулы (2):
; 
.
Справедлива и более
общая формула: если при , то
-
обобщенный вариант второго
замечательного предела.
С помощью второго замечательного предела находят многие другие
пределы.
Пример 3. Найти 
.
Решение. Положим t=3x. Тогда 
и 
при . Следовательно,
.
Пример 4. Найти 
.
Решение. Имеем 
.
3. Некоторые
примеры применения второго замечательного предела.
Вернемся к задачам о начислении процентов.
Пусть сумма в A0 руб. внесена в
сберкассу на условиях ежегодного начисления P% от суммы,
имеющейся на счету в начале текущего года.
Обычно сберегательные кассы начисляют проценты в конце года или при
полном изъятии вклада. Поэтому вместо того, чтобы вложить в начале года A0 руб. и истребовать их в конце года, оказывается выгодней изымать
весь вклад, например, в конце каждого месяца и вложить его снова. Тогда каждый
месяц сумма предыдущего месяца увеличивается на 
, и
в конце 1-го месяца будет сумма
,
в конце 2-го месяца будет сумма
=
,
………………………………………………………………………………………..
в конце 12-го месяца будет сумма 
.
Обозначая через 
- коэффициент
роста вклада за 1 год, полученный результат можно записать в виде
. (6)
Из формулы (6) видно, что первоначальный вклад за 12 изыманий в
течение года и обратных внесений в сберкассу увеличивается в 
раз.
Если по указанной схеме в течение года производить n изыманий и
обратных внесений вклада, то по прошествии 1 года начальная сумма обратится в 
, по истечении двух лет – в 
, по истечении t лет в 
. Если допускать, что , то переходя к пределу в последнем выражении и
применяя второй замечательный предел, получим:
.
То есть величина наращенной суммы A по прошествии t лет определится
формулой
, где . (7)
Конечно, на практике сказанное не реализуется (бесконечные изымания
и обратные внесения вклада не возможны), но полученный результат представляет
собой определенный интерес.
В других случаях найденная формула (7) имеет вполне реальный смысл.
Об этом разговор пойдет в очередном примере.
Пусть P0 – первоначальная численность
некоторой популяции и k – коэффициент ее естественного роста за 1 год, что представляет
собой отношение годового прироста к средней численности популяции.
Если пренебречь фактом, что численность популяции в течение года
изменяется, то к концу года она составила бы 
.
Результат будет точнее, если учтем, что хотя бы к концу каждого
месяца численность популяции увеличивается в (1+
) раз. Тогда (повторяя рассуждения предыдущего
примера) окажется, что к концу года численность популяции увеличится в 
раз и составит 
.
Если год разобьем на все большее число равных промежутков n, то получим более
близкий к действительности результат: численность популяции к концу первого
года составит 
, к концу второго года составит 
, по прошествии t лет – составит 
.
Как и выше, переходя к пределу в последнем выражении при , придем к окончательному точному результату подсчета
непрерывного роста популяции, а именно, к тому, что через t лет численность
популяции составит
т.е.
.
Полученный результат можно применить в прогнозировании роста
численности населения, в вопросах учета текучести рабочей силы в крупных
производственных, промышленных предприятиях и отраслях и т.д.
п.4. Раскрытие
неопределенностей.
При нахождении многих пределов непосредственное применение теорем о
пределах оказывается невозможным. К таким случаям относятся так называемые
неопределенности вида , 
, 
, 
, 
.
Определение 1. Если дано отношение двух
функций 
и 
, при , то говорят, что при имеем
неопределенность вида .
Определение 2. Если дано отношение двух
функций и 
, 
при , то говорят, что мы имеем неопределенность вида .
Определение 3. Если дана разность 
и 
, 
(или 
, 
), при 
, то будем говорить, что мы имеем неопределенность
вида .
Определение 4. Если дано произведение 
и 
, 
при , то будем говорить, что имеем неопределенность вида .
Определение 5. Если дано выражение 
и 
, при , то будем говорить, что имеем неопределенность вида .
Замечание 1. Данные определения остаются в
силе и в случаях, когда , , и справа и слева.
Замечание 2. Отметим, что для раскрытия
неопределенностей вида там, где это возможно,
надо преобразовать числитель и знаменатель, разложить их на множители,
сократить дробь, избавится от неопределенности и затем перейти к пределу. В
ряде случаев к таким неопределенностям применяют первый замечательный предел.
В случае неопределенности вида , если в числителе и знаменателе стоят многочлены, то
целесообразно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из числа слагаемых
одночленов числителя и знаменателя, а после перейти к пределу.
Неопределенности других видов раскрываются путем преобразования
соответствующих выражений и сведения их к неопределенности или , а при раскрытии неопределенности вида пользуются
вторым замечательным пределом.
Примеры. Найти пределы: 1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
Решение. В фигурных скобках укажем вид неопределенности, далее преобразуем
предлагаемые выражения, и применяя соответствующие теоремы, найдем пределы.
1) 
.
2) 
.
3) 
=
.
4) 
.
5)
=
.
6) 
.
п.7. Сравнение бесконечно
малых.
Как известно, сумма, разность и произведение конечного числа
бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями. Это, вообще
говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую
может привести к различным результатам.
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых.
Пусть и 
– две
бесконечно малые функции при и пусть
существует предел 
. Тогда:
1) если b=0, то называется бесконечно малой высшего порядка, чем ;
2) если 
, то и называются
бесконечно малыми одного порядка;
3) если b=1, то и называются эквивалентными бесконечно малыми и
пишут: 
;
4) если 
(), то называется
бесконечно малой k–го порядка относительно .
Эти правила остаются в силе, если и являются
бесконечно малыми при , , , а также при слева и справа.
Рассмотрим примеры.
1) 
, 
.
2) 
, функции 
и 
являются при 
бесконечно
малыми одного порядка.
3) 
, функция 
является при бесконечно
малой высшего порядка, чем бесконечно малая x. Но
,
функция является при бесконечно
малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой x.
Если является при бесконечно
малой высшего порядка, чем бесконечно малая , то пишут: 
. Таким образом, в последнем примере можно писать: 
.
Замечание. Предел отношения двух
бесконечно малых величин не изменится, если эти бесконечно малые заменить им
эквивалентными. Этот факт используется при нахождении пределов функций.
Эквивалентные бесконечно малые величины
при х → 0:
Обобщения.
Пусть 
при 
Тогда
Примеры Найти пределы с помощью
эквивалентных бесконечно малых:
Решение. Для нахождения пределов
воспользуемся соотношениями эквивалентности (1) и (1)
.
2)
3)
4)
