ЛЕКЦИЯ 10.
п.5. Проценты. Задачи на
проценты.
Определение
1. Процентом называем одну сотую часть.
Для краткости слово «процент» обозначают
знаком %. Запись 1% означает 0,01; 
, 30%=0,3, 100%=1, 150%=1,5 и т.д.
В финансовых и экономических
вопросах часто возникают задачи, связанные с процентами. Рассмотрим некоторые
из них.
Задача 1.
Швейная фабрика выпустила 12500 костюмов. Из них 45% – костюмы нового фасона.
Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?
Решение. 12500
костюмов – это 100%, следовательно, на 1% приходится 
костюмов, а на 45% – 
костюмов нового
фасона.
Задача 2.
Предприятие увеличило выпуск изделий с 1000 до 1128 штук в сутки. На сколько
процентов увеличилось производство изделий?
Решение.
1)
Производство изделий увеличилось на 
шт.
2) В процентах это составит 
.
Для решения последующих задач
введем понятие простых и сложных
процентов.
Пусть
имеем некоторую первоначальную сумму в 
руб. (или
какую-нибудь другую величину, не обязательно выраженную в рублях).
Определение
2.
Если по истечении некоторого периода времени каждый раз производится начисление
P% только на первоначальную
сумму или величину , то говорят, что применяют простые проценты.
Определение
3.
Если на первоначальную сумму или величину по истечении
некоторого периода времени производится начисление P%, а затем в последующие периоды времени,
начисление Р%, производится не только на сумму , но и на проценты на нее, то говорят, что применяют
сложные проценты.
Пусть
–
первоначальная сумма или величина. Если каждый раз по истечении некоторого
периода на эту сумму начисляют P%
(простых или сложных), то в конце первого периода эта сумма станет равной
т.е.
(1)
где 
.
(2)
Число 
называется коэффициентом прироста
первоначальной суммы A0.
В
частности, если дается коэффициент прироста k первоначальной суммы , а не проценты P, начисляемые на ее, то по формуле (2) легко
найти P: 
.
Задача 3. Сумма
в руб. внесена в сберкассу
на условиях ежегодного начисления P% от
этой суммы. Какова будет накопленная сумма через t лет? Получить соответствующую формулу.
Решение.
Очевидно, в этом случае имеем дело с простыми процентами. С учетом равенств (1)
и (2) получим:
в
конце первого года будет сумма 
;
в
конце второго года будет сумма
;
в
конце третьего года будет сумма
;
…………………………………
в
конце t-го
года будет сумма
, где 
. (3)
По формуле (3) можно
определить, какова будет накопленная сумма через t лет при ежегодном начислении простых P%.
Например, если
сумма 
руб. и P=8%, то накопленная сумма через пять лет составит 
(руб.).
Задача 4. Пусть
сумма в A0 руб.
внесена в сберкассу на условиях ежегодного начисления сложных P%. Какова будет сумма через t лет? Вывести соответствующую формулу.
Решение. С учетом
(1) и (2) получим:
в
конце первого года будет сумма ;
в
конце второго года будет сумма
;
в
конце третьего года будет сумма
;
в
конце t-го
года будет сумма
, где . (4)
По
формуле (4) можно определить, какова будет накопленная сумма через t лет при ежегодном начислении сложных P%.
Например, если
А0= 50000 руб., то при ежегодном начислении сложных P=8% накопленная сумма через 5 лет составит
(руб.).
(Сравните эту сумму с
результатом задачи 3!!).
Задача 5. Пусть
– уровень
выпуска некоторой продукции к началу рассматриваемого года. Намечен ежегодный прирост
продукции по отношению к предыдущему году на 10%. Каков будет объем выпуска
продукции через 5 лет?
Решение.
Очевидно в этом случае мы имеем дело с начислением сложных процентов P=10%. Поэтому надо воспользоваться формулой
(4). Подставляя значения A0, 
и t=5 в формулу (4) получим:
.
Например,
если 
ед., то к концу
пятилетки выпуск составит 
ед.
В
формулах (3) и (4) фигурируют по 4 величины: 
, , k, t. Каждую из них можно исчислить, если три
остальные величины известны.
Рассмотрим
задачи.
Задача 6.
Определить из каких средств, отданных в сберкассу под простые 30% годовых,
через 10 лет накопится сумма 200000 руб.
Решение. Как
видно, известны величины 
, 
, t=10 и
надо найти A0. Из
формулы (3) имеем: 
. Подставляя данные, получим:
(руб),
т.е.
исходная сумма вклада должна быть равной 50000 руб.
Задача
7.
В сберкассу сделан вклад на 5 лет на сумму 100000 руб. на условиях начисления
сложных процентов. Каков размер ежегодного процентного начисления, если к концу
пятилетки сумма станет равной 248832 руб.
Решение. По
условию задачи имеем: , t=5, 
. Требуется найти k. Из формулы (4) имеем:
, 
.
Поставляя
в последнее равенство данные задачи, получим:
; , 
.
Таким
образом, ежегодное начисление сложных процентов должно составлять P=20%.
§2. Предел числовой
последовательности.
п.1. Понятие о числовой
последовательности.
Определение.
Числовой последовательностью (или просто последовательностью)
называется функция натурального аргумента n
, n=1, 2,
3,…, (1)
определенная на множестве
натуральных чисел.
При
этом 
называется
первым членом, 
– вторым
членом,…, – n-м
или общим членом последовательности.
Числовую
последовательность задают либо указанием формулы ее общего члена 
, например в виде (1), либо символическим обозначением
, либо записью нескольких первых членов 
.
Функцию
натурального аргумента (1) иногда называют переменной . Для кратности будем говорить, что задана переменная
величина , подразумеваемая под этим, что речь идет о числовой
последовательности с общим членом .
Примеры.
1)
Рассмотрим числовую последовательность с
общим членом
.
Придавая n значения 1, 2, 3, 4,… , мы получим соответственно первый, второй,
третий, четвертый,… члены последовательности:
, 
, 
, 
,…
2)
Пусть задана последовательность:
, 
, 
, 
, 
,…
Как видно, числители этих дробей
являются нечетными, а знаменатели – четными натуральными числами. Общий член
последовательности можно за- писать
в виде:
.
3) Рассмотрим
числовую последовательность 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0,…, образованную с помощью
двух чисел 0 и 2. Ее общий член можно записать в виде:
;
4) Запишем
несколько первых членов числовой последовательности 
. Общим членом этой последовательности является 
.
Отсюда получим: 
, 
, 
,
, 
, 
,…
Следовательно,
заданная последовательность имеет вид
1,
0, 
, 0, 
, 0, …
Числовая
последовательность всегда содержит бесконечное множество членов, но среди них
могут быть и равные (как в примерах 3 и 4).
п.2. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины.
Определение 1. Переменная величина (или числовая
последовательность) , n=1, 2, 3,…, называется бесконечно малой при 
, если для любого сколь угодно малого заданного
положительного числа 
найдется номер N (зависящий от ) такой, что
.
(1)
Символически: xn – б.м., если 
.
Геометрически
неравенство (1) означает, что значения xn попадают
в – окрестность
точки нуль 
, т.е. в интервал 
, или расстояние 
для всех
номеров 
(рис. 1).
Отметим, что никакое
постоянное число, кроме нуля, не является бесконечно малым.
Пример.
Покажем, что переменная 
является
бесконечно малой.
Действительно,
пусть 
– произвольное
малое положительное число. Имеем
, 
.
Следовательно,
если в качестве номера 
взять 
, где 
означает целую
часть числа x, то
для номеров будем иметь 
. В силу произвольности из последнего
неравенства вытекает, что данная переменная xn является бесконечно малой.
Пусть, например, 
. Тогда 
и для любого 
будем иметь:
.
Определение
2.
Переменная величина (или числовая последовательность) yn, n=1, 2, 3,…, называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого заданного
положительного числа E
найдется такой номер NЕ,
зависящий от E, что
.
(2)
Символически: yn – б.б., если 
.
Геометрически неравенство
(2) означает, что значения yn будут
вне E – окрестности точки
нуль 
или расстояние
для номеров 
(рис.
2).
Пример
2.
Покажем, что переменная 
является
бесконечно большой при .
Пусть
– произвольное
положительное число. Рассмотрим неравенство
, 
.
Следовательно,
будем иметь 
, отсюда вытекает, что данная переменная 
– бесконечно
большая.
Пусть, например, E=500. Тогда 
и 
получим 
.
Определение
3.
Переменная называется ограниченной снизу (сверху), если
существует число a
(число b)
такое, что
.
Определение 4.
Переменная называется ограниченной, если она ограниченна и
снизу и сверху.
Очевидно,
что переменная ограничена тогда
и только тогда, когда существует такое число M>0, что 
.
Пример 4.
Переменная 
, 
, ограничена снизу, так как ее значения
удовлетворяют, например, неравенству 
.
Пример 5.
Переменная 
,, ограниченна сверху, так как ее значения
удовлетворяют, например, неравенству 
Пример 6. Переменная
, , ограничена, так как
.
Переменные
, 
(n=1, 2, 3,…) не являются ограниченными. Неограниченными
будут все бесконечно большие переменные. Но неограниченная переменная xn может и не быть бесконечно
большой. Например, 
, n=1, 2,
3,… не является ограниченной. Ее значения таковы: 0, –2, 0, 4, 0, –6 и т.д. При
четных n
члены
этой последовательности принимают сколь угодно большие по модулю значения.
Однако
она не будет бесконечно большой. (Почему?!)
2. Свойства бесконечно малых и
бесконечно больших.
Теорема
1.
Если 
есть бесконечно
малая переменная, то 
будет
бесконечно большой, и наоборот, если – бесконечно
большая переменная, то ее обратная величина 
будет
бесконечно малой.
Доказательство. Пусть
– бесконечно
малая величина, т.е. для любого 
можно найти
такой номер N, что 
выполнится
неравенство 
. Отсюда следует, что 
.
Следовательно,
переменная 
– бесконечно
большая.
Аналогично
доказывается вторая часть теоремы.
Теорема
2.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых есть величина
бесконечно малая.
Доказательство. Пусть
, где , 
, 
–
бесконечно малые. Докажем, что 
– бесконечно
малая величина.
Возьмем
произвольное малое число . По 
найдем номера N1, N2, N3 такие, то при 
, 
, 
будут
выполняться соответственно неравенства:
, 
, 
. (3)
Пусть
. Тогда при 
неравенства (3)
будут выполняться одновременно и, пользуясь свойствами абсолютных величин,
получим:
,
т.е. 
.
Следовательно, – бесконечно
малая переменная величина.
Аналогично
можно доказать теорему и для любого конечного числа бесконечно малых.
Замечание.
Отметим, что бывают случаи, когда в ходе рассматриваемого процесса число
бесконечно малых в сумме неограниченно возрастает; тогда, даже если каждое из
слагаемых есть величина бесконечно малая, сумма может не быть бесконечно малой.
Например,
; 
; 
.
При
возрастании n число
слагаемых в этих суммах возрастает, но каждое слагаемое стремится к нулю. В
тоже время при первая сумма
является величиной бесконечно малой, вторая – постоянной, третья – даже
бесконечно большой.
Теорема
3.
Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно
малая.
Доказательство. Пусть
xn –
ограниченная переменная, т.е. 
такое, что 
и – бесконечно малая.
Покажем, что произведение 
– бесконечно
малая величина.
Возьмем
произвольное малое число . По 
найдем номер N такой, что будем иметь 
.
Для
этих же значений n будет
выполнятся неравенство:
.
Отсюда
следует, что произведение – бесконечно
малая величина.
п.3.
Предел числовой последовательности.
Определение. Число
a называется пределом переменной (или числовой
последовательности) xn, n=1, 2, 3,…, при если 
существует
такой номер 
, что
. (1)
Геометрически это
означает, что при все значения xn попадут в – окрестность
точки a
, т.е. в интервал 
или расстояние 
(рис. 1).
Если
a – предел переменной xn, то это записывается так
или 
при .
Если
переменная xn –
бесконечно большая, то говорят, что ее предел равен бесконечности, и в этом
случае пишут:
или 
при .
Если
xn – бесконечно большая и 
, то пишут:
или 
при .
Если
xn –
бесконечно большая и 
,, то пишут:
или 
при .
Теорема. Для
того, чтобы переменная xn имела
своим пределом число a,
необходимо и достаточно, чтобы
(т.е. 
), (2)
где – бесконечно
малая при .
Доказательство. Необходимость. Пусть . Следовательно, существует
номер такой, что 
. Отсюда следует, что разность – бесконечно
малая.
Достаточность. Пусть
– бесконечно
малая. Это означает, что существует
номер такой, что 
.
Следовательно,
. Теорема доказана.
Таким
образом существование конечного предела a переменной xn равносильно тому, что
разность – бесконечно малая
величина, или же, переменную xn можно
представить в виде суммы числа a и
бесконечно малой : 
.
Замечание
1.
Предел постоянного числа есть само это число, т.е. если 
, n=1, 2,
3,…, то 
.
Действительно,
в этом случае неравенство (1)
выполняется :
,
откуда
и следует утверждение.
Замечание 2.
Предел бесконечности малой переменной равен нулю.
Действительно,
если 
– бесконечно
малая, то по определению бесконечно малой имеем: существует такой номер 
, что 
,
что и
означает 
.
В силу замечания 2 можно дать
второе определение бесконечно малой.
Определение.
Переменная называется
бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Пример 1.
Доказать, что 
.
Доказательство. Пусть
– малое
произвольное положительное число.
Имеем:
, 
, 
.
Следовательно,
если возьмем 
,то выполнится
неравенство:
, 
.
Пример
2. Показать, что предел переменной 
при равен 2.
Имеем
, т.е. разность между xn и 2 есть бесконечно малая
при 
величина,
равная 
.
Следовательно,
.
п.4. Свойства пределов числовых
последовательностей.
Некоторые из приводимых ниже свойств пределов мы даем без
доказательств.
Теорема
1.
Если переменная xn имеет
конечный предел, то он единственен.
Доказательство. Пусть
переменная xn имеет
два предела: и 
, причем 
. Тогда в силу теоремы п.3. переменную xn можно представить в виде:
, где 
при ,
, где 
при .
Вычитывая
почленно эти соотношения, получим:
, 
.
В
левой части последнего равенства имеем число 
, а в правой части – бесконечно малую величину 
. Получили противоречие. Следовательно, предположение
о существование двух пределов неверно.
Таким
образом, если переменная имеет конечный
предел, то он единственен.
Теорема
2.
Если переменная имеет конечный предел,
то она ограничена.
Доказательство. Пусть
. Отсюда следует, что существует
номер такой, что выполняется
неравенство: , т.е.
.
Следовательно,
вне интервала могут быть
только лишь значения 
, а все остальные значения 
будут
содержатся в этом интервале. Из чисел 
наименьшее
обозначим через m, а
наибольшее – через M.
Тогда, очевидно, будем иметь
, 
что и
означает ограниченность переменной xn.
Теорема
3.
Если переменная имеет предел a>0 (a<0), то начиная с некоторого номера, и
сама переменная ().
Доказательство. Пусть
a>0. По определению
предела , например 
, найдется такой номер N, что выполнится
неравенство:
, т.е. 
, 
.
При
a<0 теорема
доказывается аналогично.
Теорема
4.
Если 
и
существуют конечные пределы
, 
то a=b.
Доказательство
следует из теоремы 1 о единственности предела, ибо мы имеем фактически одну
переменную, но имеющую различные обозначения.
Теорема
5.
Если все значения переменной 
, (
), хотя бы с некоторого номера 
, и существует предел , то 
(
).
Предлагаем
доказать теорему самостоятельно.
Теорема
6.
Если 
, хотя бы начиная с некоторого номера , и существуют конечные пределы , ,то 
.
Доказательство
этой теоремы опускаем.
Теорема
7.
Если для переменных , , 
, начиная с некоторого номера 
, выполняются неравенства
(1)
и
переменные и имеют
одинаковые пределы 
, то и переменная имеет тот же
предел 
.
Доказательство. Возьмем
произвольное число . Так как , то найдется номер 
, такой, что 1 выполнится неравенство:
.
(2)
Далее,
в силу того, что 
, то найдется номер 
такой, что 
выполнится
неравенство:
. (3)
Наибольший
из трех номеров , , обозначим через
N. Тогда будут одновременно выполнятся все неравенства
(1)–(3), из которых следует, что
.
Значит,
или 
. Теорема доказана.
Наиболее часто применяются
утверждения о пределе суммы, разности произведения и частного, содержащиеся в
очередной теореме.
Теорема
8.
Пусть переменные и имеют конечные пределы и . Тогда существуют пределы суммы, разности,
произведения и частного этих переменных, и справедливы равенства:
1) 
; 2) 
;
3) 
.
Доказательство.
Докажем, например, первое утверждение теоремы. В силу теоремы о необходимом и
достаточном условии существования конечного предела (п.3.) имеем:
.
Таким
образом, 
представили в
виде суммы постоянного числа 
и бесконечно
малой 
, а это означает, что переменная имеет своим
пределом постоянную величину .
Следовательно,
.
Аналогично
можно установить и другие утверждения. (предлагаем сделать это самостоятельно).
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Действительно, в силу второго
утверждения теоремы 8 и замечания о пределе постоянно числа (см. п.3) имеем: 
.
Пример. Найти
предел 
.
Решение.
Применяя теорему 8 и следствие к ней, получим:
=
.
Определение
1.
Переменная называется возрастающей (убывающей), если каждый ее
последующий член больше (меньше) предыдущего, т.е.
(
) ,
Если
(
) , то последовательность xn называется возрастающей (убывающей) в широком смысле.
Определенные
выше последовательности называются монотонными.
Например, 
– убывающая последовательность,
т.к.
, а последовательность 
– возрастающая,
т.к. 
.
Теорема
9. (Признаки сходимости монотонных последовательностей).
Если переменная xn монотонно возрастает (убывает)
и ограничена сверху (снизу), то она имеем конечный предел. В противном случае
переменная стремится к 
.
Доказательство
теоремы опускаем.
Например,
последовательность xn=3/(2n) убывает и ограничена снизу
; последовательность 
возрастает и
ограничена сверху 
.
Следовательно,
эти последовательности имеют конечные пределы. Легко показать, что
и 
.