Раздел I.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

ЛЕКЦИЯ 1 §1. Матрицы и определители.

Определение 1. Матрицей размера называется система чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов вида:

(1)

Числа называются элементами матрицы.

Матрица (1) сокращенно обозначается через , где m – число срок, n – число столбцов матрицы A.

Матрица (1), состоящая из одной строки , называется строчной матрицей, или матрицей-строкой.

Строчная матрица имеет вид .

Матрица (1), состоящая из одного столбца , называется столбцовой матрицей, или матрицей-столбцом:

Если в матрице (1) , то получим матрицу, состоящую из одного элемента .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой или нуль-матрицей и обозначается через .

Матрица (1), у которой число строк m равно числу столбцов n, т.е. матрица вида

(2)

называется квадратной матрицей n –го порядка.

При этом будем говорить, что элементы образуют главную диагональ, а элементы – вторую диагональ.

Квадратная матрица (2) называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, называется единичной матрицей и обозначается через E.

Например, квадратные матрицы третьего порядка

, ,

являются соответственно диагональной, единичной и нулевой матрицами.

Определение 2. Матрица и называются равными, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны, т.е. , и .

Если матрицы A и B равны, то пишут A=B.

2. Линейные операции над матрицами.

Определение 3. Линейными операциями над матрицами называются операции сложения, вычитания матриц и умножения матрицы на число.

Операции сложения и вычитания матриц определяются только для матриц одинаковых размеров.

Определение 4. Суммой двух матриц и называется такая матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сумма двух матриц A и B обозначается символом A+B.

Определение 5. Разностью двух матриц и называется такая матрица , элементы которой равны разностям соответствующих элементов вычитаемых матриц, т.е. .

Разность двух матриц A и B обозначается символом A–B.

Определение 6. Произведением числа на матрицу (или матрицы A на число ) называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на это число, т.е.

Произведение числа на матрицу A обозначается или .

Итак, .

Очевидно, что произведение числа нуль на матрицу A равно нуль-матрице:

Матрицу будем называть матрицей, противоположной матрице A, и обозначать –A.

Разность двух матриц A и B теперь можно определить так: .

Очевидно, что .

Пример 1. Даны матрицы

и .

Найти их сумму, разность и произведение числа 2 на матрицу A.

Решение.

1) ;

2) ;

3) .

Пусть L -множество всевозможных матриц одного и того же размера . Легко проверить, что и (R – множество действительных чисел) введенные выше линейные операции над матрицами обладают свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Докажем, например, первое свойство. Так как , и , то отсюда имеем A+B=B+A.

Остальные свойства доказываются аналогично.

3. Умножение матриц.

Матрица A называется согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Действие умножения матрицы А на матрицу В определяется только тогда, когда А согласована с В.

Итак, пусть матрица A согласована с матрицей В.

Определение 7. Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , для которой элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е. .

Произведение матрицы A на матрицу B обозначается через AB.

Пример 2. Найти произведение матриц

и .

Решение.

Отметим, что из согласованности матрицы A с матрицей B не следует согласованность B с A. Поэтому из того, что матрицу A можно умножить на B, не следует, что матрицу B можно умножить на A. Если даже A и B – взаимно согласованные матрицы, то не всегда AB=BA. Пусть, например,

, .

Легко проверить, что , и, следовательно, .

Если для матриц A и B произведения AB и BA определены, то в случае, когда AB=BA, матрицы A и B называются перестановочными.

Пусть A, E, –квадратные матрицы одного и того же размера .

Нетрудно установить, что

и , (*)

т.е. при умножении квадратных матриц единичная матрица E играет роль единицы, нулевая матрица -роль нуля.

Если соответствующие действия имеют смысл, то можно показать, что операции умножения матриц обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

( - любое действительное число).

4. Транспонирование матриц.

Определение 8. Замена строк (столбцов) матрицы A соответствующими по номеру столбцами (строками) называется транспонированием матрицы A. Полученная при этом матрица обозначается через или и называется матрицей, транспонированной относительно матрицы A.

Так, если

, то –

матрица, транспонированная относительно A.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Транспонированные матрицы обладают свойствами:

Доказательства свойств 1)-3) очевидны. Легко доказывается и свойство 4).

Определение 9. Квадратная матрица называется симметрической, если равны ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. .

Для симметрической матрицы имеет место равенство .

5. Пример применения матриц. (Матрицы рационов).

Матрицы – очень удобный и часто применяемый аппарат для сокращения записей больших совокупностей чисел, для их изучения и проведения вычислительных операций. Матрицы широко используются при исследовании и решении систем линейных уравнений, для записи условий многих задач, в том числе и экономических. К ним относятся, например, задачи составления межотраслевого баланса производства, задачи определения совокупности затрат труда и определения цен продуктов, задачи составления матриц рационов и т.д.

Приведем простой пример. Пусть для жизнедеятельности некоторого животного необходимы витамины A, B, C, и они содержатся в n кормах , входящих в суточный рацион животного, соответственно в количествах:

витамин A: ;

витамин B: ;

витамин C: .

Предположим, что животное съедает в день кг корма , кг корма ,…, кг корма .

Требуется подсчитать, в каких количествах получает животное витамины каждого вида за сутки.

Покажем, что этот подсчет можно производить умножением матриц. Для этого рассмотрим следующие матрицы:

, ,

где матрица M дает распределение витаминов A, B, C по кормам (каждая строка этой матрицы соответствует отдельному витамину, а каждый столбец – отдельному корму; например, -количество витамина B в 1кг корма P₂), а столбцовая матрица X является матрицей потребления кормов за сутки.

Тогда, желая узнать общий витаминный режим животного, мы должны взять произведение матриц M и X.

В правой части получилась матрица-столбец, первый элемент которой равен общему количеству витамина A, второй – общему количеству витамина B и третий – общему количеству витамина C, полученному животным за сутки.

п.2. Определители и их свойства.

1. Определения определителей II и III порядков.

Определение 1. Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице второго порядка , называется число, равное и обозначаемое символом т.е.

. (1)

Здесь - некоторые действительные числа, которые называются элементами определителя. Элементы образуют первую строку, элементы вторую строку, - первый столбец, -второй столбец определителя. Каждый элемент определителя имеет 2 индекса: первый индекс i обозначает номер строки, а второй индекс j -номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, элемент принадлежит второй строке и первому столбцу определителя.

Эти понятия остаются в силе и для определителей III порядка.

Определение 2. Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка,

называется число, равное

и обозначаемое символом

, т.е. =

. (2)

Определитель матрицы называется также детерминантом. Для определителя матрицы A употребляются обозначения: , , .

Чтобы запомнить, какие произведения для вычисления определителя III порядка следует брать со знаком плюс, какие со знаком минус, можно воспользоваться схемой, заданной на рис 1.

Пример 1. Вычислить определители: , .

Решение. Применяя соответственно формулы (1) и (2), получим:

;

Замечание. Если определитель состоит из одного элемента, то по определению он считается равным этому элементу: .

2. Миноры и алгебраические дополнения.

Определение 3. Минором элемента определителя называется определитель, составленный из оставшихся его элементов после вычеркивания i-й строки и j-го столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента обозначим через .

Определение 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается через :

Следовательно, алгебраическое дополнение элемента может отличиться от его минора только знаком.

Пример 2. Для рассмотренного в примере 1 определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов , , .

Решение. Сначала найдем миноры этих элементов:

; , .

Следовательно, алгебраические дополнения этих элементов равны:

; ; .

3. Свойства определителей II и III порядков.

Определение 5. Замена строк определителя соответствующими столбцами (или столбцов строками) называется транспонированием определителя.

Справедливы следующие свойства определителей.

1) При транспонировании определитель не изменяется. (Отсюда следует, что все свойства, справедливые для строк определителя, справедливы и для столбцов).

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель лишь меняет знак.

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

4) Множитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно выносить за знак определителя.

5) Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

6) Определитель равен нулю, если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

7) Если в определителе все элементы i-го столбца (строки) равны суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей: у одного из них i-м столбцом (строкой) служат первые слагаемые, а у другого – вторые.

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

9) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

10) Пусть - некоторый определитель III порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на любые числа , равна определителю , который получается из данного определителя заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел .

11) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Определение 6. Будем говорить, что элементы i-й строки (столбца) определителя являются линейными комбинациями элементов его остальных строк (столбцов), если элементы i-й строки (столбца) получены в результате сложения соответствующих элементов других строк (столбцов), предварительно умножив их на некоторые постоянные числа.

12) Если элементы i-й строки (столбца) определителя есть линейные комбинации элементов остальных его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

Отметим, что все перечисленные свойства справедливы как для определителей II порядка, так и для определителей III порядка.

Эти свойства доказываются применением определений определителей II и III порядков или самих свойств определителей. Докажем, например, свойства 1) и 9) для определителей III порядка.

1) При транспонировании определитель не изменится.

Это свойство докажем непосредственной проверкой. Определитель (2) обозначим через , а определитель, полученный его транспонированием, - через . Покажем, что . Имеем:

=. (2)´

Как видно, оба результата (2) и (2)´ совпадают, т.е. .

9) Докажем свойство 9). Покажем, например, что для определителя (2) справедливо равенство:

. (3)

Имеем:

Формула (3) называется разложением определителя по элементам 1-ой строки. Аналогично определитель можно разложить по элементам любой другой строки (столбца).

Пример 3. Применяя свойства определителей, показать, что следующие определители равны нулю:

1) ; 2) .

Решение. 1). В определителе 1-я и 2-я строки пропорциональны. Следовательно, (свойство 5)).

2) Если к элементам 1-й строки определителя прибавим элементы 2-й строки, предварительно умножив их на 2, то получим элементы 3-й строки. Следовательно, (свойство 12)).