7. ИССЛЕДОВАНИЕ  ЗАВИСИМОСТИ  ПОКАЗАТЕЛЯ 

ПРЕЛОМЛЕНИЯ  ВОЗДУХА  ОТ  ДАВЛЕНИЯ

         Цель  работы;  ознакомление  с  устройством  и  принципом  действия  интерферометра  Релея  и  исследование  зависимости  показателя  преломления (n) воздуха  от  давления.

         Принадлежности:  интерферометр  ИТР,  газовая  кювета,  сильфон,  манометр,  краны.

         В  данной  работе  зависимость  n  от  давления  воздуха  исследуется  с  помощью  интерферометра  Релея.  Этот  интерферометр  работает  на  основе  дифракции  Фраунгофера  на  двух  щелях.

         Некоторые  сведения  о  дифракции  света. Если  на  пути  световой  волны  находятся  непрозрачные  тела  или  экраны  с   отверстиями,  то  за  этими  телами  образуется  область  тени.  Эту  область  можно  очертить  геометрически  (рис.1,а)  полагая,  что  свет  распространяется  прямолинейно, т.е.  световые  лучи  суть  прямые  линии.  Более  детальные  наблюдения  показывают,  что  световая  волна  заходит  в  область  геометрической  тени,  причем  на  границе  между  областями  света  и тени  появляются  чередующиеся  максимумы  и  минимумы  света,  свидетельствующие  о  некотором   перераспределении  световой  энергии  на  этой  границе.  Огибание  световой  волной  границ  непрозрачных  тел  с  образованием  интерференционного  перераспределения  энергии  по  различным  направлениям  называется   дифракцией.

         На  рис.1,б  кривая  АВ  показывает  распределение  на  экране  интенсивности  света,  испытавшего  дифракцию  от  края  пластинки (полуплоскости)  Р.

        

Явления  дифракции  можно  объяснить,  пользуясь  принципом  Гюйгенса.  Согласно  этому  принципу,  каждую  точку  фронта  световой  волны,  заданного  в  некоторый  момент  времени  (например,  когда  волна  дошла  до  пластинки  Р),  можно  рассматривать  как  самостоятельный  источник  элементарной  волны  (сферической  в  однородной  и  изотропной  среде, вторичные волны).  Огибающая  всех  этих  элементарных  волн  заходит  в  область  геометрической  тени  и  дает  искомое  расположение  фронта  волны  в  последующие  моменты  времени.  Однако  при  этом  остается  открытым  вопрос  о  распределении энергии   вдоль  фронта  волны;  если  это  распределение  задано 

в  начале  волны,  то  его  необходимо  найти  и  для  последующих  моментов  времени.  Эту  задачу  можно  решить,  если  воспользоваться  дополнительным  указанием,  которое  сделал  Френель  к  принципу  Гюйгенса,  а  именно: вторичные волны когерентны и они могут интерферировать, т.е. необходимо  найти  результат  интерференции  элементарных  волн  для  каждой  точки пространства.

Рассмотрим  один  простой  пример. Допустим,  что  через  отверстие АВ  в  непрозрачном  экране Э  (рис.2) непрерывно  проходит  плоская        монохроматическая  световая  волна,  энергия  которой равномерно распределена вдоль  фронта  волны. Каждую  точку  фронта  волны  в  сечении  А - В,  согласно  принципу  Гюйгенса,   можно  заменить  самостоятельным  источником  элементарной  сферической  волны.  Если  построить  огибающие  этих  элементарных   волн    для  различных  моментов  времени,  то  оказывается  что  фронт  волны  заходит  в  область  геометрической  тени  (рис.2,а).  Необходимо  теперь  выяснить,  какая  часть  энергии  волны  А -В  заходит  в  область  тени.  Для  этого,  по  Френелю,  необходимо  найти  результат  интерференции  элементарных  волн  в  каждой  интересующей  нас  точке С  (в  частности,  эта  точка  может  лежать  на   экране,  поставленном  за  отверстием).  Обычно  за  отверстием  ставят  линзу,  которая  «сортирует»  световые  лучи  по  направлениям;  та  часть  световой  волны,  которая  проходит  через  отверстие  в  прямом  направлении,  собирается  линзой  в  одной  точке О (рис.2,б).  Другие  части  световой  волны,  идущие в  направлениях  АС или  АД,  соберутся  линзой  в  других  точках  О1, О2, . . .,  где  располагается  экран  Э2. Таким  образом,  распределение  освещенности  на  экране,  расположенном  в  фокальной  плоскости  линзы,  показывает,  как  распределена  энергия  по  различным направлениям  у  прошедшей  через  отверстие  световой  волны.

     При  определении  результатов  интерференции  (сложения)  элементарных  волн  в  каждой  интересующей  нас  точке  пространства  (например,  экрана)  необходимо  учесть  фазы,  амплитуды  и  направления  векторов  Е  каждой  волны.  Эта  задача  довольно сложная,  поэтому  мы  ограничимся  рассмотрением  простых  случаев,  где  можно  воспользоваться  элементарными  рассуждениями  и  расчетами.

Дифракция  плоской  волны  от  прямолинейной  тонкой  щели.

 

 При  перпендикулярном  падении света  на плоскость  щели  все  точки  фронта  А - В  колеблются  в  одной  фазе.  Поэтому  лучи,  собранные  линзой  в  точке О (рис. 3)   интерферируя  друг  с  другом,  взаимно  усиливаются  и  в  этой  точке  получится  максимум  освещенности.  В  другой  точке  О1,  где  соберутся  лучи,  идущие  из  разных  точек  щели  под  углом j1 к  основному  направлению,  результат  интерференции  будет  иной.  Следует  учесть,  что  линза  не  вносит  дополнительные  разности  хода  между  лучами.  Это  утверждение  следует  понимать  так:  параллельные  лучи,  собранные  линзой  в  какой - либо  точке, например, О или О1 (см. рис.3, a),  имеют  между  собой  такую  же  разность  фаз,  какую  имели  линзы  в  любой  плоскости,  перпендикулярной  этим  лучам.  Поэтому   если  в  плоскости  АВ  все  точки  фронта  колеблются  в  одной  фазе,  то  исходящие  от  них  лучи, группируясь  в  точке  О,  также  имеют  одинаковые  фазы.  У  лучей,  исходящих  из  щели  под  углом  ,  в  точке  О1   будут  такие  фазы,  какие  они  имеют  в  перпендикулярной  этим  лучам  плоскости  ВС. Обозначим  разность  хода  между  крайними  лучами  пучка,  собирающегося  в  точке  О1,  через 1.  Очевидно,

             (1)

где  b - ширина  щели.  Допустим,   Тогда  рассматриваемый  под  углом      пучок  лучей  (рис.3,a  можно  разделить  на  две  части,  или,  как  говорят,  зоны,  причем  каждый  луч  i  верхней  зоны  будет  на   отставать  от  соответствующего  луча i  нижней  зоны,  следовательно,  в  точке  О1  они  «погасят»  друг  друга.  Таким  образом,  под  углом  j1,  удовлетворяющим  условию    происходит  взаимное  гашение  лучей,  прошедших  через  щель  и  собранных  в  точке  О1.

Рассмотрим  другое  направление дифракции  -  под  углом ,  для  которого  .  В  этом  направлении  пучок  света  можно  разделить  на  три  зоны  (рис.3,б),  из  которых  две  зоны  (первая  и  вторая   или  вторая  и  третья)  друг  друга  погасят,  а  третья  останется  непогашенной  и  даст  в  соответствующей  точке  экрана  О2   некоторую  освещенность.  Очевидно,  освещенность  в  точке О будет  значительно  меньше,  чем  освещенность  в  точке  О2,  так  как  в  точку  О   приходит  непогашенной  только  одна  треть  пучка,  выходящего  из  щели  в  направлении . Такое  разделение  пучка  лучей  или  световых  волн  на  части,  которые  при  интерференции  взаимно  усиливают  или  гасят  друг  друга,  называется  разделением  на  зоны  Френеля.

Продолжая  эти  рассуждения  можно  показать,  что  в  направлениях,  в  которых bsinj равна  нулю  или  нечетному  числу  l/2 и,  следовательно,  пучок  света  состоит из  нечетного  числа  зон  Френеля  (1,3,5  и т.д.),  на  экране  получаются  светлые  точки  (вернее,  линии,  параллельные  щели), а  в  направлениях  для  которых bsinj  равно  четному 

числу  l/2 и,  следовательно, пучок  света  делится  на  четное  число  взаимно  гасящих  друг  друга  зон,  на  экране   получаются  темные  точки  (линии).  В  промежуточных  направлениях  освещенность  экрана,  очевидно,  должна  постепенно  изменяться  от  нуля  до  соответствующих  максимумов  (распределение  освещенности  на  экране  показано  пунктирной  линией  на  рис.4).  Так  как  углы j очень  малы,  то sinj »  j и условия  максимума  выполняются  под  углами  j » (2k +1) l/(2b), а условия минимума - под углами j » k l/b  (k = 1,2,3,......).  Чем  уже  щель,  тем  дальше  друг  от  друга  располагаются  максимумы.

         Заметим,  что  расположение  максимумов  и минимумов  (в  фокальной  плоскости  линзы)  зависит  от  длины  волны  света.  Если  падающий  свет  сложный,  например,  состоит  из  двух  монохроматических  излучений  с  длинами волн l1 и l2,  то  на  экране  максимумы  и минимумы  этих  волн  располагаются  в  различных  местах.

Распределение  освещенности  на  экране  (расположенном  в  фокальной  плоскости  линзы),  полученное  вследствие  дифракции  световой  волны,   называется  дифракционным  спектром.   Рис.4 показывает  дифракционный  спектр  от  одной  щели,  если  на  щель  падает  плоская  монохроматическая  волна.

Дифракция  плоской  волны  от  нескольких  щелей.    Для  нахождения  дифракционного  спектра  от  двух  и  более  щелей  необходимо  учесть  не  только  взаимную  интерференцию  лучей,  вышедших  из  одной  щели,  но  и  интерференцию  лучей,  пришедших  в  данную  точку  экрана  из  различных  щелей.

Согласно  рис.(2 - 4),  каждая  щель  дает  на  экране  ту  или  иную  освещенность  по  всем  направлениям,  кроме  тех,  которые  удовлетворяют  условиям  гашения:

  (при малых углах дифракции).

В  этих  направлениях  условия  гашения  (четное  число  зон)  выполняются  для  каждой  щели  в  отдельности.

         Рассмотрим  теперь  некоторое  направление  под  углом   и  допустим,  что  первая  щель  посылает  свет,  интенсивность  которого  в  соответствующей  точке  экрана  определяется  вектором  Е1,   вторая  щель  дает  Е2,  третья  - Е3  и т.д.  В  точке  М,  где  собираются  лучи  от  всех  щелей  (рис.5),  освещенность  определяется  значением  суммарного  вектора  Е = Е1 +  Е2 + Е3 + . . .  .    

Выделим  два  наиболее  простых  случая:

     а) допустим  что  в  точке  М   все  векторы Е1, Е2, Е3, . . .                           имеют  одинаковые  направления.  Тогда  суммарная  напряженность  Е  будет  иметь  наибольшее  значение.  Это  возможно,  если  фазы  волн,  пришедших  из  разных  щелей,  отличаются  на  2p     или  на  целое  число  2p, т.е.  разность  хода  лучей  от  соседних  щелей ( D = dsinY )  равна  l  или  целому  числу  l.

Поэтому  условие

   (k = 1, 2,3, . . .)              (1)                                                                

определяет  местонахождение  максимумов  света  (их  называют  главными  максимумами).  Здесь  d - расстояние  между  осями  двух  соседних  щелей - называемое  периодом  решетки;                                                

б) допустим, что  в  данной  точке  экрана  суммарная  напряженность Е = Е1 +  Е2 + Е3 + . . . = 0,  т.е. волны,  пришедшие  в  эту  точку  экрана от  различных  щелей,  в  результате  интерференции  гасят  друг  друга.  Это  условие  может  выполняться  различным  образом  в  зависимости  от  числа  щелей.  Для  наглядности  воспользуемся  векторной  диаграммой  сложения  колебаний.  Допустим,  что  имеются  всего  две  щели,  создающие  равные Е1   и  Е2.  Очевидно,  условие Е = Е1 +  Е2 = 0  выполняется,  если Е1   и  Е2 противоположны  по  направлению,  т.е. отличаются  по  фазе  на  и  т.д.  Разность  хода  лучей,  исходящих  от  этих  щелей,  должна  быть  равна 

 и  т.д.

На  рис.6  схематически  показано  образование  максимумов  и  минимумов  при  различных  фазах  между  интерферирующими  лучами 1 и 

2.  Заметим,  что  в  случае  двух  щелей  между  двумя  соседними  максимумами  имеется  один  минимум.  Для  трех  щелей  направления  максимумов  по-прежнему  определяются  условием (1),  означающим ,  что  все  векторы   Е1, Е2, Е3   имеют  одинаковое  направление  и  складываются;  для  получения  же  минимума,  в  частности  для равенства Е1 +  Е2 + Е3= 0 необходимо,  чтобы  фазы  этих  векторов  отличались  либо  на  (1200,  или /3),  либо  на   (2400,  или 2 /3 ). При  наличии  трех  щелей  между  двумя  соседними  максимумами  появляются  два  минимума.  При  наличии  четырех  щелей  между  двумя  соседними  максимумами  образуются  три  минимума.  При  наличии  N  щелей  между  двумя  соседними  максимумами  образуются N - 1 минимумов. 

         На  рис.7  представлены  устройство  и  оптическая  схема  интерферометра  Релея. Он состоит из коллиматора (щель S и объектив О1), двойной  щели  D и зрительной трубы (объектив О2  и окуляр О1 ).   Щель  коллиматора  освещается  лампой  накаливания  L с помощью конденсора К.  Эта  щель  располагается  в  фокусе  объектива  О1. Прошедший  сквозь  нее свет  падает  на  двойную щель  параллельным  пучком  (плоская  волна).  Дифракционная  картина,  образующая  в  фокальной  плоскости   F  объектива  О2,  рассматривается через окуляр О.  Применение  коллиматора  зрительной  трубы  эквивалентно  удалению  источника света (щели S) и плоскости наблюдения (фокальной плоскости F)  на  бесконечно  большие  расстояния  от  двойной  щели,  что  обеспечивает  выполнение  условий  дифракции  Фраунгофера  при  небольших  геометрических  размерах  установки.

Интерферометр  Релея  может применяться  для  измерения  небольших  изменений  показателя  преломления  жидкостей  и  газов.  Чувствительность  прибора  может  быть  доведена  до  седьмого    и  даже  восьмого  десятичного  знака.  Интерферометр  применяется  также  для  определения  примесей  различных  газов  в  воздухе  (в  частности,  для  измерения  концентрации  рудничного  газа  в  шахтах).

          В  окуляре  технического  интерферометра  видна  не  одна,  а  две  системы  интерференционных  полос.  Верхняя  система  полос  подвижна.  Она  образуется  при  интерференции  лучей,  прошедших  через  кюветы  с  газом  и  через  компенсатор.  Нижняя  неподвижная  (опорная)  система  полос  образуется  при  интерференции  лучей,  прошедших  под  кюветами  и  компенсатором. 

                Калибровка  компенсатора.  Перед  началом  измерений  следует  прокалибровать  компенсатор,  и  установить  начало  отсчета.  Для  этого  замечают  деление  барабана  компенсатора,  при  котором  системы  интерференционных  полос  не  смещены  друг  относительно  друга  (совмещение  производится  по  нулевой  полосе).  Это  деление  барабана  и  является  началом  отсчета  при  последующих  измерениях. Затем  следует  проградуировать  барабан  компенсатора.      Для  этого  последовательно  совмещают  первую,  вторую и т. д. подвижные  полосы  с  нулевой  полосой  неподвижной  шкалы  и  записывают  соответствующие  отсчеты  по  барабану.  При  смещении  на  одну  полосу  разность  хода  меняется  на  длину  волны.  Градуировку  следует  производить,  выделяя  узкий  интервал  длин  волн,  для  чего  между  окуляром  и  глазом  устанавливается  светофильтр.  Длина  волны  и  полоса  пропускания фильтра указаны  на  его  оправе.  При  градуировке  нужно  использовать  все  полосы,  наблюдаемые  в  окуляр.  Результаты  изображаются  на  графике  ,  где  Z -  отсчет  по  шкале  компенсатора.

Показатель  преломления  исследуемого газа  определяется  при  интерференционных  измерениях  путем  сравнения  с  воздухом  при  атмосферном  давлении  и  рассчитывается  по  формуле 

                                      (2),

где   - разность  хода,  определяемая  по  шкале  компенсатора ,  l - длина  трубки  кюветы.  При  исследовании  зависимости  показателя  преломления  воздуха  от  давления  эту  формулу   удобно  записать  в  виде

                                           (3)

 

Зависимость  показателя  преломления  газа  от  давления  и  температуры.

Молекулярная  оптика  устанавливает  следующее  простое  соотношение  между  показателем  преломления  газа  и  его  плотностью:

                                                      ,                                  ( 4)

где  N - число  молекул  в  единице  объема,  a - поляризуемость  молекулы.  Принимая  во  внимание,  что  давление

                                                P = NkT,                                        (5)

где k - постоянная  Больцмана,  получим

                 .                                      (6)

Из  (6)  следует, что  при  постоянной  температуре  изменение  показателя преломления   и  изменение  давления  DP  связаны  друг  с  другом  простой  зависимостью

                 .                                      (7)

Величина    измеряется  с  помощью  интерферометра,   - с  помощью  манометра М (рис.8).  Одновременное  измерение  этих  величин  (и температуры Т)  позволяет  определить  поляризуемость  молекул  воздуха  и,  следовательно,  рассчитать  по  формуле  (6)  показатель  преломления  воздуха    для  любых  значений  Р  и  Т.  Следует  отметить,  что  воздух  является смесью  нескольких  газов;   поэтому  под  поляризуемостью  молекул  воздуха  нужно  понимать  некоторую  среднюю  величину,  определяемую  соотношением

 ,                                 (8)

где   и   Ni  -   поляризуемость  и  концентрация молекул  различных  газов,  входящих  в  состав  воздуха,  N  -  общее  число  молекул  в  единице объема.

         Формула  (6)  позволяет  установить  связь  показателя  преломления  газа  при  температуре  Т  и  давлении  Р  с  показателем  преломления  n  при  нормальных  условиях  ( Т  = 273К, Р  =  1 атм.).

                         (9)

Задание

1. Включите  осветитель  интерферометра  и  убедитесь,  что  в  поле  зрения  окуляра  наблюдаются  две  системы  интерференционных  полос.

2. Прокалибруйте  компенсатор. Постройте калибровочную кривую                Dк =  Dк(Z).

3. Экспериментально  исследуйте  зависимость  Dn  от  DР для воздуха   с  помощью  установки,  приведенной  на  рис.8  (описание  прилагается).

      Давление  следует  изменять  в  обе  стороны  от  атмосферного. Проведите  измерения  несколько  раз.  Исходя  из  графика,  вычислите  среднюю  поляризуемость  a  молекул  воздуха,  определите  показатель  преломления  n  при  условиях  опыта  и  вычислите  затем  показатель  преломления  n   при  нормальных  условиях.  Сравните  полученный  результат  с  табличным  значением. 

Необходимую  для вычислений  температуру  Т  и  атмосферное  давление  Р  определите  по  показаниям  лабораторного  термометра  и  барометра.

Контрольные  вопросы

1.   Объясните  возникновение  интерференционной  картины  от двух  щелей.

2. Дифракция света. Принцип Гюйгенса Френеля.

3. Почему  ширина  щели  S  коллиматора  должна  быть  достаточно  узкой?

4.   Почему  нулевая  полоса  интерференционной  картины  не  имеет  окраски?

5.   Объясните  зависимость  показателя  преломления  воздуха  от  давления.

   Литература

1. Ландсберг Г. C. Оптика. - М: Наука, 1976, Гл.1Х, §§ 44, 45.

2. Бутиков Е.И.  Оптика. Учебное пособие. - Санкт-Петербург. Москва. Краснодар: Лань, 2012., § 6.5

3. Калитеевский Н.И.Волновая оптика. - М: Высшая  школа , 1978. Гл.V1, § 6.3.

4. Матвеев А. Н. Оптика. М: Высшая  школа, 1985, § 33.

5. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. Изд. МГУ, 2004, с. 405.