4. ИЗУЧЕНИЕ ЗОННОЙ ПЛАСТИНКИ.

Краткая теория

Определение фокусного расстояния и радиуса центральногокруга зонной пластинки

Определение длины световой волны

Контрольные вопросы

Литература

Цель работы. Изучить дифракцию Френеля и применить ее для объяснения принципа действия зонных пластинок. Определить фокусное расстояние зонной пластинки, работающей в проходящем свете, определить длину световой волны.

Приборы и принадлежности. Зонная пластинка, работающая в проходящем свете, оптическая скамья, источник света (теневой проектор), интерференционные светофильтры, щель (объект), лупа (окуляр).

Краткая теория. При распространении волн в среде, содержащей неоднородности, наблюдается явление, называемое дифракцией. Суть его состоит в том, что волна, встречая на своем пути препятствие, огибает его, изменяя направление своего распространения. Явление дифракции проявляется сильнее, если размер щели (или преграды) сравним с длиной волны . При больших размерах щели (d >>) дифракция волн становится незначительной.

Объяснить дифракционные явления можно с помощью принципа Гюйгенса-Френеля, согласно которому каждая точка волновой поверхности или фронта волны является источником вторичных волн, которые когерентны и они могут интерферировать. Наложение вторичных волн, возбужденных точками волнового фронта (рис.1) позволяет найти новое положение фронта спустя малое время dt (огибающая S₂).

Рассмотрим распространение света от S к В, когда между ними расположен непрозрачный экран с отверстием радиуса r (рис.2). Источник света S является точечным. Результирующее возмущение в точке В находится сложением по поверхности всех возмущений типа

(1)

где - функция угла, которая меняется от 1 при = 0 до 0 при =p/2, элемент волновой поверхности, - расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения. В общем случае эта задача связана с определенными трудностями. Решение задачи упрощается, если воспользоваться методом зон Френеля. Согласно этому методу фронт волны делится на кольцевые зоны с центром в М₀ (точка пересечения прямой линии SВ со вспомогательной поверхностью ) так, чтобы прямые, соединяющие края соседних кольцевых зон с точкой наблюдения отличались на , т.е.

(2)

Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проводя с центром в точке В окружности с радиусами

(3)

Амплитуда возмущения, вызванного i-той зоной Френеля, в точке В будет

(4)

т.е. она будет зависеть от площади i - той зоны (), от угла дифракции () и от расстояния между i - той зоной и точкой наблюдения В (b_i) . Так как колебания от соседних зон проходят до точки В пути, отличающиеся на , то в точку В они приходят с противоположными фазами. Тогда результирующая амплитуда в точке В будет равна

(5)

Для вычисления результирующей интенсивности выясним зависимость E_0i от номера зоны. С увеличением номера зоны угол дифракции увеличивается. Согласно Френелю с увеличением угла дифракции от нуля до p/2 коэффициент наклона уменьшается от 1 до 0. Следовательно, с увеличением номера зоны происходит уменьшение амплитуды вследствие уменьшения коэффициента наклона. Как видно из (4), амплитуда уменьшается также при увеличении расстояния b_i, т.е. с увеличением номера зоны. При некоторых допущениях можно доказать, что площади всех зон одинаковы, т.е.

(Это доказательство предлагается студентам). Следовательно с увеличением номера зоны соответствующие им амплитуды E_0i в точке В монотонно убывают, т.е. E₀₁>E₀₂>E₀₃> . . . >E_0i . Монотонное убывание Е_0i позволяет приближенно выразить амплитуду i - той зоны через амплитуды соседних зон следующим образом:

(6)

Тогда с учетом (6) выражение (5) принимает вид

(7)

где знак + относится к нечетному, а знак - к четному i числу зон Френеля, укладывающихся в отверстии преграды. Следовательно, амплитуда волны в центре экрана определяется половинами амплитуд первой и последней открытых зон Френеля.

Предполагая, что h_i<<b и h_i<<a, из рис.2 для радиуса i - той зоны (иначе - радиус отверстия на непрозрачном экране) можно получить:

(8)

(Вывод уравнения (8) предлагается студентам). Из (8) видно, что число зон Френеля, укладывающихся в данном отверстии, зависит от длины волны света и от взаимного расположения источника, преграды, экрана наблюдения и радиуса отверстия.

Метод зон Френеля для вычисления результирующей амплитуды в центре экрана приводит к следующим выводам:

1. При полностью открытом фронте волны (отсутствии преграды) результирующая интенсивность равна 1/4 части интенсивности, создаваемой в той же точке только первой зоны Френеля.

2. Если закрыть все четные (или все нечетные) зоны Френеля, то результирующая амплитуда будет Е₀₁ + Е₀₃ + Е₀₅ + Е₀₇ . . . (или Е₀₂ + Е₀₄ + Е₀₆ . . .), т.е. интенсивность значительно увеличится по сравнению с той, какой она была бы при отсутствии этого перекрытия.

3. Если изменить фазы всех четных (или нечетных) зон на , то Е₀ = Е₀₁ + Е₀₂ + Е₀₃ + . . . , т.е. получим еще большее увеличение интенсивности.

Если изготовить пластинку, состоящую из последовательно чередующихся прозрачных и непрозрачных колец с радиусами r_i, определяемыми из уравнения (8) (i = 0, 2, 4, 6, . . . для прозрачных и i = 1, 3, 5, . . . для непрозрачных колец), то получим зонную пластинку, работающую в проходящем свете. Рассмотрим принцип работы такой зонной пластинки. Между источником света (точка А на рис.3) и точкой наблюдения В поместим зонную пластинку так, чтобы разность оптических путей между лучами, проходящими через соседние прозрачные кольца, составляла . Тогда в точке В мы увидим изображение источника. В этом случае расположение прозрачных колец пластинки и их размеры будут совпадать с расположением и шириной зон Френеля, радиусы которых связаны с расстояниями источника и его изображения от центра пластинки соотношением (8).

При изготовлении зонных пластинок обычно руководствуются соотношением (8). Для этой цели на белой бумаге вычерчиваются концентрические окружности, радиусы которых пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел 1, 2, 3, . . . Зачернив образуемые этими окружностями кольца через одну, получим картину, идентичную плоской зонной пластинке. Фотографируя эту картину, можно получить уменьшенный диапозитив, представляющий собой зонную пластинку. В настоящей задаче используются зонные пластинки, изготовленные этим способом.

Если центральному светлому кругу приписан индекс j = 0, ширина каждого j - го светлого кольца будет равна ширине i - той зоны Френеля при i = 2j+1, а внутренний радиус кольца совпадает с внешним радиусом i -той зоны, т.е. r_j = r_i при j = i/2.

Для получения изображения в точке В необходимо, чтобы разность хода была равна , а величина r_i равна радиусу i - той зоны Френеля или внутреннему радиусу j - го прозрачного кольца. Из рис.3 видно, что

, (9)

причем

(10)

Здесь r_i - расстояние от точки С до оси зонной пластинки. Так как r_i<<a и r_i<<b, то можно получить

(11)

Тогда ,

Откуда

(12)

Из (12) видно, что при перемещении точки наблюдения вдоль оси зонной пластинки условие максимума (резкое изображение источника А) удовлетворяется для большого числа точек В. Это означает, что зонная пластинка ведет себя подобно линзе, но с большим числом фокусов. В самом деле, приблизив точку наблюдения В к пластинке, можно найти такое ее положение, когда в центральном светло круге пластинки уместятся три первые зоны Френеля. Следующие три зоны перекрыты темным кольцом. Затем три зоны совместятся со светлым кольцом и т.д. Соответствующее ему фокусное расстояние F₁=F/3. Аналогично для фокусов высших порядков можно написать F_i=F/(i+1). Фокусное расстояние, как видно из (12), определяется по формуле

(13)

Таким образом, зонные пластинки действуют как обычные оптические системы, обладающие значительным хроматизмом, причем, в отличие от линзовых систем более длинным волнам соответствуют меньшие фокусные расстояния.

Описание установки. Схема установки для изучения принципа действия зонной пластинки приведена на рис.4.

Установка состоит из оптической скамьи ОС, фотопленки, на которой получен диапозитив зонной пластинки ЗП диаметром 5 - 7 мм, источника света (теневой проектор со светофильтрами) S, щели (объекта в виде прямоугольного отверстия) Щ, окуляра (лупы ) Ок для наблюдения. Все приборы при помощи специальных оправ и штырей, вставленных в рейтеры, помещаются на оптическую скамью, вдоль которой они могут свободно перемещаться. Свет от источника со светофильтром S падает на объект и от него на зонную пластинку. Передвигая окуляр вдоль оптической скамьи, добиваются резкого изображения объекта.

Упражнение 1.

Определение фокусного расстояния и радиуса центрального

круга зонной пластинки.

В теневой проектор или перед окуляром вставить интерференционный зеленый светофильтр ( = 530 нм). Все приборы устанавливают на оптической скамье согласно рис.4. Сначала установить между объектом и зоной пластинкой расстояние, равное, а = 0,6 м. Передвигая окуляр к зонной пластинке (начальное расстояние от окуляра до зонной пластинки примерно 1,1 м) добиваются такого положения, когда наблюдается резкое изображение объекта 1 -го порядка (записывают расстояние b₁). В этом случае разность хода между лучами, прошедшими через соседние светлые кольца зонной пластинки будет равна . Это означает, что при данном положении источника и экрана в каждом светлом кольце зонной пластинки укладывается одна зона Френеля. Затем передвигают рейтер с окуляром к зонной пластинке, находят и записывают расстояния b₂ и b₃. Расчет фокусного расстояния зонной пластинки производят по формуле

(14)

где i- порядок дифракционного изображения, а- расстояние от щели (объекта) до зонной пластинки, b_i - расстояние от зонной пластинки до дифракционного изображения i-того порядка. Такие измерения проводят еще 2 раза при а = 0,7 и 0,75 м. Затем вычисляют F _пл.ср и ошибки измерений.

Зная F_пл и по формуле (13) вычисляют радиус r₁ центрального светлого круга зонной пластинки.

Упражнение 2.

Определение длины световой волны.

С оптической скамьи снимают зеленый светофильтр и заменяют его красным светофильтром. Повторяют измерения, как и в упражнении 1, расстояний b_i дифракционных изображений 1-го, 3-го и 5-го порядков от зонной пластинки при 3-х значениях а. По формуле

(15)

вычисляют длину световой волны. Из девяти значений находят среднее и оценивают погрешность измерений.

Аналогичные измерения повторяют с желтым светофильтром.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается принцип Гюйгенса-Френеля?

2. В чем состоит сущность метода зон Френеля?

3. Доказать, что площади зон Френеля не зависят от номера зон. При каких допущениях это утверждение справедливо?

4. Объяснить принцип работы зонной пластинки. Почему у зонной пластинки множество фокусов?

5. Вывести выражение (8).

6. Чем отличается принцип работы вогнутой отражательной зонной пластинки от зонной пластинки, работающей в проходящем свете?

Литература

1. Годжаев Н.М. Оптика. - М.: Высшая школа. 1977. С. 118-128.

2. Бутиков Е.И. Оптика: Учебное пособие. 3-е изд., доп. – СПб.: Изд. «Лань». 2012. С. 314-326.

3. Матвеев А.Н. Оптика. - М.: Высшая школа. 1985. С. 208-209; 219-224.

4. Физический практикум. Электричество и оптика. /Под. ред. Ивероновой В.И. - М.: Наука. 1968. С. 516-521.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. – 3-е изд. Стереотип. – М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. С. 284-290.