ЛЕКЦИЯ 8. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

8.1. Ферми- и Бозе-газы элементарных частиц

8.2. Ферми – газ при низких температурах

8.1. Ферми- и Бозе-газы элементарных частиц

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц. Энергия элементарной частицы сводится кинетической энергии поступательного движения, которое всегда квазиклассично. Эта энергия равна

Так как при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением ее спина, то число частиц в элементе объема фазового пространства dp_x dp_y dp_z dV получится умножением распределений Ферми или Бозе на , где , s –спин частицы.

Таким образом, получаем

, (2)

Где верхний знак относится к Ферми, а нижний – Бозе-системе. Интегрируя по dV, получим распределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение по абсолютной величине импульса

Интегрируя (4) по , получим полное число частиц в газе.

Введем новую переменную интегрирования . Тогда можно переписать последнее равенство в виде

Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал газа μ как функция температуры и плотности .

Совершив квазиклассический переход от суммирования к интегрированию в формулах:

Получим следующее выражение для потенциала Ω:

Произведем интегрирование по частям этого выражения:

Это выражение с точностью до множителя совпадает с полной энергией газа равной:

То есть или, так как , то (8)

Будучи точным, это соотношение должно выполняться и в предельном случае больцмановского газа; действительно подставляя больцмановское значение , получим уравнение состояния идеального газа т.е.

PV=NT

Из формулы (6) сделав подстановку , найдем

, (9)

где f – функция одного аргумента, т.е. есть однородная функция µ и T порядка . Поэтому

и (10)

Будут однородными функциями µ и T порядка , а их соотношение - однородная функция нулевого порядка.

Формула (6) переписанная в виде

вместе с формулой (5) определяют в параметрической форме (параметр µ) уравнение состояния газа, т.е. связь между P,V и T. В предельном случае больцмановского газа (чему соответствует ) из этих формул получается уравнение Клапейрона. Покажем это, вычислив одновременно и член (первый поправочный) разложения в уравнения состояния.

При разлагаем подынтегральное выражение в (11) в ряд по степеням и получим, сохраняя первые два члена разложения

Подставляя это выражение для интеграла в формулу (11), получим

Если сохранить только первый член разложения, то получим больцмановское значение химического потенциала одноатомного газа. Следующий член дает поправку

Выразив поправку в Ω через T и V, мы получим поправку к свободной энергии:

(здесь использована (13) так называемая теория о малых добавках, согласно которой )

Таким образом, отклонения свойств идеального газа от классических, возникающие при понижении температуры при заданной плотности, т.е. при начинающемся его вырождении ведут в статистике ферми к увеличению давления по сравнению с его значение в обычном газе. В статистике же Бозе величина давления газа отклоняется в обратную сторону – в сторону уменьшения по сравнению с классическим значением. В первом случае проявляется как бы эффективное отталкивание, а во втором – притяжение между частицами.

8.2. Ферми – газ при низких температурах

В качестве примера такого газа рассмотрим вырожденный электронный газ. Особо важное значение имеет изучение такого газа при низких температурах. Но отметим при этом, что понятие низких температур относительное и они могут быть весьма высокими с других точек зрения.

Для того газа спин частиц S=1/2 и g=2s+1.

Рассмотрение такого газа начнем с температуры Т=0 (т.е. абсолютно вырожденный ферми–газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение.

Здесь в каждом квантовом состоянии может находится не более одного электрона и электроны будут заполнять все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до наибольшей, и величина которой определяется числом электронов.

Так как мы имеем дело с двукратным вырождением по спину (g=2) уровней энергии число квантовых состояний электрона, движущегося объеме V с абсолютной величиной импульса в интервале [P, P+dP], равно

(1)

Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения P=Pf –радиуса Ферми-сферы в импульсном пространстве.

Тогда полное число электронов в этих состояниях будет равно

Из этого выражения можно получить, что граничный импульс равен

(2)

А граничная энергия будет равна

(3)

Отметим, что это энергия Ферми имеет простой термодинамический смысл. Выше было отмечено, что распределение Ферми по квантовым состояниям с определенным значением импульса P и проекции спина имеет вид:

и в пределе при Т-0 обращается в «ступенчатую функцию». Она равна единице при ε < μ и нулю при ε > μ (смотреть рисунок)

Отсюда видно, что химический потенциал такого газа при Т=0 совпадает с граничной энергией электронов:

(4)

Полная энергия газа получается, если умножим число состояний (1) на и интегрируем по всем импульсам:

С учетом (2) это выразится так:

(5)

Из общего соотношения для Ферми и Бозе газов элементарных частиц:

, находим уравнение состояния

(6)

Получили, что давление Ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени пять третьих.

Полученные выше формулы применимы также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Условие их применимости требует малости Т по сравнению с граничной энергией ε_F : (7)

Это условие противоположно условию применимости классической статистики Больцмана. Температура Т_F ≈ E_F называется температурой вырождения Ферми-газа.

Вырожденный электронный газ обладает той особенностью, что он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедится, рассматривая в качестве примера плазму. Известно, что плазма состоит из электронов и соответствующего числа положительно заряженных ядер, компенсирующих заряд электронов. Энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону порядка величины , где Ze –заряд ядра - среднее расстояние между электронами и ядрами.

Условие идеальности заключается в требовании малости этой энергии по сравнению со средней кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией ε_F.

Неравенство с учетом и выражения (3) для ε_F дает условие

(8)

т.е. это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа. Отметим, что при достаточно высоких плотностях электронный газ становится не только идеальным, но и релятивистским. Для этого требуются чтобы Р_F был сравним с mc.