ЛЕКЦИЯ 7. КВАНТОВЫЕ ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

7.1. Распределение Ферми – Дирака

При низких температурах (при заданной плотности) идеальный газ становится таким, что для него статистика Больцмана не пригодна. Поэтому должна быть настроена такая статистика, в которой средние числа заполнения квантовых состояний частиц не мало.

Но такая статистика оказывается различной в зависимости от того симметричными или антисимметричными волновыми функциями по отношению перестановки любой пары частиц описывается газ.

Из квантовой механики известно, что волновые функции будут симметричными для частиц с целым спином и антисимметричными, если частицы имеют полуцелый спин.

Кроме того, для системы частиц с полуцелым спином справедлив принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы. Статистика, основанная на этом принципе, носит название статистики Ферми - Дирака.

Для получения выражения термодинамического потенциала и распределения Ферми - Дирака и применим распределение Гиббса к совокупности всех частиц газа находящихся в данном квантовом состоянии. Отметим также, что это можно сделать и при наличии обменного взаимодействия между частицами, так как квантомеханические обменные эффекты имеют место лишь для частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. Обозначим через Ω_k термодинамический потенциал такой системы и общей формуле для системы с переменным числом частиц

Будем иметь

В этом выражении учтено, что энергия n_k частиц в k-том состоянии равна n_k ε_k.

Числа заполнения каждого состояния здесь могут принимать два значения: 0 или 1. Поэтому получаем

Известно, что среднее число частиц в системе равно производной от термодинамического потенциала Ω по химическому потенциалу μ, взятой с обратным знаком. Поэтому в данном случае искомое среднее число частиц, находящихся в k-том квантовом состоянии будет определяться как производная от Ω_k по μ, с обратным знаком, т.е.

, (4)

или окончательно, разделив числитель и знаменатель на числитель получим:

Выражение (5) и есть функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми.

Очевидно, что здесь все . Кроме того, при формула (5) переходит в функцию распределения Больцмана.

Отметим также, что распределение Ферми (5) нормировано условием

где N – полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал μ как функцию T и N.

Термодинамический потенциал всего газа Ω получается суммированием Ω_k по всем квантовым состояниям:

7.2. Распределение Бозе – Эйнштейна

Рассмотрим случай статистики, которой подчиняются газ, описываемый симметричными волновыми функциями. Такая статистик носит название статистики Бозе – Эйнштейна.

Отметим, что в этом случае числа заполнения квантовых состояний ничем не ограничены (нет принципа Паули) и могут принимать произвольные значения.

Для получения распределения Бозе – Эйнштейна используем тот же прием, что и для распределения Ферми – Дирака.

Здесь имеем:

Стоящая в выражении (1) геометрическая прогрессия сходится только в том случае, если . Но так как это условие должно иметь место для всех (в том числе и для ), то должно быть .

Отметим, что для больцмановского газа химический потенциал имеет большие по абсолютной величине, но всегда отрицательные значения, а для Ферми-газа μ может быть как положительным, так и отрицательным.

Суммируя геометрическую прогрессию (1), получим

Отсюда находим средние числа заполнения , которые определяются выражением:

Эта функция распределения и есть распределение идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе. Это распределение при переходит в распределение Больцмана.

Полное число частиц в газе выражается формулой

а термодинамический потенциал