ЛЕКЦИЯ 3. СИСТЕМА С ПЕРЕМЕННЫМ
ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ.
Мы
рассматривали каноническое распределение
Гиббса. А теперь возникает вопрос: «Как
обобщить это распределение на систему с переменным числом частиц». В
этом случае функция распределения
зависит только от энергии квантового состояния, но и от деления частиц N в системе, причем сами уровни энергии 
также зависят от N. Вероятность системе
содержать N частиц, и
находится при этом в n-м состоянии обозначим через 
. Вид этой функции определяется аналогично, каким
была получена функция распределения 
. Разница
заключается лишь в том, что энтропия
среды будет теперь функцией не только от энергии 
, но и числа частиц
N’ в ней: 
. Тогда 
.
Разложим S’
по степеням 
и
N
и ограничимся линейными членами. Для этого напишем выражение для дифференциала внутренней энергии 
,
тогда 
Отсюда
, 
,
поэтому
.
Здесь химический
потенциал среды и тела совпадает ввиду условия равновесия.
Тогда для функции распределения 
получим
выражение:
(1).
Нормировочную постоянную найдем,
используя выражение для энтропии:
, откуда 
но 
,
а 
= 
, A=
.
Таким образом 
, или 
(2).
Условие нормировки для распределения (2) имеет
вид:
Отсюда получаем: 
=
,
или
(3).
Распределение (2) носит название
большего канонического распределения. Можем написать, что 
,
где 
,
или 
, 
- носит название большой статистической суммы.
Отметим, что в каноническом распределении
Гиббса классической статистики энергия
может быть представлена как сумма кинетической и потенциальной энергий. Тогда вероятность d
напишется в виде 
(1).
Это значит, что вероятности для координат
и импульсов независимы друг от друга в том смысле, что определения значения импульсов не влияют на вероятности тех ил иных значений координат
и , наоборот. Следовательно, вероятности различных значений импульсов и координат могут быть написаны в
виде:
(2).
Так, как сумма вероятностей всех возможных значений импульсов (и координат)
должна быть равна единице, то 
и 
должны быть
нормированы, т.е. их интегралы по
всем возможным для данного
тела значениям импульсов или координат равны единице. В таком случае легко можно
определить нормированные
постоянные а и b. Ниже мы рассмотрим распределение вероятностей
для импульсов, так как в классической статистике это распределение не зависит
как от рода внешнего поля, так
и взаимодействия частиц внутри системы. Известно, что кинетическая энергия
системы всегда равна сумме
кинетических энергий каждой из входящих
в нее частиц. Следовательно, эта вероятность разбивается на произведение вероятностей для отдельных частиц, т.е. вероятности импульсов различных
частиц не зависят друг от друга. Поэтому
мы можем написать распределение
вероятностей для каждой частицы в отдельности.
,
(3)
где
- кинетическая
энергия атома, а 
- декартовые составляющие его импульса.
Постоянная а
определяется из условия нормировки. Эти интегралы
по разделяются и дают 
и в нашем случае имеем 
. Тогда
, и распределения вероятности для импульсов будет
(4).
Распределение по скоростям получаем, переходя от 
т.е.
, (5).
Это распределение распадается
на произведение трех независимых множителей
и
т.д.
В сферических координатах выражение (5), имеет
вид
, (6)
где 
- абсолютная величина скорости.
Интегрируя по углам можно получить
распределение вероятностей для
абсолютной величины скорости 
(7).
Зная это распределение легко вычислить среднее значение, находим:
Следовательно,
среднее значение кинетической энергии атома будет равно
(здесь учтено,
что 
).