ЛЕКЦИЯ 17. ФЛУКТУАЦИИ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ

17.1. Флуктуации в идеальном газе

Известно, что (*)

Если подставить в формулу (16) выражение для идеального газа, то получим средний квадрат числа частиц обычного идеального газа, т.е.

(1)

Для того, чтобы вычислить флуктуацию числа частиц идеального Бозе или Ферми газа, необходимо воспользоваться формулой (17) , подставив в нее выражение для N как функции μ, T, V, получаемое из формулы

интегрированием соответствующей функций распределения. Но здесь достаточно сложно получить необходимый результат и не будем выписывать получающиеся громоздкие выражения.

Рассмотрим флуктуации в распределении частиц газа по различным квантовым состояниям. Обозначим через n_k число частиц, находящихся в k-том квантовом состоянии. К ней можно применить формулу (*) и напишем: (2)

Для Ферми-газа и, произведя дифференцирование, получим

т.е. (3)

Аналогично для Бозе-газа получим (4)

17.2. Формула Пуассона

Напишем формулу (1) и получим соответствующее гауссовское распределение вероятностей флуктуаций числа частиц

(5)

Эта формула применима лишь для малых флуктуаций. Если выделенный в газе объем V достаточно мал, то число частиц в ней невелико, и представляет интерес рассмотрение также больших флуктуаций, при которых становится сравнимый c .

Этот вопрос имеет смысл лишь в случае Больцмановского газа т.к. в газах Ферми им Базе вероятность таких флуктуаций может стать заметной лишь в настолько малых объемах, что существенными становятся квантовые флуктуации.

Обозначим через V₀ и N₀ полный объем и число частиц в нем, а V - малая по сравнению с V₀ часть объема. В силу однородности газа вероятность некоторой определенной частице находиться в объеме V равна отношению , а вероятность одновременно нахождения в нем N определенных частиц равна . Вероятность же частице не находиться в объеме V равна , а вероятность одновременного не нахождения определенных частиц в этом объеме равна . Следовательно, вероятность того, что в объеме V будет находиться всего N каких-либо частиц, будет определяться выражением

, (6)

где множитель определяет число возможных способов выбора N из N₀ частиц. Но в нашем случае , а число частиц N мало по сравнению с N₀. Тогда можно положить, что пренебречь N в показателе степени и получить

, (7)

Так как есть среднее значение числа частиц в объеме V, поэтому можем написать

(8)

Воспользуемся формулой и заменяем и получаем окончательно искомое распределение вероятностей в виде (9)

Эта формула носит название формулы Пуассона. Она удовлетворяет условию нормировки

Вычислим с помощью этого распределения средний квадрат флуктуаций числа частиц