ЛЕКЦИЯ 13. СИСТЕМА НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

13.1. Система невзаимодействующих осцилляторов

13.2. Система с ограниченным спектром энергии. Отрицательные температуры

13.1. Система невзаимодействующих осцилляторов

Функция Гамильтона системы, состоящей из произвольного числа частиц, совершающих малые колебания, может быть представлена в виде

где q_α – нормальные координаты колебаний (q_α = 0 в точках равновесия), - обобщенные импульсы, ω_α – частоты колебаний. Т.е. H (q,p) распадается на сумму независимых членов, каждый из которых соответствует отдельному нормальному колебанию (осциллятору). В квантовой механике то же самое может иметь место для оператора Гамильтона системы, так что каждый осциллятор квантуется независимо, и уровни энергии системы представляются суммами

В связи с этим распределение Гиббса для системы распадается на произведение независимых множителей, каждый из которых определяет статистическое распределение для отдельного осциллятора. Здесь мы рассмотрим отдельный осциллятор и определим для него распределение вертикалей для координаты q.

В классическом случае можно вопрос решить просто: так как потенциальная энергия осциллятора равна , то распределение вертикалей дается формулой ; или определяя A из условия нормировки, (1’)

Рассмотрим квантовый случай. Пусть Ψ_n (q) – волновые функции стационарного состояния осциллятора, соответствующие уровням энергии . Если осциллятор находится в полном квантовом состоянии, то квантово механическое распределение вероятностей для его координат определяется квадратом Ψ_n² (q) (т.к. Ψ_n в данном случае вещественная функция). Искомое распределение вероятностей получится, если умножим Ψ_n² на вероятность ω_n осциллятор находится в полном состоянии, а затем суммировать по всем возможным состояниям. Согласно распределению Гиббса . Поэтому получаем формулу

Чтобы вычислить эту сумму можно применить следующий прием. Введем обозначение и составим производную

Но так как , то , ,

Следовательно,

Аналогично имеем:

Отсюда

Тогда

Интегрируя, получим: .

Или

, из условия нормировки получим, что . Тогда

(3)

Отметим, что в квантовом случае вероятности различных значений координаты осциллятора распределены также по закону вида exp (-αq²), но с другим по отношению с классическим значением коэффициента α.

В предельном случае ħω <<T когда квантование не играет роли, формула (3) переходит в формулу , которая получена для классического случая (так как и находя нормировочную постоянную A, равную имеем *).

Действительно при ħω <<T и получаем из (3)

В обратном предельном случае ħω >>T формула (3) переходит в формулу , т.е. в чисто квантовое распределение вероятностей для координат осциллятора в нормальном состоянии.

Распределение вероятностей для импульсов осциллятора можно написать по аналогии с (2) не проводя вычислений.

Дело в том, что задача о квантовании осциллятора полностью симметрична в отношении координат и импульса и волновые функции осциллятора в p – представлении совпадает с его обычными координатными волновыми функциями с заменой q на . Поэтому искомое распределение будет , отсюда

В классическом предельном случае (ħω <<T) (4) переходит в распределение Максвелла:

(5)

13.2. Система с ограниченным спектром энергии. Отрицательные температуры

Рассмотрим некоторые своеобразные явления, связанные со свойствами парамагнитных диэлектриков. Атомы таких диэлектриков обладают более или менее свободно ориентирующимися механическими и магнитными моментами. Взаимодействие этих моментов (магнитное или обменное, в зависимости от взаимных расстояний) приводит к появлению нового «магнитного» спектра, который налагается на обычный диэлектрический спектр. Этот спектр заключен в конечном интервале порядка величины энергии взаимодействия магнитных моментов всех атомов диэлектрика, расположенных в узлах кристаллической решетки. В этом отношении магнитный энергетический спектр существенно отличается от обычных спектров, которые, благодаря наличию кинетической энергии частиц, могут быть бесконечными по энергии.

Мы рассмотрим ниже связанную с магнитной частью спектра свободную энергию такой системы F_маг.

Пусть E_n – уровни энергии системы взаимодействующих моментов. Тогда для статистической суммы имеем:

Полное число уровней в рассматриваемом спектре равно числу всех возможных комбинаций ориентаций атомных моментов. Но если все атомы одинаковы, это число будет равно g^N, где g – число возможных ориентаций отдельного момента относительно решетки.

Понимая усреднение в смысле простого арифметического усреднения, напишем Z_маг в виде:

Логарифмируя (2) и снова разлагая с той же точностью в ряд, получим для свободной энергии выражение

энтропия будет равна

Энергия

Теплоемкость

Рассмотрим совокупность закрепленных в узлах решетки и взаимодействующих друг с другом атомных моментов, как изолированную систему отвлекаясь от ее взаимодействия с колебаниями решетки, которое обычно очень слабо. Формулы (3)-(6) определяют термодинамические величины этой системы при высоких температурах. Рассматриваемая нами система моментов по своему существу вообще не способна к макроскопическому движению и поэтому доказательство положительности температуры здесь не пригодно. Не пригодно здесь также доказательство, основанное на условии нормировки распределения Гиббса, так как в данном случае система обладает лишь конечным числом конечных же уровней энергии и нормировочная сумма сходится при любом значении T.

Таким образом, приходим к интересному выводу: система взаимодействующих моментов может обладать как положительной, так и отрицательной температурой.

Проследим за такой системой при различных температурах. При температуре T=0 система будет находиться в своем наинизшем состоянии, а ее энтропия равна нулю. По мере повышения температуры монотонно возрастает также и энергия, и энтропия системы. При T=+∞ энергия равна , а энтропия достигает своего максимального значения . Эти значения соответствуют равновесному распределению по всем квантовым состояниям системы в которое переходит при T→∞ распределение Гиббса.

Температура T=-∞ физически тождественна с температурой T=+∞. Оба эти значения дают одинаковые распределения и одинаковые значения термодинамических величин системы.

Дальнейшему увеличению энергии системы соответствует увеличение температуры от T=-∞, причем температура, будучи отрицательной, уменьшается по абсолютной величине. При T=-0, энергия достигает своего наибольшего значения, а энтропия снова обращается в нуль; система при этом находится в своем наиболее высоком квантовом состоянии.

Рис.1.

Таким образом, отрицательные температуры лежат не «под абсолютным нулем», а «над бесконечной температурой». То есть, отрицательные температуры «более высоки», чем положительные. В соответствии с этим утверждением находится тот факт, что при взаимодействии системы, обладающей отрицательной температурой с системой, температура которой положительна (с колебаниями решетки), энергия должна переходить от первой ко второй. Состояния с отрицательной температурой могут быть реализованы в парамагнитной системе ядерных спинов в кристалле, в котором время релаксации t₂ для взаимодействия ядерных спинов друг с другом очень мало по сравнению со временем релаксации t₁ для взаимодействия спинов с решеткой.

Пусть кристалл намагничивается в сильном магнитном поле, после чего направление поля меняется так быстро, что спины не успевают последовать за ним. В результате система окажется в неравновесном состоянии с энергией более высокой, чем . В течение времени t₂ система достигнет равновесного состояния с той же энергией. Если в дальнейшем поле будет адиабатически выключено, система останется в равновесном состоянии, которое будет иметь, очевидно, отрицательную температуру. Дальнейший обмен энергий между спиновой системой и решеткой сопровождается выравниванием температуры, которое произойдет за время t₁.