Тема лекции: Неопределенный интеграл.

План лекции:

1. Первообразная функция.

2. Определение неопределенного интеграла.

3. Метод замены переменной.

4. Метод интегрирования по частям.

1. К числу важных задач механики относится задача об определении закона движения материальной точки по заданной ее скорости, а также задача об определении закона движения и скорости материальной точки по заданному ее ускорению. Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции.

Опр. Функция называется первообразной функцией для функции на интервале , если в любой точке этого интервала функция дифференцируема и имеет производную , равную .

Аналогично определяется первообразная для функции на бесконечной прямой или открытой полупрямой.

Примеры: 1) Функция является первообразной для функции на открытой полупрямой , ибо в каждой точке этой полупрямой .

2) Функция является первообразной для функции на интервале , ибо в любой точке этого интервала .

Для функции существует бесконечно много первообразных на интервале . Как связаны между собой эти первообразные.

Теорема. Если и - любые первообразные для функции на интервале , то всюду на этом интервале , где - некоторая постоянная.

2. Опр. Совокупность всех первообразных функций для данной функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции (на этом интервале) и обозначается символом .

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение -подынтегральным выражением, а сама функция - подынтегральной функцией.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции .

Основные свойства неопределенного интеграла. Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие свойства:

;

- const.

Каждая формула таблицы производных простейших элементарных функций устанавливающая, что та, или иная функция имеет производную, равную , приводит нас, в силу определения неопределенного интеграла, к соответствующей формуле:

3. Существует несколько методов вычисления неопределенного интеграла. Одним из них является метод замены переменной (метод подстановки).

Утверждение. Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке , а промежуток - множество ее значений. Пусть функция определена на и имеет на этом промежутке первообразную . Тогда на промежутке функция является первообразной для функции , т.е.

(1)

Равенство (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Примеры. Вычислить интегралы:

1) .

2) .

Легко видеть, что этот интеграл вычисляется путем замены . В самом деле, при этом и

б) К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. Этот метод основан на следующем утверждении.

Утверждение. Пусть функции и дифференцируемы на промежутке и существует (т.е. функция имеет первообразную на . Тогда также существует на и

=. (2)

Это равенство называется формулой интегрирования по частям. Т.к. то формулу (2) можно записать так:

=.

Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях:

1) Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции , ;

2) Подынтегральная функция имеет вид , , , где - многочлен относительно переменной

3) Подынтегральная функция имеет вид , , , .

Пример. Вычислить интеграл: .

Положим , . Тогда , . Следовательно,

.

Для выбора функции в методе интегрирования по частям часто подходит следующее правило: для этого функции условно будем называть прямыми функциями, а функции назовем обратными. Как известно, функция называется полиномом относительно с коэффициентами .

1. Если подынтегральная функция содержит одну из обратных функций (или ее степень), то эту обратную функцию (или ее степень) выбираем в качестве .

2. Если подынтегральная функция представляет собой произведение полинома на одну из прямых функций, то это полином выбираем в качестве функции .

3. Если подынтегральная функция представляет собой произведение на одну из других прямых функций , то исходный интеграл обозначим через , два раза подряд применим интегрирование по частям и оба раза функцию выбираем в качестве функции в результате получится линейное уравнение относительно откуда легко можно найти искомое