Тема лекции: Исследование функций одной переменной.

План лекции:

1.Производные и дифференциалы высших порядков.

2.Формула Тейлора.

3.Исследование функций и построение графиков.

1. Мы выяснили, что производная функции , определенной и дифференцируемой на интервале , представляет собой функцию, также определенную на интервале . может случиться, что эта функция сама является дифференцируемой в некоторой точке интервала , т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции в точке и обозначают символом или .

Последовательно можно ввести понятие третье, четвертой и т.д. производных. Если предположить, что введено понятие - й производной и что -я производная дифференцируема в некоторой точке интервала , т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют -й производной (или производной - го порядка) функции в точке и обозначают символом или . Соотношение, определяющее -ю производную, имеет вид

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка , называют раз дифференцируемой на данном множестве.

Вычислим, например, -ю производную степенной функции

( - любое вещественное число). Последовательно дифференцируя, имеем

, , , ……..

Отсюда, виден общий закон

Определение дифференциала высшего порядка.

Рассмотрим функцию , которая является дифференцируемой на интервале Дифференциал первого порядка от данной функции в точке определяется формулой

Зафиксируем приращение , т.е. будем считать, что оно является постоянной величиной. Тогда дифференциал представляет собой функцию только переменной , для которой можно также определить дифференциал, причем в качестве приращения возьмем тот же самый дифференциал . В результате мы получим дифференциал второго порядка, который обозначается как .Итак, по определению,

И т.д.

2. Теорема Тейлора. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную порядка ( - любой фиксированный номер). Пусть, далее, - любое значение аргумента из указанной последовательности, - произвольное положительное число. Тогда между точками и найдется точка такая, что справедлива следующая формула

. (3)

Формула (3) называется формулой Тейлора (с центром в точке ), а выражение называется остаточным членом в общей форме.

Формулой Маклорена принято называть формулу Тейлора с центром в точке :

(4)

Приведем примеры разложения функций в ряд Тейлора:

1) Пусть дана функция Так как то формула Маклорена (4) имеет вид

(5)

2) Пусть дана функция Тогда формула Маклорена (4) имеет вид

(6)

3)Пусть дана функция Тогда формула Маклорена примет вид

4) Пусть дана функция

5) Пусть дана функция

6) Пусть дана функция

, причем - нечетное число.

Пример. Найти .

3.Выясним теперь, как по производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции в данном промежутке. Остановимся сначала на случае функции, монотонно возрастающей.

Теорема . Пусть функция определена и непрерывна в промежутке и имеет внутри него конечную производную . Для того чтобы была в монотонно возрастающей (убывающей, н. и д. условие внутри .

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда называется точкой экстремума: точкой максимума (точкой минимума) функции , если для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство (соответственно ).

Теорема 4 (необходимые условия экстремума). Пусть является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки . Тогда либо производная не существует, либо .

Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными.

Итак, если точка есть стационарная точка для функции или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка представляется, так сказать, «подозрительной» на экстремум и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит в проверке достаточных условий для существования экстремума.

Предположим, что в некоторой окрестности точки существует конечная производная и как слева от , так и справа от ( в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1) при и при , т.

Если допустить существование конечной второй производной хотя бы только при , то необходимо . Это условие играет такую же роль в отношении точек перегиба, какую играло условие при разыскании экстремумов функции : оно необходимо, но не достаточно.

Если вторая производная существует везде внутри рассматриваемого промежутка, то абсциссы точек перегиба следует искать среди корней этой производной. Но каждый корень подлежит испытанию. Пусть в некоторых окрестностях и слева и справа от производная сохраняет определенный знак. Тогда для распознавания точки перегиба можно дать такое правило: если при переходе через значение производная меняет знак, то налицо перегиб, если же знака не меняет, то перегиба нет.