Тема лекции: Дифференцирование функции одной переменной.

План лекции:

1.Определение производной.

2.Дифференцируемость и дифференциал функции. Связь с непрерывностью.

3.Производная обратной функции. Производная и дифференциал сложной функции.

4.Таблица производных. Правила дифференцирования.

1.Пусть определена на и . Тогда разность называется приращением аргумента, а разность (при ) называется приращением функции.

Опр. Производной в точке называется следующий предел:

Заметим, что этот предел может не существовать ( в этом случае и производная не существует); а также может равняться некоторому конечному числу или любой бесконечности :.

Примеры. 1) . Тогда

- конечное число.

2) . Тогда

. Значит, .

3) 1) . Тогда

не существует не существует . Действительно, получаются разные односторонние пределы:

Физическая интерпретация. Предположим, что функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии. Тогда разностное отношение

(1)

определяет среднюю скорость точки за промежуток времени от до . В таком случае, производная , т.е. предел разностного отношения (1) при , определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Чтобы не создалось впечатления, что понятие производной используется только в механике, приведем примеры из других разделов физики:

Пусть функция определяет количество электричества , протекающего через поперечное сечение проводника за время . В этом случае производная будет определять силу тока, проходящего через поперечное сечение проводника за время ;

Рассмотрим процесс нагревания некоторого тела. Предположим, что функция определяет количество тепла , которое нужно сообщить телу для нагревания этого тела от до . Тогда, как известно из курса элементарной физики, разностное отношение (1) определяет среднюю теплоемкость тела при нагревании его от до . В таком случае производная , т.е. предел разностного отношения (1) при , определяет теплоемкость тела при данной температуре .

Геометрическая интерпретация. (Сделать чертеж). Если через обозначить произвольное приращение аргумента, а символом обозначить точку на кривой с координатами , то касательную, проходящую через точку данной кривой, мы определим как предельное положение секущей при . Из рис. ясно, что угловой коэффициент секущей (т.е. тангенс угла наклона этой секущей к оси ) равен разностному отношению (1). Из этого факта и из того, что в пределе при угол наклона секущей должен переходить в угол наклона касательной, мы делаем вывод что производная равна угловому коэффициенту касательной в точке к графику функции .

Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной. Пусть - функция, характеризующая, например, издержки производства, где - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение описывает средние издержки производства, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается или (от английского слова average). Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная выражает предельные (маргинальные, от английского слова marginal) издержки производства. Величину называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения . Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие величины.

Опр. Отношение называется темпом прироста функции . Отношение называется мгновенным темпом прироста.

2.Пусть определена на и пусть.

Опр. Тогда функция называется дифференцируемой в точке , если для приращений аргумента и функции выполняется следующее соотношение:

, (1)

где не зависит от ; (при ).

Опр. Если дифференцируема в данной точке , то произведение из соотношения (1) называется дифференциалом функции в точке ; дифференциалом аргумента называется его приращение, т.е. - дифференциал аргумента.

Дифференциал функции обозначается так: , значит,

Теорема. Для дифференцируемости в точке н. и д. , чтобы существовала конечная производная . При этом .

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где α(x) – бесконечно малая функция при . Тогда

Следовательно, при .
Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.

Рис. Непрерывная в точке a функция не является дифференцируемой в этой точке.

3.Пусть строго монотонна и непрерывна на данном интервале и пусть является дифференцируемой в точке.(Значит существует конечная ). Тогда при обратная функция дифференцируема в соответствующей точке , причем для производной обратной функции выполняется следующее равенство

. (1)

Пример. Пусть . Эта функция строго возрастает, непрерывна и ее производная не равна нулю для . Поэтому дифференцируема обратная функция во всех точках .

По формуле (1) получим

Ясно, что на концах отрезка производная арксинуса равна бесконечности. Пусть функции и образуют сложную функцию и пусть внутренняя функция дифференцируема в точке , а внешняя функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция

будет дифференцируемой в точке , причем для ее производной в этой точке выполняется равенство

Пример.

Пусть положительная и дифференцируемая в данной точке. Тогда в этой точке существует ). Рассматривая как сложную функцию аргумента , мы можем вычислить производную этой функции в данной точке, принимая за промежуточный аргумент. Получим

(2)

Величина, определяемая формулой (2), называется логарифмической производной функции в данной точке.

Пример. Вычислим логарифмическую производную так называемой степенно-показательной функции

. (3)

Эта функция определена и непрерывна для всех значений , для которых и непрерывны и . Теперь мы дополнительно потребуем, чтобы и были дифференцируемы для рассматриваемых значений . Прологарифмируем (3) по основанию : и поэтому

. (4)

Из равенства (4), учитывая, что , получим следующую формулу для производной степенно-показательной функции

4. Теорема. Если каждая из функций и дифференцируема в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы

Док-во. Докажем, например, первую формулу.

Пусть . Обозначив символами и приращения функций , и в данной точке соответствующие приращению аргумента . Тогда, очевидно,

Таким образом, при

. (5)

Пусть теперь . Тогда в силу существования производных функций и в точке существует предельное значение правой части (5), равное . Сталь быть, существует предельное значение (при ) и левой части (5). По определению производной указанное предельное значение равно , и мы приходим к требуемому равенству . Ч.т.д.

Нам надо заполнить таблицу производных простейших элементарных функций. Вычислим, например, производную степенной функции с произвольным вещественным показателем . Имея в виду, что всюду на полупрямой функция положительна, вычислим логарифмическую производную этой функции. Так как