Тема лекции: Предел и непрерывность функции одной переменной.

План лекции:

1. Определение предела функции. Основные свойства конечного предела функции.

2. Основная теорема о пределах. Замечательные пределы.

3. Непрерывность. Точки разрыва.

4. Свойства непрерывных функций.

1.Пусть даны два множества и .

Опр. Если каждому элементу из первого множества по некоторому закону или правилу соответствует определенный элемент , то это соответствие называется однозначной функцией или отображением множества в множество .

Множество называется областью определения или существования той функции. Сам закон или само правило соответствия также обозначается буквой, например, буквой . Тогда данная функция обозначается так: называется независимой переменной или аргументом функции, а - зависимой переменной или функцией.

Пример. Пусть ; , а .

Часто закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания называется аналитическим. Функция также может определяться разными формулами на разных участках области своего задания.

Пример. Функция

задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой.

(сделать чертеж).

Довольно распространенным способом задания функции является табличный способ, заключающийся в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функций.

Опр (по Коши). Пусть функция определена на некотором открытом интервале , содержащем точку , при этом требуется, чтобы значение было обязательно определено. Число называется пределом функции при , если для каждого существует такое число , что при условии .

Обозначается это так: .

Основные свойства:

1. Влияние значений функций в конечном числе точек на величину предела.

Если значения функции изменить или сделать неопределенными к конечном числе точек , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке .

2. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки , в которой функция ограничена.

3. Теорема о пределе постоянной функции.

Если в некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .

2. Убедимся, что арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение в точке , приводят к функциям, также имеющим предельное значение в этой точке.

Теорема 1. пусть заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и . Тогда функции , , и имеют в точке предельные значения (частное при условии ), равные соответственно ,, и , т.е.

.

Теорема (Критерий Коши). Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

.

Теорема (первый замечательный предел). Выполняется равенство:

Теорема (второй замечательный предел). Существует конечный предел: .

Опр. Пусть и отличны от нуля в некоторой окрестности точки . Тогда эти функции называются эквивалентными в окрестности этой точки и пишут ~ при , если .

С использованием этого критерия и известных замечательных пределов, составим следующую таблицу эквивалентности функций в окрестности нуля:

1) ~ ; 5) ~ ;

2) ~ ; 6) ~ ;

3) ~ ; 7) ~ ;

4) ~ ; 8) , то ~ , .

3. Пусть функция , .

Опр 1 . непрерывна в точке по множеству , если выполняется следующее условие

. (1)

Очевидно, что если , то неравенство выполняется. Т.о., если в окрестности точки нет других точек из множества кроме самой точки , то условие (1) выполняется, а такие точки называются изолированными. Теперь если - предельная точка множества , то условие (1) равносильно выполнению равенства .

Опр 2 . называется непрерывной в точке , если

. (2)

Примеры. 1) . Функция будет непрерывной, так как . Мы воспользовались определением 2.

2) .

. Т.о. функция непрерывна.

Пусть определена в некоторой левой окрестности , , точки .

Опр. Будем говорить, что непрерывна в точке слева, если выполняется неравенство

. (3)

Пусть определена в некоторой правой окрестности , , точки .

Опр. Будем говорить, что непрерывна в точке справа, если выполняется неравенство

. (4)

Как известно, для существования передела функции н. и д., чтобы существовали односторонние пределы и они были бы равны между собой. Поэтому для того, чтобы функция была непрерывна в т. , н. и д. , чтобы выполнялось равенство

.

Убедимся, что арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.

Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , и непрерывны в точке (частное при условии ).

Простейшими элементарными функциями обычно называют следующие функции:

.

Основные элементарные функции непрерывны в области своего определения. При этом непрерывность обратных функций можно вывести из непрерывности прямых функций с использованием теоремы о существовании непрерывной обратной функции.

Например, из непрерывности показательной функции , на интервале , ввиду ее строгой монотонности, следует существование обратной функции которая будет непрерывна на . (- является областью значений функции .

Аналогично можно установить непрерывность обратных тригонометрических функций, исходя из непрерывности самих тригонометрических функций в области своего определения.

Как известно, называется элементарной функцией, если она состоит из конечного числа простейших элементарных функций, к которым конечное число раз применяются арифметические операции и суперпозиции. Т.о. любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Пусть , . Тогда называется точкой разрыва данной функции в двух случаях:

1), но - предельная точка ;

2) , но в этом случае нарушается условие непрерывности

или не существует .

Примеры. 1). , - предельная точка области определения. Т.о. - точка разрыва функции, т.к. выполняется первое условие. (рис.)

2) - точка разрыва функции, т.к. выполняется второе условие. (рис).

Для классификации точек разрыва используют односторонние пределы.

Опр. Пусть - точка разрыва функции . Если существуют конечные односторонние пределы слева и справа и , то называется точкой разрыва I рода. Во всех остальных случаях точка называется точкой разрыва II рода.

Опр. Точка , являющаяся точкой разрыва I рода, называется точкой устранимого разрыва, если выполняются условие .

Пример. , 0- точка устранимого разрыва функции, т.к.

; .

б.м.ф огр.

Опр. Точка , являющаяся точкой разрыва I рода, называется разрывом со скачком, если выполняются условие . - скачок функции.

Пример. , 0 - точка разрыва со скачком, т.к. -1, =0.

(рис).

Опр. Точка , являющаяся точкой разрыва II рода, называется точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.

Пример. , 0 - точка бесконечного разрыва функции, т.к., =.