Тема лекции: Предел числовой последовательности.

План лекции:

1.Последовательности действительных чисел.

2.Предел числовой последовательности.

3.Свойства сходящихся последовательностей. Критерий Коши.

1.Опр. Натуральные числа – числа, используемые при счете.

Опр. Целые числа – это натуральные числа, им противоположные числа и нуль.

Опр. Рациональные числа – числа, представимые в виде отношения целого числа к натуральному. Или рациональным числом называется бесконечная периодическая десятичная дробь.

Пример. .

Кроме бесконечных периодических дробей существуют и непериодические десятичные дроби, называемые иррациональными числами.

Пример. Диагональ квадрата со стороной 1, по теореме Пифагора равняется , т.е. - иррациональное число.

Опр. Вещественным или действительным числом называется бесконечная десятичная дробь без периода, взятая со знаком «» или «-» . Множество вещественных чисел будем обозначать: (real).

Опр. Если каждому числу натурального ряда чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных вещественных чисел , ,…, ,… мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Введем некоторые обозначения, которые нам пригодятся в дальнейшем для короткой записи теорем или определений. Запись означает, что является элементом множества . - символ принадлежности, - символ равносильности, эквивалентности; - символ следования, символ

Символ (Any) означает любой, всякий, каждый; - существует, найдется и т.д.

Числа - элементы или члены последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом . Например, символом будем обозначать последовательность .

2. Опр. Число называется пределом числовой последовательности и пишут , если

/ . (1)

(Для любого, наперед заданного положительного числа , найдется номер такой, что для всех номеров, больших , выполняется неравенство ).

Пример. Исходя из определения предела доказать, что .

Распишем последовательность: ; ;;…;….. .

Пусть дано любое . Найдем номер / . Значит, искомый номер .

Опр. Если предел последовательности равен нулю, то такая последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.)

Предел последовательности может равняться и бесконечности. Различают три вида бесконечности: .

Опр. Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью (б.б.) и пишут , если / .

Рассмотрим свойства б.м. последовательностей:

Теорема 1. Сумма двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Следствие. Сумма любого фиксированного конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на б.м. последовательность является б.м. последовательностью.

Следствие. Произведение двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Следствие. Произведение любого числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Теорема 3. Если последовательность является б.м. и все не равны нулю, то последовательность является б.б. последовательностью. Обратно, если б.б. последовательность и все , то - б.м. последовательность.

Теорема 4. Если существует конечный предел , то последовательность можно представить в виде суммы числа и б.м. , т.е. , .

3. Опр. Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

. Если последовательность сходящаяся, то она имеет единственный предел.

. Если последовательность сходящаяся, то она ограничена, т.е.

/ .

Сформулируем основную теорему о пределах.

Теорема. Если существуют конечные пределы и , то существуют приводимые ниже пределы и выполняются равенства:

1); 2) ;

3) .

Пусть дана числовая последовательность , ,…, ,… . Сходится ли она? Например, пусть …+Тогда трудно угадать возможный предел этой последовательности (пределом служит число ). В таких случаях применяется критерий Коши. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Опр. Последовательность называется фундаментальной, если /.(т.е. с ростом номеров элементы последовательности приближаются друг к другу).

Теорема (критерий Коши). Для сходимости числовой последовательности н. и д., чтобы она была фундаментальной.