Лекция 9. Простейшие методы интегрирования: метод исключения, метод интегрируемых комбинаций.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 1.

Решить систему дифференциальных уравнений 

Решение:  Решим систему методом исключения.

Алгоритм решения:

1) Берем второе уравнение системы  и выражаем из него :

2) Дифференцируем по  обе части полученного уравнения :

Со «штрихами» процесс выглядит так:

3) Подставим  и  в первое уравнение системы :

И проведём максимальные упрощения:

Получено однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .

Составим и решим характеристическое уравнение:

 – получены различные действительные корни, поэтому:
.

4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию  и находим её производную. Дифференцируем по :

Подставим  и  в уравнение (*):

Или короче: 

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

Неоднородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции  могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

Пример 2. Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям

Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок»  выступают константы. Используем метод исключения.

1) Из первого уравнения системы выражаем:

2) Дифференцируем по  обе части:

3) Подставим  и  во второе уравнение системы :

Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:

Теперь проводим упрощения:

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

 – получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:

Подставим  в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом: 

В результате: 

4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :

Подставим 
и  в уравнение (*):

5) Общее решение системы:

Рассмотрим метод характеристического уравнения (метод Эйлера) на примере:

Пример 3. Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали, вычитаем некоторый параметр :

Раскрываем определитель:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент  нам уже известны, осталось найти коэффициенты 

1) Рассмотрим корень  и подставим его в характеристическое уравнение:

Из чисел  определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение  было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то 

2) Аналогично рассмотрим корень  и устно подставим его в характеристическое уравнение:

Из чисел  определителя составим систему:

Из обоих уравнений следует равенство:

Подбираем наименьшее значение , таким образом, чтобы значение  было целым. Очевидно, что .

Все четыре коэффициента  найдены, осталось их подставить в общую формулу 

Ответ: общее решение: