Лекция 8. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений.

Метод вариации произвольных постоянных.

Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:

– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:

– Метод исключения. Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.

– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

 – это числа (числовые коэффициенты). и  – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная  – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».

 и  – первые производные неизвестных функций  и  соответственно.

Что значит решить систему дифференциальных уравнений?

Это значит, найти такие функции  и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений:

Более компактно систему можно переписать так:

 и  – производные первого порядка;
 и  – производные второго порядка.

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений

. (1)

Пусть

(2)

является общим решением соответствующей однородной системы

. (3)

Как найти общее решение системы (1)? На основании ранее доказанных общих свойств систем можно показать, что если - частное решение неоднородной системы (1), то общее решение системы (1) имеет вид:

(4)

Частное решение системы (1) ищется так:

(5)

Надо подобрать таким образом, чтобы (5) было решением (1):

или подставим в (1). Таким образом,

Суммы можно пeреставить:

(6)

=0 из (2)

(7)

Решая систему (7), где составляют определитель Вронского, а - неизвестные, мы найдем :

=. (8)

Интегрируем (8), полагая вместо произвольных постоянных нули:

= . (9)

Искомое частное решение (1) мы получим при подстановке (9) в (1). Таким образом, мы нашли частное решение методом вариации произвольных постоянных.