Лекция 7: Системы дифференциальных уравнений. Общие свойства систем ДУ.

                  Построение  однородной линейной системы дифференциальных уравнений по заданной фундаментальной системе решений.

 

 

1.Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

                         (1)

или

                            .                                            

Будем предполагать, что в этой системе коэффициенты  ,      и функции ,   непрерывны на  интервале  . Тогда по теореме Коши, которую мы уже доказывали, существует единственное решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям:

  … ,       при  .

Особых решений система (1) не имеет. Всякое решение этой системы является частным решением.  Если  всев , то система (1) будет называться однородной

                                       ,                                 (2)                           

в противном случае – неоднородной.

Отметим два общих  свойства линейной системы (1), аналогичные общим свойствам линейного уравнения  - го порядка.

 Линейность систем (1) и (2) не меняется при любой замене переменной  , где  - любая функция от  , определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале , причем   ,  ,   во  всем интервале .

 Линейность систем (1) и (2) не меняется  при любом линейном преобразовании неизвестных функций:

                                          ,

где коэффициенты преобразования   - непрерывно дифференцируемые в  интервале  функции, причем определитель, составленный из них, отличен во всем интервале .

Причем  неоднородная система может стать однородной,  а однородная  –  неоднородной.

 Если  и   - два решения однородной системы (2), то их линейная комбинация 

                                                                     (3)

также является решением системы (2).

Доказательство. Докажем, что .

 

После подстановки (3) в  систему (2):

.

 Если   - решение системы (2), а   - решение  системы (1), то их сумма      будет решением системы (1).

 Если  и   - два решения неоднородной системы (1), то их разность   есть решение однородной системы (2).

Рассмотрим однородную линейную  систему дифференциальных уравнений  (2). Пусть мы имеем  частных решений  этой системы

                                                 .                                        (4)

Если 

                                                                     (5)             то система решений (4) называется фундаментальной, а определитель (5) – определителем Вронского.

Теорема 1.  Если  , где  , то   при  .

Доказательство.  Т.к.  столбцы и строки  вронскиана является решением системы (2), то его можно дифференцировать. Отсюда, по правилу дифференцирования  по столбцам , получим

 

 

 

 

.

Таким образом,   получили однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка                                                                                                                                                                                                (6)

Разделяя переменные и интегрируя, получим

                         - формула Остроградского - Лиувилля.