Лекция
6. Однородные и неоднородные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Метод степенных рядов
решения дифференциальных уравнений.
Рассмотрим уравнение
, 
. (1)
Решение
уравнения (1) будем искать в виде 
, где 
-const,
подлежащее определению. Тогда
; 
;…; 
.
Подставим
в уравнение (1): 
или
и
сокращая на 
, получим характеристическое уравнение
. (2)
Это алгебраическое уравнение 
-й
степени обязательно имеет ровно корней (эти
корни могут быть различными, кратными, комплексно-сопряженными):
А).
Если все корни
уравнения (2) 
различны, то
получаем линейно
независимых частных решений 
. Следовательно, общее решение исходного однородного
уравнения имеет вид
,
где 
- произвольные
постоянные. Произвольные постоянные можно найти, воспользовавшись начальными
условиями (задача Коши).
Пример 1.
Проинтегрировать уравнение 
с начальными условиями 
Составляем
характеристическое уравнение 
; его корни 
Следовательно, общее решение имеет вид 
. Для решения задачи Коши находим значения
постоянных 
и 
, составляя систему линейных уравнений с
определителем 
, отличным от нуля:
Искомое частное решение 
.
Б.
Если среди корней уравнения
(2) имеются кратные, то число линейно независимых решений вида 
будет
меньше . Найдем
недостающие линейно независимые частные решения. Докажем, что если некоторый
корень 
имеет кратность
, то кроме решения 
в искомую фундаментальную систему входят и
решения 
Рассмотрим сначала простой частный случай,
когда 
имеет кратность
.
Дифференциальное уравнение (4) при этом имеет вид
(7)
и частными
решениями его будут 
.
Если 
, то делаем замену искомой функции:
. (8)
При - кратном
дифференцировании
…
….; 
и после подстановки в исходное уравнение (7) получаем
после сокращения на новое
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно
функции 
:
.
(9)
Ему соответствует свое характеристическое уравнение:
,
корни
которого отличаются от корней 
на слагаемое . Действительно, частное решение уравнения (7) должно
быть 
, а соответствующее частное решение уравнения (9) 
. Но так как между частными решениями имеется
функциональная связь (8), то 
и 
. Отсюда 
, причем поскольку корень имеет кратность
, то кратность корня также
равна . Но нулевому корню кратности соответствуют
линейно независимые частные решения:
… ; 
.
Поэтому согласно формуле (8) искомыми частными
решениями уравнения (7) будут
.
(10)
Пример 2. Решить уравнение
.
Характеристическое уравнение 
или 
имеет корни 
.Четырехкратному корню 
соответствуют частные решения 
, а двукратному корню 
- частные
решения 
. Общим решение является
.
В. Предположим теперь, что все
корни характеристического уравнения по-прежнему различны, но среди них имеются
комплексные.
Пусть 
- комплексный
корень характеристического уравнения. Тогда характеристическое уравнение имеет
и сопряженный комплексный корень 
. Корню соответствует,
в силу формулы и формулы
Эйлера, решение
. (11)
Рассмотрим неоднородное ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами
.
(12)
Рассмотрим
ему соответствующее однородное ДУ
,
(13)
а также
характеристическое уравнение
уравнения (13)
. (14)
Тогда общее решение уравнения
(12) равно сумме решения уравнения (13)
и частного решения уравнения (12).
Частное
решение уравнения (12) иногда удается
найти по виду правой части:
1) Если 
- многочлен степени 
, то при
частное решение ищется в виде многочлена 
с неопределенными коэффициентами, а при 
- в виде 
.
2) Если 
и 
не является корнем характеристического
уравнения (14), то частное решение ищется в виде 
.
Если же является
простым или кратным корнем характеристического уравнения (14), то
частное решение ищется в виде
или 
.
3)Если 
, где 
и 
- постоянные и 
не являются корнями характеристического
уравнения (14), то частное решение ищется в виде
.
Если
же являются корнями характеристического
уравнения (14), то частное решение ищется в виде
.
Более общим методом нахождения
частного решения уравнения (12) является метод вариации произвольных
постоянных.
Если
и 
- линейно независимые
решения уравнения (13), то частное решение
уравнения (12) ищется в виде 
, где 
и 
удовлетворяют
системе уравнений
4. Рассмотрим уравнение
. (15)
Решение этого уравнения будем
искать в виде степенного ряда по
степеням 
:
. (16)
Продифференцируем и получим
,
.
Подставляем в уравнение (15)
и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
и, вообще, 
, 
Подставим
полученные коэффициенты в (16) и т.к. 
и 
не определяются
из полученных формул, то общее решение имеет вид:
