Лекция 4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

1.Рассмотрим дифференциальное уравнение -го порядка

. (1)

Функция может и не зависеть от некоторых аргументов, но должна обязательно зависеть от -ой производной .

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет общее решение в виде , т.е. зависит от двух произвольных постоянных. Если порядок уравнения третий, то общее решение имеет вид . Итак, общее решение уравнения -го порядка зависит от , причем ни одна из произвольных постоянных не может быть выражена через другие. Наоборот, если имеется общее решение , то дифференцируя его раз, можно вообще исключить из системы уравнений

; ……;

произвольные постоянные и получить дифференциальное уравнение -го порядка.

В некоторых частных случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что облегчает его интегрирование.

А. Уравнение (1) не содержит функции и ее производных до порядка включительно:

. (2)

Сделаем замену: . Тогда (2) примет вид , т.е. получили уравнение - го порядка относительно функции .

Пример 1. Тело падает с большой высоты без начальной скорости, сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Найти закон движения тела при начальных условиях

На основании закона Ньютона составляем уравнение

Полагаем уравнение принимает вид Разделяем переменные и интегрируем

откуда с учетом начального условия имеем . После повторного интегрирования и учета начальных условий получаем

, где .

Б. Уравнение (1) не содержит не содержит независимого переменного;

.

Порядок уравнения понизится на единицу, если положить . Тогда

.

Очевидно, что выражается через .

Пример 2. .

Полагаем ; . После подстановки и в исходное уравнение имеем

. Получено уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем или , .

Разделяя переменные и интегрируя еще раз, получаем общий интеграл

или .

В. Левая часть уравнения (1) является производной некоторого дифференциального выражения -го порядка В этом случае можно найти первый интеграл, содержащий производные до -го порядка включительно и произвольную постоянную, т.е. порядок уравнения понизить на единицу. Так как , то является первым интегралом.
Пример 3. .

Очевидно, что левая часть уравнения равна Полагая , имеем дифференциальное уравнение 1-го порядка: . Разделяя переменные, получаем

или .

Возвращаясь к функции , получаем ; . После интегрирования имеем

.

Замечание. Интеграл легко берется методом интегрирования по частям.

Г. Если правая и левая части дифференциального уравнения (1) являются функциями, каждая из которых есть полная производная, то эти функции отличаются на постоянную величину. В этом случае порядок уравнения понижается.

Пример 4. . (3)

Правая часть является полной производной от . Учитывая, что , представим левую часть уравнения в виде . Подставляя найденные выражения в (3), имеем

. (4)

Преобразуем левую часть уравнения (4): , отсюда . Разделяя переменные, получаем

.