Лекция 3. Метод вариации произвольных постоянных.                    

                  Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к   ним.

 

Определение.  Уравнение, линейное относительно неизвестной функции  и ее производной, называется линейным дифференциальным уравнением  (ЛДУ) 1-го порядка. Оно имеет вид:

.

  -  непрерывные в интервале  функции, причем  .

Обычная запись ЛДУ 1-го порядка

                                         .                                            (1)

Если в уравнении (1)  на всем интервале , то уравнение называется однородным  линейным дифференциальным уравнением и принимает вид

                                       ,                                               (2)

 в противном случае – неоднородным.

Решение уравнения (1) будем искать  в виде

                                              .                                                (3)

Дифференцируя равенство (3), будем иметь   . Подставим значения   и    в уравнение (1):

                                    ,

                                    .                                        (4)

Подберем функцию  так, чтобы выполнялось условие

                                             .                                                  (5)

Решая уравнение (15)  с разделяющимися переменными, получим

              

                                            .                                           (6) 

 

При таком   уравнение (4)   примет вид    откуда будем иметь

                                           .                                       (7)

Подставляя (6) и (7) в равенство (3),  получим общее решение уравнения (1)

                                               .

Существуют уравнения, сводящиеся к ЛДУ 1-го порядка. К ним относятся уравнения Бернулли.

Определение:  Уравнение вида

                                ,                                            (8)

где   - любое вещественное число,    называется уравнением Бернулли.  Будем  считать, что     отлично от    или  ,  т.к.  в этих  случаях уравнение Бернулли вырождается в линейное уравнение. Функции     непрерывны на интервале  .

Уравнение Бернулли всегда можно свести к линейному уравнению. Для этого введем новую неизвестную функцию      . Отсюда     и   . Подставим   и    в уравнение (14):

.

Деля обе части уравнения на  и умножая  на  , получим линейное уравнение

.

Интегрируя его и возвращаясь к переменной  , получим общее решение уравнения Бернулли в виде

.

Заметим, что при  уравнение Бернулли имеет особое решение:  .

 

5. Рассмотрим  неоднородное ЛДУ 1-го порядка

                                         .                                            (9)

Чтобы его  решить  напишем  сначала вспомогательное однородное уравнение, отбросив неоднородный член и изменив обозначение искомой функции:

                                         .                                              (10)

Решение этого уравнения имеет вид

                                ,                                       (11)

где   получается из   при , т.е.   есть частное решение уравнения  (10).  Найдя   , ищем решение уравнения (9) в виде 

                                                       .                                                   (12) 

Такая замена бывшей произвольной постоянной из формулы (11) на функцию в формуле (12) называется вариацией произвольной постоянной.  Из формулы  (12) получим, подставляя в уравнение (9),

  или  .  Так как    удовлетворяет  уравнению  (10), то последняя скобка равна нулю, т.е.

                         ,        .

Это – общее решение уравнения (9). Первое слагаемое получается при   и, таким образом, представляет собой частное решение того же уравнения.

Итак, общее решение линейного неоднородного уравнения (9) равно сумме некоторого его частного решения и  общего решения соответствующего однородного уравнения :

,

Учитывая  формулу (11), имеем

                                              .                                 

 

Пример:    .

Разделим обе части на   и получим  , где  .  Введем новую функцию  .  Тогда   и  . После подстановки в исходное уравнение имеем   линейное неоднородное уравнение

                                             .                                          (13)

Сначала решим соответствующее  однородное уравнение , получаем  . Применив метод вариации постоянной, запишем . Подставляем     и   в уравнение (13)

, откуда ;  . Следовательно,  . Возвращаясь к функции , получаем ответ .

 

 Определение: Дифференциальное уравнение

                                ,                                           (14)

левая часть которого представляет собою полный  дифференциал некоторой функции, зависящей от двух переменных    и  , т.е.

                                                                          (15)

называется  уравнением в полных дифференциалах.

 и   - непрерывные функции по обеим переменным  в некоторой односвязной области и ни  в  одной  точке этой области не обращаются в нуль.

Уравнение  в полных дифференциалах можно записать так:   Поэтому его общий интеграл  имеет вид  .

Признак уравнения в полных дифференциалах.  Если  , (функции, имеющие непрерывные частные производные 1-го порядка в  области ), то условие

                                                                                              (16)

является необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнение (14) было уравнением в полных дифференциалах.

Пусть уравнение (14) есть уравнение в полных дифференциалах, т.е. левая часть представляет собой полный дифференциал

.

Следовательно,

                                      и  .                                 (17)

Пример:    Решить уравнение  . 

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.  Построим функцию  такую, что  выполняются условия (17) : .  Проинтегрируем по  :   .   Отсюда  найдем    удовлетворяющее второму равенству (17):     .  Отсюда    получим      . Окончательно,   или   - общее решение.