Лекция 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним.

Линейные уравнения первого порядка и сводящиеся к ним.

Рассмотрим уравнение

. (1)

Определение. Функция , определенная в области , называется однородной функцией переменных и степени (порядка, измерения) , если , где .

Примеры: 1) ; - 2-ой степени;

2) ; - 2-ой степени;

3) ;

4) - 0-ой степени.

Определение. Дифференциальное уравнение вида , где - непрерывная в и однородная функция нулевого измерения, называется однородным равнением.

Установим метод решения данных уравнений. В уравнении (1) введем обозначение следующим образом : . Отсюда

(2)

и дифференцируя, получим

(3).

Подставляя (2) в (1) с учетом (3), получим или

. (4)

А (4) – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

. (5) 1. Пусть . Тогда интегрируя (5), получим общее решение или . Это решение уравнения (2). Чтобы найти решение уравнения (1), надо вернуться к обозначению .

2. Может случится, что , то - решение уравнения (3). Это прямая. Чтобы найти решение уравнения (5), надо вернуться к обозначению .

Пример: . Сначала убедимся, что это однородное уравнение. Покажем, что - однородная функция нулевого измерения. . Сделаем замену

.

Рассмотрим уравнения, сводящиеся к однородным:

, (6)

где - постоянные, причем, хотя бы одно из чисел или , отлично от нуля (в противном случае, уравнение будет однородным ), а - непрерывная функция аргумента . Рассмотрим два случая :

1. Пусть . Сделаем линейную замену обеих переменных , что соответствует переносу начала координат в точку . Тогда уравнение (6) примет вид

.

Выбирав и так, чтобы получим однородное уравнение

. Интегрируя его и возвращаясь к переменным и , найдем общий интеграл уравнения (6).

II. Пусть , то мы имеем , Откуда , . Поэтому уравнение (6) можно в этом случае переписать так:

. Введя вместо новую неизвестную функцию по формуле , мы придем к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Пример: . (7)

. . Тогда

(8)

или и или . А это есть однородное уравнение.

Сделаем замену . Отсюда

(9)

и (10)

Подставляя (9) в (7) с учетом (10), получим . Разделим переменные: или . Интегрируя получим или . По формуле (13): . Отсюда . Используя формулу (8): или