Лекция 1: Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах. Основные понятия и определения.

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

1.Теория дифференциальных уравнений (ДУ) возникла в 17 веке под влиянием потребностей механики и физики почти одновременно с дифференциальным и интегральным исчислением. Простейшие ДУ встречались уже в работах Ньютона и Лейбница. Термин «ДУ» принадлежит Лейбницу.

Определение. Соотношение вида

, (1)

содержащее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.

Примеры : а) б) в) .

Определение. Наивысший порядок производной от искомой функции, входящий в уравнение, называется порядком этого уравнения.

Примеры: a) - ДУ 1-го порядка,

б) - ДУ 2-го порядка,

в) - ДУ 3-го порядка.

Определение. Функция , определенная вместе с соответствующими производными в некоторой области , называется решением уравнения (1) в этой области, если имеет место тождество

.

Пример: . Функция: а) - не является решением уравнения. б) - является решением уравнения.

Определение. называется общим решением уравнения (1), если здесь содержатся все решения (1). Каждое отдельно взятое решение называется частным решением уравнения (1).

Уже на простейших примерах легко убедиться в том, что ДУ имеет бесконечное множество решений. Например, из простейшего уравнения

,

сразу найдем с помощью интегрирования

.

Это общее решение данного уравнения; оно включает произвольную постоянную и является записью всего многообразия решений. Придавая произвольной постоянной конкретные численные значения, мы получим конкретные, частные решения.

Общее решение ДУ (12.1) содержит произвольных постоянных .

2. Определение. Дифференциальное уравнение вида

(2)

где - непрерывные функции, , называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом будет

.

- общее решение уравнения (2). Любое другое решение, получаемое из общего при конкретных значениях , называется частным решением.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Интегрируя, получим или - общий интеграл данного уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где - непрерывные функции, , называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, причем .

Разделим обе части уравнения (3) на и получим уравнение с разделенными переменными

. (4)

Его общим интегралом, а, следовательно, и общим интегралом уравнения (1) будет

.

- общее решение уравнения (3). Любое другое решение, получаемое из общего при конкретных значениях , называется частным решением.

Пример: . Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными . Проинтегрируем . При делении на , предполагалось, что и . Непосредственной подстановкой в уравнение, убеждаемся, что и являются решениями этого уравнения. Эти решения могут быть формально получены из общего интеграла при . Таким образом, - общее решение.