Лекция 9. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье.

План:

1. Функциональные свойства рядов Фурье.

2. Интегрируемость.

3. Дифференцируемость.

I.Теорема (О перестановочности предельного перехода и суммирования).

а) Пусть выполняются условия:

1) последовательность  равномерно сходится к функции на множестве ;

2) – предельная точка множества ;

3)  существуют пределы .

Тогда последовательность  сходится и

. (1)

б) Пусть выполняются условия:

1) ряд  равномерно сходится к на ;

2) – предельная точка множества ;

3)  существуют пределы .

Тогда ряд  – сходится, причем

. (2)

Замечание. Поскольку ,  , то (1) можно записать

.

Таким образом, в случае равномерной сходимости и при существовании  , порядок взятия предела можно изменять.

Аналогично для функциональных рядов имеем .

Таким образом, если ряд равномерно сходится на множестве  и существуют пределы

, то операции предельного перехода и суммирования перестановочны.

Теорема . (о непрерывности предельной функции и суммы ряда).

а) Пусть последовательность непрерывных на отрезке функций равномерно сходится к на , тогда ее предел также непрерывная на функция.

б) Пусть все члены ряда  непрерывные на функции, а сам ряд сходится равномерно на , тогда его сумма также непрерывна на .

II.Из общей теории функциональных рядов известно насколько важно уметь дифференцировать и интегрировать функциональные ряды почленно. Известно также, что для степенных рядов нет необходимости использовать общие теоремы. Убедимся, что сходная ситуация имеет место для рядов Фурье.

Пусть   -- непрерывно дифференцируемая  -периодическая функция. Как мы уже знаем, она представима своим рядом Фурье, а значит можно записать

.

При этом ее производная непрерывна и  -периодична, а значит о сходимости ее ряда Фурье мы ничего сказать не можем, но формальный ряд Фурье построить можно:

.

Теорема (о дифференцировании ряда Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства   

Доказательство. Интегрируя по частям, получим для любого 

.

Остальные равенства доказываются аналогично.

Название этой теоремы объясняется тем, что она обосновывает законность почленного дифференцирования ряда Фурье гладкой функции:

,

однако в результате мы получим формальный ряд Фурье для производной.

Пусть теперь функция   непрерывна,   -периодична и  . Мы можем написать ее формальный ряд Фурье (ничего не утверждая о его сходимости):

.

Рассмотрим, кроме того, непрерывно дифференцируемую  -периодическую функцию и разложим ее в (сходящийся к ней) ряд Фурье:

. (3)

III. Теорема (об интегрировании ряда Фурье).   При сделанных выше предположениях справедливы равенства   , ,

Доказательство. Поскольку  , то при нужные равенства вытекают из предыдущей теоремы. Полагая теперь в равенстве (3)  , получим

.

Теорема доказана.

Последняя теорема обосновывает законность почленного интегрирования ряда Фурье непрерывной функции:

.

Таким образом, при почленном интегрировании ряда Фурье не надо заботиться о его сходимости: для непрерывной функции даже из формального ряда мы получаем сходящийся.

Пример . Рассмотрим ряд  .

Он равномерно сходится на , по признаку Вейерштрасса. Тогда его можно почленно интегрировать. Получим:

.

Так как  - любое число из (0, 1), то представление справедливо . Таким образом, можно приближенно вычислить логарифмы.