Лекция 6. Ряды Фурье по ортогональной системе функций.

План:

1. Ортогональные системы функций. Примеры ортогональных систем.

2. Ряд Фурье.

I. Бесконечная система функций называется ортогональной на отрезке , если при любом выполняется равенство

(1)

При этом предполагается, что

(2)

Пример 1. Система функций

ортогональна на отрезке .

Пример 2. Система функций

ортогональна на отрезке , в чем легко убедиться непосредственной проверкой.

Пример 3. Система функций

ортогональна на отрезке .

Пример 4. Система функций

ортогональна на отрезке .

II.Пусть функция , определенная на отрезке такова, что она представляется рядом по функциям ортогональной системы (1), который сходится к данной функции на :

(3)

Определим коэффициенты . Допустим, что ряд, полученный после умножения ряда (3) на любую функцию , допускает почленное интегрирование.

Умножим обе части равенства (3) на и проинтегрируем в пределах от до , Учитывая равенства (2), получим

,

откуда

. (4)

Коэффициенты , вычисленные по формулам (4), называются коэффициентами Фурье функции по системе ортогональных функций (1). Ряд (3) называется рядом Фурье по системе функций (1).