Лекция 5. Степенные ряды.

План:

1.Радиус и интервал сходимости.

2.Свойства суммы.

3.Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

4.Приложения.

I.Среди многообразия функциональных рядов наиболее простым, но в то же время важным является класс степенных рядов, т.е. рядов вида

, (1)

где - постоянные вещественные числа; часто, впрочем, степенным рядом называют выражения более общее вида

где - постоянное вещественное число.

Как и для всякого функционального ряда, мы должны при изучении степенного ряда (1) в первую очередь поставить вопрос об его сходимости, т.е. о том, при каких значениях величины этот ряд сходится, а при каких расходится.

Теорема 1 (Абеля). Если ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при любом значении , для которого .

Доказательство. Из предположенной нами сходимости ряда

вытекает, что при из этого же в свою очередь следует существование такого положительного числа , что

Пусть теперь . Тогда при .

Так как прогрессия сходится, то по теореме 1 §17 сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1). Ч.т.д.

Геометрическая картина, иллюстрирующая теорему 1 состоит в том, что если степенной ряд сходится в некоторой точке числовой прямой, то в любой точке, более близкой, чем , к точке 0, он будет сходится абсолютно.

Выясним, какую форму должна принимать область сходимости степенного ряда.

1. Любой степенной ряд (1) сходится при , так как в этой точке все члены, кроме первого – нули. Т.о. точка принадлежит области сходимости любого степенного ряда. Может ли случиться, что при любом ряд (1) расходится, т.е. область сходимости его состоит из единственной точки ? Ряд показывает, что этот случай возможен; в самом деле, если , то при

-й член ряда не стремится к нулю при и ряд расходится. Т.о. область сходимости степенного ряда может состоять из одной точки .

2. Противоположным крайним случаем является тот случай, когда ряд (1) сходится при любом , т.е. когда область его сходимости является вся числовая прямая. Что этот случай возможен, показывает ряд

Так как при , мы имеем , , то при любом члены этого ряда для всех достаточно больших по абсолютной величине меньше соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии, что в силу принципа сравнения рядов и доказывает сходимость данного ряда.

Если область сходимости ряда (1) не сводится к точке и не охватывает всю числовую прямую, то всегда существует такое , что ряд (1) сходится при , т.е внутри интервала , и расходится при , т.е. вне этого интервала.

Чтобы не исключать двух ранее рассмотренных случаев, очень удобно условиться считать в первом из них, что точка 0 есть интервал при , а во втором, что числовая прямая – аналогичный отрезок, при . И теперь сформулируем окончательный результат.

Теорема 2 (Абеля). Для всякого степенного ряда существует такое число , что ряд абсолютно сходится при и расходится при .

Число называют радиусом сходимости, а отрезок - интервалом сходимости данного ряда, причем закрытый этот отрезок или открытый, мы рассмотрим далее. Одной из основных задач теории степенных рядов становится определение радиуса сходимости ряда (1) по его коэффициентам , где .

Теорема 3. Пусть коэффициенты ряда (1) таковы, что , тогда

Радиус сходимости можно найти не только по формулам

(2)

и . (3)

Дело в том, что ими нельзя пользоваться в тех случаях, когда бесконечное число коэффициентов степенного ряда равно 0. В частности, приведенные формулы (2) и (3) неприменимы, если ряд содержит лишь четные или нечетные степени . Более общей является формула Коши-Адамара

где . (5)

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Здесь , . Значит,

. Отсюда интервал сходимости . Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала. При степенной ряд примет вид . Оба ряда расходятся, т.к. не удовлетворяют необходимому признаку сходимости. Следовательно, область сходимости степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: .

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Здесь , . Значит,

. Отсюда интервал сходимости . По формуле (3) найдем радиус сходимости

Следовательно, ряд сходится в одной точке .

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Этот ряд является обобщенным степенным. Сделаем замену: и получим степенной ряд . Найдем радиус его сходимости

Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала. При степенной ряд примет вид , который расходится, необходимое условие, сходимости ряда не выполняется.

Так как , то областью сходимости ряда будет . Отсюда , будет областью сходимости данного ряда.

II. Если функция имеет в точке и в некоторой окрестности производные до -го порядка включительно, то в каждой точке этой окрестности она представима формулой Тейлора

где - остаточный член формулы Тейлора.

Теорема 4. Пусть теперь функция имеет в точке и в некоторой окрестности производные всех порядков. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности точки , необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена соответствующей формулы Тейлора при в каждой точке упомянутой окрестности был равен нулю: .

Теорема 5. Если функция имеет в некотором промежутке, содержащем точку , производные всех порядков, ограниченные одним и тем же числом , т.е. если при любом , то функция в каждой точке упомянутого промежутка разложима в ряд Тейлора по степеням (для нее имеет место разложение (4)).

Имеет место еще более сильная теорема.

Теорема 6. Если функция в некоторой окрестности имеет производные всех порядков и существует число такое, что при всяком , то функция в каждой точке этой окрестности разложима в ряд Тейлора по степеням .

Относительно единственности разложения функций в степенной ряд имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Каким бы способом функция не была разложена в степенной ряд , этот ряд будет для нее рядом Тейлора, т.е. его коэффициенты будут однозначно определяться формулами

, .

При разложении функций в степенные ряды можно применять следующие приемы.

1. Непосредственное разложение функций в ряд Тейлора.

А) формально составляют ряд Тейлора для функции ; с этой целью вычисляют производные всех порядков функции в точке и подставляют их в разложение (3);

Б) находят область сходимости полученного ряда;

В) выясняют, для каких значений из области сходимости между функцией и ее рядом Тейлора можно поставить знак равенства.

2. Использование разложений основных элементарных функций в степенные ряды

(6)

(7)

(8)

(9)

(- любое действительное число; ряд называется биноминальным);

(11)

(12)

Используя эти разложения можно довольно просто находить разложения многих других функций. Так, например, для нахождения разложения вряд по степеням функции , нужно в равенстве (8) заменить на . При этом отпадает необходимость исследовать остаточные члены соответствующих формул Тейлора с целью выяснения, можно ли между составленным рядом и самой функцией поставить знак равенства, так как области сходимости табличных рядов известны.

Замечание. Для биноминального ряда (10) указан лишь интервал сходимости. На границах интервала сходимости, т.е. при , разложение (10) ведет себя следующим образом: при абсолютно сходится на границах; при расходится при и условно сходится при при расходится на обеих границах.

3. Использование сложения и вычитания рядов и умножение ряда на число.

4. Использование дифференцирования и интегрирования рядов.

5. Использование умножения рядов.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение. Применим прием 1 – прием непосредственного разложения:

А) составим для данной функции ряд Тейлора

…………………. …………….

…………………. ……………..

Подставляя найденные значения производных в формулу Тейлора при , получаем ряд Тейлора для функции по степеням :

Б) находим область определения полученного ряда. Так как

то ряд сходится для всех значений .

В) выясним для каких значений найденное разложение сходится к функции . С этой целью заметим, что производные всех порядков данной функции на любом отрезке ввиду справедливости неравенства ограничены одним и тем же числом : . Отсюда следует, что найденное разложение (в силу теоремы 5 сходится к функции при всех значениях , т.е. .