Лекция 4. Виды сходимости функциональных рядов.

План:

1.Поточечная и равномерная сходимости.

2. Свойства сумм равномерно сходящихся рядов.

I.Пусть функции , определены на множестве и пусть .

Определение. Если числовая последовательность сходится, то говорят, что последовательность функций сходится в точке . Последовательность , сходящуюся в каждой точке , называют сходящейся на множестве .

В этом случае на множестве определена функция , значение которой в точке равно пределу последовательности . Эту функцию называют предельной функцией последовательности на множестве и пишут

,

или , .

Пример. Найти предельную функцию последовательности на множестве , если .

Решение. Так как то =1.

Определение. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве к функции , если

.

В этом определении существенно, что номер не зависит от . Если справедливо это утверждение, то пишут , .

Пример. Для функциональной последовательности , найти предельные функции и показать их равномерную сходимость на .

Решение. Ясно, что . Используя неравенство , получаем откуда следует, что , .

Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность функций равномерно сходилась на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

Пусть - последовательность функций независимой переменной , определяемых в некоторой области ее изменения . Если мы напишем бесконечный ряд

, (1)

то для каждого значения переменной в этот ряд будет обращаться в числовой ряд , который может оказаться сходящимся или расходящимся.

Определение. Ряд вида (1) называется функциональным рядом, определенным на некотором промежутке .

Функциональные ряды являются одним из основных орудий исследования в математическом анализе, и всю теорию числовых рядов, элементы которой мы рассмотрели ранее, мы можем рассматривать как введение в теорию функциональных рядов, к изучению которых мы теперь переходим.

Прежде всего, рассмотрим, как должно быть перенесено на функциональные ряды фундаментальное понятие сходимости ряда. Как мы уже заметили, для каждого числового значения переменной на функциональный ряд (1) обращается в некоторый числовой ряд, так что выражение (1) мы можем рассматривать как описывающее не один, а целое семейство числовых рядов. Вообще говоря, некоторые из этих рядов будут сходящимися, а некоторые расходящимися. По этому ясно, что на вопрос «сходится или расходится ряд (1)?» в общем случае мы не можем дать однозначного ответа и что, следовательно, такая постановка вопроса не соответствует природе функционального ряда. Правильным образом вопрос ставится так: для каких значений на функциональный ряд (1) сходится, а для каких расходится? Таким образом, сходимость функционального ряда представляет собой локальное понятие: она, вообще говоря, имеет место в одних точках отрезка и не имеет места в других. И только в том частном случае, когда ряд (1) сходится (или расходится) в каждой точке отрезка , разумно говорить, что он сходится (или расходится) на этом отрезке.

Определение. Точка , в которой ряд (1) сходится, называется точкой сходимости этого ряда; соответственно точка, в которой ряд расходится, называется точкой расходимости.

Таким образом, по отношению к каждому функциональному ряду, определенному на отрезке , точки этого отрезка распадаются на два множества: совокупность точек сходимости и совокупность точек расходимости ряда (1). Первое из них называют областью сходимости, а второе – областью расходимости. В частном случае то или другое из этих множеств может оказаться и пустым.

Пример 1. Ряд , все члены которого определены на всей числовой прямой , для каждого значения представляет собой геометрическую прогрессию; областью сходимости ряда, очевидно, служит интервал , область расходимости определяется неравенством .

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится и притом абсолютно при и расходится при . Область сходимости ряда определяется двойным неравенством .

Суммы вида

называются частичными суммами ряда (1). Если ряд (1) сходится в точке , то существует . Функции определены в любой точке отрезка , но функция , называемая суммой ряда, определена только в точках сходимости этого ряда. Функцию мы будем называть остатком данного ряда. Каково бы не было , функция определена только в области сходимости ряда (1). В каждой точке этой области мы имеем:

. (2)

Когда мы говорим, что ряд (1) сходится на некотором отрезке , то этим мы утверждаем, что он сходится в каждой точке этого отрезка. Можно, однако, ввести другое понятие сходимости функционального ряда на отрезке, которое не сводится к сходимости его в отдельных точках и имеет уже не локальный, а глобальный характер. Подробно (2) будет обозначать следующее:

и . (3)

Это натуральное число , т.е. то «место», начиная с которого выполняется неравенство (3), зависит, очевидно, не только от , но и выбранной точки . Т.к. при разных значениях мы получаем из ряда (1) различные числовые ряды, то, вообще говоря, то место, начиная с которого уже навсегда становится меньше, чем , будет различным для различных таких рядов. Можно ли выбрать так, что бы при неравенство (3) выполнялось для всех на отрезке ? Если бы значений было конечное число, то дело было бы простым: каждому значению соответствует определенное значение , так что и различных мы бы имели конечное число; взяв из этих значений наибольшее, мы, очевидно, и получили бы такое «место», начиная с которого неравенство (3) выполнялось бы для всех (имеющихся в конечном числе) значений . Но отрезок содержит не конечное, а бесконечное множество значений , каждому из них соответствует свое , так что и значений мы имеем бесконечное множество; а среди бесконечного множества натуральных чисел не всегда существует наибольшее; может возникнуть возможность того, что такого , начиная с которого неравенство (3) выполнялось бы в любой точке отрезка , не существует. Это возможно из-за того, что для каждой точки данного отрезка, место, начиная с которого , рано или поздно наступит; но для одних точек оно наступит раньше, для других – позже; для одних ряд (1) будет сходиться быстрее, для других – медленнее; можно сказать, что сходимость ряда в одних точках как бы «отстает» от сходимости его в других точках, что ряд хотя и сходится для всех , но сходимость «неравномерна».

Определение. Ряд (1) равномерно сходится на отрезке , если, каково бы ни было , найдется такое натуральное число , что при любом и для любого имеет место неравенство (3).

Это новое понятие сходимости функционального ряда не может быть целиком сведено к вопросу о сходимости ряда в отдельных точках, а существенным образом учитывает сравнительную быстроту его сходимости в различных точках. Прежде всего имеет место необходимый и достаточный признак сходимости равномерной сходимости функциональных рядов.

Теорема 1 (критерий Коши). Для того, чтобы ряд (1) равномерно сходился на отрезке необходимо и достаточно выполнения следующего условия: сколь бы мало не было число , для всех достаточно больших имеет место неравенство

, (4)

каковы бы ни были натуральное число и точка .

В конкретных случаях для установления равномерной сходимости рядов чаще всего пользуются следующим простым и очень удобным для применения достаточным признаком.

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами

,

что () , (5)

то ряд (1) равномерно сходится на отрезке .

Доказательство. Каково бы мало ни было , в силу теоремы 1 для числового ряда для всех достаточно больших имеет место неравенство

,

каково бы не было натуральное число . Но тогда в силу неравенства (5) и

,

Если достаточно велико, а - любое натуральное число. На основании критерия равномерной сходимости мы заключаем, что ряд (1) равномерно сходится на и теорема доказана.

Отметим, что если к ряду применим признак Вейерштрасса, то одновременно с ним будет равномерно сходиться и ряд . Однако возможны и случаи, когда ряд сходится равномерно, но является лишь условно сходящимся (например, ряд ). Возможны также случаи, когда ряд сходится абсолютно и равномерно, в то время как ряд сходится неравномерно (например, ряд ). Конечно, в обоих отмеченных случаях признак Вейештрасса неприменим: здесь требуются более тонкие признаки.

II.Класс равномерно сходящихся рядов обладает важными свойствами, связанными, в частности, с непрерывностью суммы ряда, с возможностью дифференцирования и интегрирования функциональных рядов. Рассмотрим ряд (1).

Теорема 1. Если все члены ряда (1), равномерно сходящегося на отрезке , непрерывны на этом отрезке, то и сумма ряда (1) непрерывна на отрезке .

Так как непрерывность членов ряда (1) полностью равносильна непрерывности частичных сумм этого ряда, то утверждение теоремы равносильно утверждению, что если все члены последовательности , равномерно стремящейся на отрезке к предельной функции , непрерывны на этом отрезке, то и функция непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть - любое положительное число и - любая точка отрезка . Так как ряд (1) равномерно сходится на этом отрезке, то при достаточно большом мы будем иметь:

. (6)

Закрепим теперь какое-нибудь определенное число , удовлетворяющее этому неравенству. Так как функция непрерывна в точке , то существует такое , что

, (7)

если только . Но

В правой части первое и третье слагаемые в силу (6) меньше, чем , каковы бы ни были точки и отрезка ; второе же слагаемое меньше, чем , в силу (7), если . Таким образом, при этом единственном условии, что каждое из трех слагаемых правой части меньше, чем , а значит, сумма их меньше, чем , и мы находим: , если ; так как произвольно, то функция непрерывна в точке а так как - любая точка отрезка , то функция непрерывна на этом отрезке, и теорема доказана.

Из элементов интегрально исчисления мы знаем, что сумма конечного числа функций, интегрируемых на отрезке , также интегрируема на этом отрезке и интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Переносится ли это правило на бесконечные ряды функций? Если все члены ряда (1) интегрируемы на отрезке и если ряд (1) сходится в каждой точке этого отрезка, то можно ли утверждать, что и сумма этого ряда интегрируема на отрезке и что

? (8)

Если равенство (8) имеет место, то мы будем говорить, что ряд (1) допускает на отрезке почленную интеграцию.

Теорема 2. Если все члены ряда (1), непрерывны на отрезке и ряд на этом отрезке равномерно сходится, то равномерно на отрезке имеет место соотношение

. (9)

Доказательство. Равномерная сходимость ряда непрерывных функций, будучи достаточным условием почленной интегрируемости ряда, не является, однако, необходимой для этой цели. Рассмотрим пример неравномерно сходящегося ряда

, , .

Здесь

и, следовательно, как мы знаем равносильно соотношению (8); таким образом, ряд допускает почленную интеграцию, хотя сходимость его и не равномерна.

Если члены ряда (1) непрерывны, а ряд сходится равномерно на отрезке , то же самое, очевидно, имеет место и на любом отрезке , где . Мы находим поэтому

.

Члены ряда в правой части этого равенства – функции от , непрерывные на отрезке . Обозначая остаток этого ряда через , мы, очевидно, имеем:

пусть столь велико, что , тогда для

.

Это показывает, что ряд (3) сходится равномерно на отрезке . Ч.т.д.

Рассмотрим вопрос о почленном дифференцировании функциональных рядов. Сумма конечного числа функций, дифференцируемых в некоторой точке , также дифференцируема в этой точке, и производная суммы равна сумме производных слагаемых. Выясним вопрос: при каких условиях это правило может быть перенесено на бесконечные ряды функций?

Теорема 3. Пусть ряд (1) сходится в каждой точке отрезка и пусть его сумма равна . Если тогда все члены этого ряда имеют непрерывные производные на этом отрезке и если ряд

(10)

на этом отрезке сходится равномерно, то и функция имеет непрерывную производную на отрезке , и , т.е ряд (1) допускает почленное дифференцирование в каждой точке отрезка .

Доказательство. Допустим, что ряд (10) равномерно сходится на отрезке . Обозначим через сумму ряда (1), а через - сумму ряда (10). В силу теоремы 2 мы имеем для :

.

Левая часть этого равенства, по известному свойству интегралов, дифференцируема по и производная ее равна ; отсюда мы заключаем, что и функция дифференцируема, и

,

т.е. ряд (1) допускает в точке почленное дифференцирование.

Таким образом, признаком почленной дифференцируемости ряда (1) служит равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда (10) составленного из производных его членов.