Лекция 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

План :

1. Абсолютная и условная сходимость.

2. Признак Лейбница.

I. Рассмотрим ряд

(1)

- ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Такие ряды называются знакопеременными.

Определение. Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительный, то отрицательные знаки.

Знакочередующийся ряд удобно записывать так:

, . (2)

Определение 1. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1), т.е. сходится ряд

. (2)

Определение 2. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда =. Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем . Тогда заданный ряд сходится абсолютно.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Ряд, составленный из модулей имеет вид . Чтобы выяснить его сходимость, сравним его с рядом . Т.к. , а ряд сходится как обощенно-гармонический с показателем 2>1, то ряд сходится по первому признаку сравнения, а следовательно ряд сходится абсолютно.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд . Если составить ряд из абсолютных величин слагаемых, то получится ряд , а это гармонический ряд и он является расходящимся. Покажем, что сам ряд сходится. Для этого воспользуемся критерием Коши о сходимости числовых рядов. Как известно, для сходимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

и .

В нашем случае получим

, т.к. отбрасываются отрицательные слагаемые. Ясно, что достаточно выбрать из неравенства . Тем самым доказали, что ряд (1) сходится, следовательно он сходится условно.

Теорема 1. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Доказательство. Применим критерий Коши (§ 17). Требуется доказать, что для любого найдется номер такой, что для всех номеров , удовлетворяющих условию , и для любого натурального

. (3)

Фиксируя любое . Так как ряд (2) сходится, то в силу теоремы (критерия Коши), найдется номер такой, что для всех номеров , удовлетворяющих условию , и для любого натурального

. (4)

Имея в виду, что модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей, можно записать

. (5)

Сопоставляя неравенства (4) и (5), получим неравенство (3).

Ч.т.д.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Так как соответствующий ряд из абсолютных величин (гармонический ряд), как мы уже знаем расходится, то для доказательства условной сходимости этого ряда достаточно показать, что этот ряд сходится.

Одним из важнейших свойств суммы конечного числа вещественных слагаемых является переместительное свойство. Возникает вопрос, остается ли справедливым это свойство для суммы сходящегося ряда, т.е. может ли измениться сумма сходящегося ряда от перестановки членов этого ряда?

Теорема 1. Сходящийся знакопеременный ряд (в том числе и знакопостоянный) остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой группировке его членов, произведенной без изменения порядка их следования.

Заметим, что обратная теорема в общем случае не имеет места. Например, ряд

расходится, а ряд , полученный попарной группировкой его членов, является сходящимся.

Теорема 2. Изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда, равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся.

Доказательство. Пусть - произвольный условно сходящийся ряд. Обозначим через - положительные члены ряда (1), выписанные в таком порядке, в каком они стоят в этом ряде, а через - модули отрицательных членов ряда (1), выписанные в таком же порядке, в каком они стоят в этом ряде. Ряд (1) содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, ибо, если бы членов одного знака было бы конечное число, то, отбросив не влияющее на сходимость конечное число первых членов, мы бы получили ряд, состоящий из членов одного знака, для которого сходимость означала бы абсолютную сходимость. Итак, с рядом (1) связаны два бесконечных ряда с положительными членами и . Будем обозначать первый из этих рядов символом , а второй - . Докажем, что оба ряда и являются расходящимися. Обозначим символом -ю частичную сумму ряда (1), а символом - сумму всех положительных членов, входящих в , символом - сумму модулей всех отрицательных членов, входящих в . Тогда, очевидно, , и так как по условию ряд (1) сходится к некоторому числу , то

. (6)

С другой стороны, т.к. ряд (1) не сходится абсолютно, то

. (7)

Сопоставляя (6) и (7), получим и , т.е. доказано, что оба ряда и расходятся. Из расходимости рядов и следует, что даже после удаления любого конечного числа первых членов этих рядов, мы можем взять из оставшихся членов как ряда , так и ряда столь большое число членов, что их сумма превзойдет любое наперед взятое число. Исходя из этого факта, докажем, что можно так переставить члены исходного ряда (1), что в результате получится ряд, сходящийся к наперед взятому числу . В самом деле, мы получим требуемый ряд следующим образом. Сначала выберем из исходного ряда (1) ровно столько положительных членов , чтобы их сумма превзошла . Затем добавим к выбранным членам ровно столько отрицательных членов , чтобы общая сумма оказалась меньше . Затем снова добавим ровно столько положительных членов , чтобы общая сумма

оказалась больше . Продолжая аналогичные рассуждения дальше, мы получим бесконечный ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда (1), т.к. каждый раз нам придется добавлять хотя бы один положительный или отрицательный член исходного ряда. Остается доказать, что полученный ряд сходится к . Заметим, что в полученном ряде последовательно чередуются группы положительных и отрицательных членов. Если частичная сумма полученного ряда заканчивается полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа не превосходит модуля последнего его члена. Если же частичная сумма заканчивается не полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа не превосходит модуля последнего члена предпоследней из групп. Для установления сходимости ряда к достаточно убедиться в том, что модули последних членов групп образуют бесконечно малую последовательность, а это непосредственно вытекает из необходимого условия сходимости исходного ряда (1). Ч.т.д.

Теорема 3. Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Теорема 4. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то сходятся ряды, составленные из его: а) положительных членов; б) отрицательных членов. Если знакопеременный ряд сходится лишь условно, то упомянутые выше ряды расходятся.

II. Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости.

Теорема 1 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда, будучи взяты по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то этот ряд сходится.

Замечание 1. Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 1, часто называют рядом Лейбница.

Доказательство. Пусть дан ряд (2) и известно, что последовательность является невозрастающей и бесконечно малой. Частичную сумму этого ряда четного порядка можно записать в виде (8)

Т.к. каждая круглая скобка в (8) неотрицательна, то ясно, что при возрастании последовательность не убывает . С другой стороны, можно переписать в виде откуда очевидно, что для любого номера будет . Т.о, последовательность четных частичных сумм не убывает и ограничена сверху. В силу признака сходимости монотонной последовательности, эта последовательность сходится к некоторому числу , т.е. . Из очевидного равенства и из того, что , вытекает, что и последовательность нечетных частичных сумм сходится к тому же числу , т.е. . Т.о, вся последовательность сходится к . Теорема доказана.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Это знакочередующийся ряд и поэтому можно применить признак Лейбница. Так как

(члены ряда монотонно убывают) и , то по признаку Лейбница данный ряд сходится. Однако он сходится условно, так как ряд составленный из модулей его членов расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

.

.

Решение. Из модулей членов данного ряда составим ряд

(9)

Ряд (9) сходится, так как его частичная сумма монотонно возрастает с возрастанием и является ограниченной, например, числом . Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Заметим, что сходимость ряда (А) можно доказать и другим способом. Составим ряд

.

Этот ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд , составленный из модулей его членов . Но тогда, по теореме 4 § 21, ряд, составленный из положительных членов, т.е. ряд (А) является сходящимся.

Ш. Как известно, если два ряда и сходятся, то любая их линейная комбинация также сходится, в частности, сумма двух сходящихся рядов равна ряду, составленному из сумм слагаемых. Для разностей также верно аналогичное утверждение, но для произведения что происходит не ясно.

Теорема 1. Если два ряда и сходятся абсолютно, то любая их линейная комбинация также сходится абсолютно, причем выполняется равенство

.

Доказательство. Его легко получить из критерия Коши о сходимости числовых рядов и следующего неравенства

( и ).

Абсолютная сходимость линейной комбинации доказана. Раз сходится ряд из абсолютных величин линейных комбинаций, то сам ряд также сходится, а в случае обычной сходимости это равенство нами доказано.

Теорема 2. Если два ряда и сходятся абсолютно, то ряд составленный из всевозможных произведений пар слагаемых данных рядов также сходится абсолютно.

Доказательство. Так как ряд из абсолютных величин является положительным рядом, достаточно доказать сходимость хотя бы одной перестановки ряда. Тогда, в силу абсолютной сходимости этот ряд будет безусловно сходящимся, т.е. все перестановки этого ряда будут сходящимися. Докажем сходимость перестановки, которая получается следующим образом:

.

Составим ряд по прямым углам:

(10)

Как известно, чтобы доказать сходимость ряда (10) достаточно доказать ограниченность сверху хотя бы одной подпоследовательности его частичных сумм. Докажем ограниченность подпоследовательности частичных сумм ряда (10), которые удовлетворяют следующим равенствам

, .

Обозначим: , .

, , …, ,… .Т.е. подпоследовательность частичных сумм ряда (10) ограничена числом (поэтому ряд (10) сходится). Значит ряд сходится абсолютно, а потому любая его перестановка также сходится, причем абсолютно. Ч.т.д.